[Wiskunde] Natuurlijke logaritme etc.

[allbecauseofyou]

Ik ben nu een poging aan het doen om m'n achterstallige huiswerk voor wiskunde te maken (heb een aantal lessen gemist), maar uit een aantal dingen kom ik, dus ik hoop dat jullie me kunnen helpen

1) Bereken de afgeleide:
g(x)=(3^x - 2)²
h(x)= 1000 / ( 1 + 50 * 2^0,01x)

Die eerste, g(x), daarbij dacht ik dat je de productregel moet gebruiken, maar als ik dat doe komt er iets anders uit dan bij het antwoordenboekje.
Bij h(x) dacht ik aan de quotientenregel. Zo dus:

h'(x)= ( 1 + 50 * 2^0,01x) * [1000]' + [1 + 50 * 2^0,01x]' * (1000) / (1 + 50 * 2^0,01x)²

Maar klopt ook niet met het antwoordenboekje als ik het verder uitreken.

2)Bereken algabraïsch het bereik van f(x)=2^2x - 2^x

Ik dacht eerst de afgeleide berekenen, dat gelijkstellen aan nul, dan krijg je daar een x-coördinaat van het maximum uit en doordat dan weer in te vullen in f(x) krijg je het bereik:

f'(x)=2*2^2x * ln(2) - 2^x * ln(2) = 0

Maar dan heb ik geen idee hoe ik dat verder moet uitwerken (dus hoe je krijgt x=...)

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen Alvast bedankt

[TD]

allbecauseofyou schreef op 22-11-2005 @ 20:41 :

1) Bereken de afgeleide:
g(x)=(3^x - 2)²
h(x)= 1000 / ( 1 + 50 * 2^0,01x)

Voor g(x) moet je gewoon de kettingregel toepassen.

g'(x) = 2(3^x - 2) * (3^x - 2)' = (3^x - 2) * (3^x ln(3)) = 2*3^x*(3^x - 2)*ln(3).

Bij h(x) is de quotientenregel niet nodig omdat er geen functie van x in de teller staat. De 1000 kan immers als factor voor de afgeleide brengen en dan schrijf je 1/noemer als noemer^(-1) om gewoon de machtregel te kunnen toepassen, in combinatie opnieuw met de kettingregel.

allbecauseofyou schreef op 22-11-2005 @ 20:41 :
2)Bereken algabraïsch het bereik van f(x)=2^2x - 2^x

Ik dacht eerst de afgeleide berekenen, dat gelijkstellen aan nul, dan krijg je daar een x-coördinaat van het maximum uit en doordat dan weer in te vullen in f(x) krijg je het bereik:

f'(x)=2*2^2x * ln(2) - 2^x * ln(2) = 0

Maar dan heb ik geen idee hoe ik dat verder moet uitwerken (dus hoe je krijgt x=...)

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen Alvast bedankt

2^2x stijgt sneller dan 2^x dus we hebben te maken met een stijgende functie, voor x voldoende groot, het bereik strekt dus zeker tot oneindig. We zijn dan nog op zoek naar het minimum, dat kan inderdaad door f'(x) = 0 op te lossen.

Je afgeleide kan je nog als volgt ontbinden in factoren:
f'(x) = 2^x*(2^x+1-1)*ln(2)

f'(x) = 0 als één van de factoren 0 is, dit kan makkelijk met de middelste factor, 2^x+1 moet dan immers 1 zijn en dat kan door de exponent 0 te maken, dus voor x = -1, daar bevindt zich het minimum. Bereken met het voorschrift daar de y-waarde.

[allbecauseofyou]

Oja, dankjewel

Alleen h(x) heb ik nog niet. Ik snap wel wat je bedoelt, maar het komt niet uit. Aan het antwoordenboekje te zien hebben ze wel de quotientenregel gebruikt omdat de noemer in het kwadraat is.

De rest snap ik in ieder geval nu wel, dus iig bedankt

[TD]

De noemer wordt ook een kwadraat zonder de quotiëntregel.

Neem bijvoorbeeld f(x) = 1/x. Hierop kan je de quotiëntregel toepassen (doe maar eens ter controle!) maar het is extra werk.
Handiger is de functie herschrijven als x^-1 en dan machtregel, dit levert immers -1* x^-2 = -1/x².

Analoog bij jouw opgave, maar dan nog met de kettingregel omdat je daarna nog moet vermenigvuldigen met de afgeleide van de noemer.