Cirkels

[Passiepascal]

Stel je hebt twee lijnen die loodrecht op elkaar staan. Daartussen ligt een cirkel zo dat ie beide lijnen raakt. de straal van die cirkel is 1.
Vervolgens heb je in het hoekje wat nu over blijft een kleiner cirkeltje dat ook beide lijnen en de grotere cirkel raakt.

De vraag is nu: wat is de straal van het kleine cirkeltje? Voor de duidelijkheid nog ff een tekening.

[Aegishjalmur]

antwoord

1/2 * x * (√2 - 1)

[Passiepascal]

heb zelf een oplossing bedacht...maar weet niet of deze goed is:

- de straal van de groote cirkel noem ik Rg
- de straal van de kleine cirkel noem ik Rk
- en het kleine stukje in de hoek noem ik a

nu geldt: Rg : Rk als Rk : a
dat wil zeggen: 1 : Sqrt(2)-1 als sqrt(2)-1 :1

ofwel a = (sqrt(2) -1)² = 3-2sqrt(2)

dit betekend dat Rk = sqrt(2) - 1 - (3-2sqrt(2)) = 3sqrt(2) - 4

[Passiepascal]

Aegishjalmur schreef:
antwoord

1/2 * x * (sqrt(2) - 1)

en waar staat de x voor in die formule? Hoe kom je uberhaupt op een x. Er is toch maar 1 mogelijkheid met de gegeven gegevens dus moet er toch een getal uit R uitkomen en geen variable

[Aegishjalmur]

Aegishjalmur schreef:
antwoord

1/2 * x * (√2 - 1)

teken een vierkant om die grote cirkel, en noem de straal van de grote cirkel x:

dan afstand van een hoekpunt van het vierkant naar het middelpunt van de cirkel:
√(x² + x²) = √(2x²) = x√2

dus diameter kleine cirkel = x√2 - x = x * (√2 - 1)

dus straal kleine cirkel = 1/2 * x * (√2 - 1)

[Aegishjalmur]

Passiepascal schreef:
en waar staat de x voor in die formule? Hoe kom je uberhaupt op een x. Er is toch maar 1 mogelijkheid met de gegeven gegevens dus moet er toch een getal uit R uitkomen en geen variable

had de vraag even niet goed gelezen, ik dacht dat er ipv. straal = 1; straal = x stond, dus dit is de algemene oplossing

[Passiepascal]

Aegishjalmur schreef:
teken een vierkant om die grote cirkel, en noem de straal van de grote cirkel x:

dan afstand van een hoekpunt van het vierkant naar het middelpunt van de cirkel:
√(x² + x²) = √(2x²) = x√2

dus diameter kleine cirkel = x√2 - x = x * (√2 - 1)

dus straal kleine cirkel = 1/2 * x * (√2 - 1)

Het geen jij hier berekent is hoe lang het lijnstukje is dat je overhoudt, maar dat is niet de vraag. De vraag was hoe groot de straal van de cirkel is en die is natuurlijk kleiner dan jou gegeven antwoord. Je kunt dit namelijk eeuwig voorzetten en in de limiet zijn alle stralen gelijk aan sqrt(2). Maar volgens jou berekening zijn de stralen van de eerste 2 cirkels samen al gelijk aan sqrt(2), en dat is natuurlijk neit het juiste antwoord.


Mijn eigen nieuwe uitkomst na even puzzelen is dat de straal = 1.5sqrt(2)-2

Hier kom ik aan door de procentuele vermindering te berekenen per cirkel die er bij komt. Het is zo dat de straal van de 1e cirkel gelijk is aan sqrt(2)-1. procentueel gezien neemt hij dus 1/sqrt(2) in. er blijft dan voor de volgende cirkel (sqrt(2)-1)/sqrt(2) over. Als je zo door gaat naar de volgende cirkel dan zou dit betekenen dat deze (sqrt(2)-1)*((sqrt(2)-1)/sqrt(2)) inneemt en dat is gelijk aan 1.5sqrt(2)-2.
de straal van de kleine cirkel is dus 1.5sqrt(2)-2

[Just Johan]

zo dan:

trek de lijn door de middelpunten van de cirkels en de oorsprong; trek dan ook de lijn vanuit de kleine cirkel tot aan de x-as met lengte r.

met gelijkvormigheid kun je zeggen:

sqrt(2) / 1 = (sqrt(2) - 1 - r) / r
sqrt(2) * r = sqrt(2) - 1 - r
(sqrt(2) + 1)*r = sqrt(2) - 1

dus:

r = (sqrt(2) - 1) / (sqrt(2) + 1)

denk ik

[Just Johan]

volgens mij mag je voor n-demachtsbollen dus zeggen:

r = (sqrt( n) - 1) / (sqrt( n) + 1)

r = 0 voor n = 1; dat komt doordat de grote eerstemachtsbol natuurlijk zelf tegen de as aan zit

[mathfreak]

Just Johan schreef:
zo dan:

trek de lijn door de middelpunten van de cirkels en de oorsprong; trek dan ook de lijn vanuit de kleine cirkel tot aan de x-as met lengte r.

met gelijkvormigheid kun je zeggen:

sqrt(2) / 1 = (sqrt(2) - 1 - r) / r
sqrt(2) * r = sqrt(2) - 1 - r
(sqrt(2) + 1)*r = sqrt(2) - 1

dus:

r = (sqrt(2) - 1) / (sqrt(2) + 1)

denk ik

De laatste regel is nog verder uit te werken als
r=(sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)=(sqrt(2) - 1)^2/(2-1) door teller en noemer met sqrt(2) - 1 te vermenigvuldigen, zodat je uiteindelijk krijgt:
r=(sqrt(2) - 1)^2=2-2*sqrt(2)+1=3-2-2*sqrt(2).

[Just Johan]

mathfreak schreef:
De laatste regel is nog verder uit te werken als
r=(sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)=(sqrt(2) - 1)^2/(2-1) door teller en noemer met sqrt(2) - 1 te vermenigvuldigen, zodat je uiteindelijk krijgt:
r=(sqrt(2) - 1)^2=2-2*sqrt(2)+1=3-2-2*sqrt(2).

ja, dus n + 1 - 2*sqrt( n) voor meerdimensies