[Uitwendig product] Twee vragen

spitsmuis1985 · **14-06-2006, 21:15**

Hallo,

ik heb twee vragen aangaande het uitwendig product; hopelijk kan iemand mij hierbij helpen.

Stel je hebt de vergelijking A = B x C -uiteraard gaat het om drie-dimensionale vectoren- en de waardes van A en B zijn bekend. Wat is vervolgens de logische stap die moet worden gemaakt om C te isoleren en expliciet in A en B uit te drukken?
(A + B) x (C + E + D); is dat equivalent aan A x C + A x E + A x D + B x C + B x E + B x D?

Bij voorbaat dank!

Supersuri · **14-06-2006, 21:30**

Zou je het hele voorbeeld kunnen geven met waardes. Heb je al een tekening gemaakt, vaak helpt dat ook om te zien hoe je het oplost (of je antwoord logisch is of niet)

**14-06-2006, 21:55**

punt 2 is per definitie waar, distributiewet

spitsmuis1985 · **14-06-2006, 23:34**

Citaat:

Lucky Luciano schreef op 14-06-2006 @ 21:55 :
punt 2 is per definitie waar, distributiewet

Merci!

Safe · **15-06-2006, 11:48**

Citaat:

spitsmuis1985 schreef op 14-06-2006 @ 21:15 :
Hallo,

ik heb twee vragen aangaande het uitwendig product; hopelijk kan iemand mij hierbij helpen.
Stel je hebt de vergelijking A = B x C -uiteraard gaat het om drie-dimensionale vectoren- en de waardes van A en B zijn bekend. Wat is vervolgens de logische stap die moet worden gemaakt om C te isoleren en expliciet in A en B uit te drukken?

(A + B) x (C + E + D); is dat equivalent aan A x C + A x E + A x D + B x C + B x E + B x D?

Bij voorbaat dank!

Antwoord op de eerste vraag: C kan niet expliciet bepaald worden.
Wel kan Cmin bepaald worden door Cmin=A x B.
Cmin staat dan loodrecht op beide vectoren A en B.
Ten overvloede: Cmin is de projectie van vector C loodrecht de drager van vector B in het vlak van de vectoren B en C.

spitsmuis1985 · **15-06-2006, 18:18**

Citaat:

Safe schreef op 15-06-2006 @ 11:48 :
Antwoord op de eerste vraag: C kan niet expliciet bepaald worden.
Wel kan Cmin bepaald worden door Cmin=A x B.
Cmin staat dan loodrecht op beide vectoren A en B.
Ten overvloede: Cmin is de projectie van vector C loodrecht de drager van vector B in het vlak van de vectoren B en C.

Bedankt voor je reactie. Ik heb er nog even naar gekeken en ik geloof dat je de waarde van C indirect kunt bepalen door B x C uit te rekenen terwijl voor C de algemene vector [C1 C2 C3] wordt gebruikt. Uiteindelijk kom ik dan uit op een vergelijking van de vorm a i + b j + c k = (bla_1) i + (bla_2) j + (bla_3) k; i, j, k zijn de standaardvectoren. Volgens mij kun je dan gewoon de vergelijkingen a = bla_1; b = bla_2; bla_3 oplossen waar vervolgens de waardes van C1, C2 en C3 uitrollen. Ik weet echter nog niet helemaal zeker of deze methode foolproof is. Heb jij daar wellicht een idee over?

**15-06-2006, 19:35**

Ik denk dat je dan op een antwoord uitkomt dat met wat lineaire algebra op te lossen is, iets als

6*c1 - 2*c2 + 2*c3 = 0
...

TD · **15-06-2006, 20:08**

Je stelsel zal ondergedetermineerd zijn (determinant gelijk aan 0).

mathfreak · **15-06-2006, 20:14**

Citaat:

spitsmuis1985 schreef op 14-06-2006 @ 21:15 :
Stel je hebt de vergelijking A = B x C -uiteraard gaat het om drie-dimensionale vectoren- en de waardes van A en B zijn bekend. Wat is vervolgens de logische stap die moet worden gemaakt om C te isoleren en expliciet in A en B uit te drukken?

