[WI] Differentiaalvergelijkingen

[lachis]

Hallo,

Ik heb 3 oefeningen, de eerste lijken op mekaar. Bij de eerste twee zit ik compleet vast. De 3de oefening, denk ik op het juiste spoor te zitten. Ik ben echter niet in staat ze op te lossen.

[OEF1]
Men trekt op een slede een voorwerp voort met een kracht van 50 N. De totale massa van het voorwerp en de slede bedraagt 40 kg. De weerstand die het ijs uitoefent op de slede bedraagt 40 N en de luchtweerstandskracht komt overeen met vijfmaal de ogenblikkelijke snelheid van de slede in m/s.

a) Wat is de snelheid van de slede na 48s?
b) Welke afstand heeft de slede dan afgelegd?

[wat weet ik]
Kracht = massa x afstand
snelheid = 1ste afgeleide
versnelling = 2de afgeleide

Ik zie echter niet direct in wat ik met de gegevens dien te doen

[OEF2] (verhaaltje)
(Op 24 mei 1940 om kwart over twee 's namiddags werd Poperinge voor het eerst gebombardeerd. Er vielen honderden doden en gewonden, en tijdens de daarop volgende dagen volgden er nog bombardementen.) Elke bom had een massa van 150 kg. Als de grootte van de luchtweerstand gelijk is aan 3v(t), waarbij v(t) de ogenblikkelijke snelheid van de bom voorstelt, wat is dan de snelheid van een bom na 10 seconden? We stellen t = 0 bij het droppen van de bom.

Volgens mij zijn beide oefeningen gelijkaardig, ik zie alleen niet hoe ik er moet aan beginnen.

[OEF3]
De differentiaal vergelijking (d²y / dx²) + (a . (dy/dx)) + by = 0 heeft als particuliere oplossing f(x) = -14e^4x + 15 e^20x. Bereken a en b.

Ik heb eerst de eerste afgeleide genomen:

-14.e^4x . 4 + 15 . e^20x . 20
= -56e^4x + 300e^20x

Dan de 2de:

-224e^4x + 6000e^20x

Dit heb ik dan ingevuld in de differentiaalvergelijking:

-224e^4x + 6000e^20x + a(-56e^4x + 300e^20x) + b(-14e^4x + 15e^20x)

Ik vermoed dat het tot hier toe correct is, echter vraag ik me af, hoe haal ik hier nu nog die a en b uit?

Alvast bedankt, al is maar dat je het leest :-)
Mvg Lachis

[Dark_One]

Kracht = Massa x Versnelling

Als je de krachtenbalans invult krijg je Kracht=10N-5*v=40*dv/dt (v is de snelheid)
Een mogelijke oplossing van deze vergelijking is v(t)=2 m/s (zolang er geen beginvoowaarden zijn), wat zou betekenen dat dus na 48s (of welke tijd dan ook) de snelheid 2m/s is en de afstand van 2*48=96 meter afgelegd is.

De algemene oplossing zou zijn v(t)=A*e^(-t/8)+2. Deze kun je vinden door de vergelijkingen 40dv/dt=-5v en 10=5v appart op te lossen (homogene en particuliere oplossing) en deze twee op te tellen. Het hangt nu dus van je beginvoorwaarden af wat A is en dus ook wat de snelheid op t=48 is en wat de afgelegde afstand is. De afstand vind je in dit geval overigens door te integreren.

Bij je 2e vraag heb je weer een krachtenbalans, nu tussen de zwaartekracht en de luchtweerstand. Dit geeft een kracht van 150*9,81-3*v=150*dv/dt. Nu echter met extra eis dat v(0)=0, de bom hangt immers still op t=0. Je moet nu op dezelfde manier als hierboven de algemene oplossing bepalen, en dan met invullen van de beginvoorwaarden je v(t) bepalen.

Je weet bij je laatste oefening dat deze 0 moet zijn voor iedere x. Je hebt nu (...)*e^4x+(...)*e^20x. Deze vergelijking is alleen 0 voor iedereen x als beide termen voor de functies 0 zijn (want e^4x heeft een heel ander verloop dan e^20x dus ze kunnen elkaar nooit voor iedere x cancelen).

Als je alles goed hebt gedaan krijg je dus de twee vergelijkingen:
-224-56*a-14*b=0
6000+300*a+15b=0

Dit stelsel kun je oplossen door a (of b) uit de ene vergelijking op te lossen en deze in de andere in te vullen (of evt. met matrix-rekening)

[lachis]

http://pdfcast.org/images/s/362/wiskunde-oef-1.jpg

Dat heb ik voor die eerste oefening, achteraan in mijn boek staat echter dat:
v = 1.995m/s (ik vermoed dat ze hier afrondingsfout hebben gemaakt)
s = 80,04m (maar dit, vind ik vreemd)

Zou het kunnen dat het boek verkeerd is?

[Dark_One]

Ik kan je handschrift heel slecht lezen sorry

dus is volgens mij wat je probeert te zeggen... integreren geeft dan:
oftewel:

dit is goed als je aanneemt dat v(0)=0 (je hebt immers je integratieconstante 0 genomen)
Voor t=48 krijg je dan dus


Voor s moet je de vergelijking integreren... Dit geeft:

Invullen van t=48 geeft het antwoord van het boek.

[lachis]

Ik ga het nog eens bekijken.

Maar bij die 2de oefening, zit ik alsnog vast. Ik hoop dat het leesbaar is:
http://www.imgdumper.nl/uploads3/4cb...f776162-11.bmp

[lachis]

In verband met die 3de oefening, ik begrijp niet zo goed hoe je plots aan
-224-56*a-14*b=0
6000+300*a+15b=0
dat komt.



Ik zie wel de getalletjes waarvan je ze haalt, maar ik snap niet welke tussenstap er nog mankeert. Hoe je dus van wat ik heb naar wat jij hebt gaat.

[Dark_One]

Dat is veel beter leesbaar ja.

Bij je (dit is fout?) gaat het inderdaad fout. Je hebt de linkerkant (succesvol) omgeschreven in 1 differentiaal. Daarvoor heb je echter wel alles met moeten vermenigvuldigen. Dat moet je rechts dus ook doen. Daar stond 9,81dt (of d(9.81*t) als je dat liever hebt...) Dus krijg je
Als je daarna gaat integreren zul je krijgen...

Je uiteindelijke antwoord is dan:

Spoiler

[Dark_One]

lachis schreef:

In verband met die 3de oefening, ik begrijp niet zo goed hoe je plots aan
-224-56*a-14*b=0
6000+300*a+15b=0
dat komt.



Ik zie wel de getalletjes waarvan je ze haalt, maar ik snap niet welke tussenstap er nog mankeert. Hoe je dus van wat ik heb naar wat jij hebt gaat.

Schrijf alle e-machten bij elkaar:


Omdat deze vergelijking moet gelden voor iedere x moeten beide termen voor de e-machten dus 0 zijn voor iedere x. Dit omdat je uiteindelijke functie f(x)=0 onafhankelijk moet zijn van x. Het 0 stellen van de termen voor de e-machten levert de vergelijkingen op die ik gaf.

[lachis]

Ik ga het nog is goed bekijken, in elk geval Dark_One, geweldig bedankt! Echt waar, ik weet niet hoe ik je kan bedanken :-).