[PDE] Adjoint Operator

[Keith]

Nou gaat deze vraag wellicht een beetje boven het niveau van de gemiddelde post hier, er hangen hier denk ik wel mensen rond die me kunnen helpen met deze vraag:

"(a)
Suppose that
L = p(x)d²/dx² + r(x)d/dx + q(x)
Consider
_a/^b vL(u)dx
By repeated integration by parts, determine the adjoint operator L* such that
_a/^b [uL*(v) - vL(u)]dx = H(x)|_a^b
What is H(x)? Under what conditions does L = L*, the self-adjoint case? [Hint: show that
L* = pd²/dx² + (2dp/dx - r)d/dx + (d²p/dx² - dr/dx + q)]. [sic]
(b)
If
u(0) = 0 and du/dx(L) + u(L) = 0,
what boundary conditions should v(x) satisfy for H(x))|_a^b = 0, called the adjoint boundary conditions?"

Het tweede deel van (a) lijkt me niet te moeilijk. Is het niet gewoon L = L* stellen en dat dus ook de termen voor de verschillende differentialen gelijk moeten zijn?

Dat zou dan betekenen:
p = p
0 = 0
en
2dp/dx - r = r
dp/dx = r
en
d²p/dx² - dr/dx + q = q
d/dx (dp/dx - r) = 0
0 = 0
dus enkel de voorwaarde dp/dx = r.

Alvast bedankt.

Dit is som 5.5.11 van Haberman - Applied Partial Differential Equations?

Wat snap je er niet aan? Is het het partieel integreren? Het is de bedoeling dat je (Lu,v) gaat omschrijven naar iets van de vorm (u,L^*v).

Dit kun je doen d.m.v. partieel integreren. Dan kun je in (Lu,v) integraties over termen met u_x en u_xx elimineren. Dit levert echter wel termen met v_x en v_xx.

Uiteindelijk levert dit een uitdrukking van de vorm (Lu,v)-(u,L^*v) = H(x) |_ab. Waaruit je L^* en tevens H(x) kunt aflezen. H(x) is een term die afhangt van de randvoorwaarden differentiaalvergelijkingen.

Volgens mij komt er H(x) = ruv + pu_xv - puv_x - p_xuv uit. Controleer maar.

[Keith]

Het is inderdaad die vraag (had ik er eigenlijk bij moeten zetten he).

Ik zal er nog eens naar kijken, ik heb in ieder geval niets over het hoofd gezien zoals ik een beetje vermoede, want ik vond deze vraag toch een stuk lastiger dan de rest (is deel van een take-home exam).

Bedankt!

Ja, ik vermoedde al dat het voor een TakeHomeExam was. Bij wie.. Horssen?

[Keith]

Ja, heb jij het ook gehad?

Ik ben er overigens nog niet echt mee verder gekomen (heb ook niet veel tijd gehad).

[Keith]

Ik heb de eerste vraag nu gedaan, volgens mij met een grote omweg, maar dat maakt niet veel uit, zo is iig duidelijk dat ik het zelf heb gedaan.

Maar ik kom niet uit (b), moet ik daar dp/dx = r uit (a) meenemen? Dan valt namelijk meteen mooi een lelijk stuk van je H(x) weg. Maar anders weet ik niet zo goed hoe ik moet aanpakken, het is namelijk eigenlijk 1 vergelijking voor twee onbekdenden. Het lijkt mij dat v(0) = 0 moet gelden, waardoor de twee helft wegvalt, en dat je dan uit het eerste stuk een third kind BC afleidt uit wat overblijft. Maar hoe toon ik dit dan netjes aan?