Vermenigvuldig links en rechts uitwendig met A, dan geldt: AxA=(BxC)xA=C(A·B)-B(A·C)=0, dus B(A·C)=C(A·B). Stel A=(a_x,a_y,a_z), B=(b_x,b_y,b_z) en C=(c_x,c_y,c_z), dan geldt: b_x(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_x(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z),
b_y(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_y(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z),
b_z(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_z(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z).
Je hebt nu 3 vergelijkingen met de 3 onbekenden c_x, c_y en c_z, waaruit deze zijn op te lossen.

spitsmuis1985 · **15-06-2006, 20:32**

Citaat:

mathfreak schreef op 15-06-2006 @ 20:14 :
Vermenigvuldig links en rechts uitwendig met A, dan geldt: AxA=(BxC)xA=C(A·B)-B(A·C)=0, dus B(A·C)=C(A·B). Stel A=(a_x,a_y,a_z), B=(b_x,b_y,b_z) en C=(c_x,c_y,c_z), dan geldt: b_x(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_x(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z),
b_y(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_y(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z),
b_z(a_x*c_x+a_y*c_y+a_z*c_z)
=c_z(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z).
Je hebt nu 3 vergelijkingen met de 3 onbekenden c_x, c_y en c_z, waaruit deze zijn op te lossen.

Beste Mathfreak, je maakt hier een bepaalde stap waarvan ik de logica niet direct inzie; zou je die wellicht kunnen toelichten?

Citaat:

Vermenigvuldig links en rechts uitwendig met A, dan geldt: AxA=(BxC)xA=C(A·B)-B(A·C)=0, dus B(A·C)=C(A·B).

Waarom geldt (BxC)xA = C(A·B) - B(A·C) ?

Als ik dat voor waar aanneem dan is de rest me overigens perfect duidelijk. Dank je wel!

mathfreak · **15-06-2006, 21:00**

Citaat:

spitsmuis1985 schreef op 15-06-2006 @ 20:32 :
Beste Mathfreak, je maakt hier een bepaalde stap waarvan ik de logica niet direct inzie; zou je die wellicht kunnen toelichten?

Waarom geldt (BxC)xA = C(A·B) - B(A·C) ?

Als ik dat voor waar aanneem dan is de rest me overigens perfect duidelijk. Dank je wel!

Deze formule staat bekend als het vectoriële tripelprodukt. Als je dit uitwerkt met behulp van de componenten van A, B en C zul je zien dat inderdaad geldt: (BxC)xA=C(A·B)-B(A·C). Waarschijnlijk zul je deze formule over een tijdje alsnog tegenkomen.

TD · **15-06-2006, 21:06**

Tenzij ik me vergis, moet ik de pret bederven: zoals ik al zei is de determinant van het stelsel in de componenten van c gelijk aan 0. Het is geen regulier 3x3-stelsel en heeft dus geen unieke oplossing.

Safe · **16-06-2006, 13:03**

A=BxC met C onbekend.

Meetkundig:
1. A staat loodrecht B en C.
2. |A| is de opp van het parallellogram opgespannen door de vectoren B en C. Dus: |A|=|B||C|sin<(B,C)

Uit 1 volgt: A staat loodrecht het vlak bepaald door B en C, dan is C onbepaald in richting en grootte.
Uit 2 volgt: |C|sin<(B,C) is bekend maar |C| en sin<(B,C) niet, dus weer zijn richting en grootte van C onbepaald.

De bewering van Cmin in m'n vorige post is niet volledig juist!
Cmin=AxB=kC, k is een getalfactor.

"Ten overvloede: Cmin is de projectie van vector C loodrecht de drager van vector B in het vlak van de vectoren B en C."
is dus niet juist.
Het moet zijn: Cmin is een getal maal de projectie van vector C loodrecht de drager van vector B in het vlak van de vectoren B en C.

Achteraf vraag ik me af wat 'spitsmuis' met z'n vraag bedoeld:
Is dit zomaar een 'theoretische' vraag of komt dit tevoorschijn uit een bepaald probleem?

Topictools	Zoek in deze topic
Printversie tonen Deze pagina e-mailen	Zoek in deze topic: Geavanceerd zoeken

14-06-2006, 21:30
Supersuri	Zou je het hele voorbeeld kunnen geven met waardes. Heb je al een tekening gemaakt, vaak helpt dat ook om te zien hoe je het oplost (of je antwoord logisch is of niet)

14-06-2006, 21:55
Verwijderd	punt 2 is per definitie waar, distributiewet Laatst gewijzigd op 14-06-2006 om 22:04.

15-06-2006, 19:35
Verwijderd	Ik denk dat je dan op een antwoord uitkomt dat met wat lineaire algebra op te lossen is, iets als 6c1 - 2c2 + 2*c3 = 0 ...

15-06-2006, 20:08
TD	Je stelsel zal ondergedetermineerd zijn (determinant gelijk aan 0). __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

15-06-2006, 21:06
TD	Tenzij ik me vergis, moet ik de pret bederven: zoals ik al zei is de determinant van het stelsel in de componenten van c gelijk aan 0. Het is geen regulier 3x3-stelsel en heeft dus geen unieke oplossing. __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

Advertentie