[WI] oude examenopgaven

[ditismijnnaam]

HAi

Ik ben aan het oefenen met oude examenopgaven, maar er zijn een paar sommen waar ik niet helemaal uitkom. Ik heb de uitwerkingen gedeeltelijk, maar alsnog wordt ik er niet erg wijzer van de opgaven zijn:

Op het domein [0; 2pie] zijn gegeven de functi9es: fn (x) = 1 +sin^2x +cosnx waarbij n een positief geheel getal is.

De grafiek van fn gaat door bepaalde waarden van n door het punt ((1/6)pie;(1/4))

vraag 6: Onderzoek voor welke waarden van n tussen 0 en 50 dit geldt. om deze vraag gaat het niet, deze weet iik nog wel

f4 is te schrijven als f4 (x) =1,5 -0,5cos2x+cos4x

Vraag 7: toon aan dat dit juist is. deze vraag snap ik niet

Gedeeltelijke uitwerking:

-het gebruik van de formule cos2x=1-2sin^2x
-De herleiding tot sin^2x=0,5-0,5cos2x
-De rest van het bewijs

ditismijnnaam schreef op 17-04-2007 @ 14:17 :
f4 is te schrijven als f4 (x) =1,5 -0,5cos2x+cos4x

Vraag 7: toon aan dat dit juist is. deze vraag snap ik niet

Gedeeltelijke uitwerking:

-het gebruik van de formule cos2x=1-2sin^2x (1)
-De herleiding tot sin^2x=0,5-0,5cos2x (2)
-De rest van het bewijs

f_n (x) = 1 +sin^2x +cosnx

Dus f₄ (x) = 1 + sin²x + cos(4x)

cos(2x) = 1 - 2sin²x (1)
Hieruit volgt (2) via eenvoudige algebraïsche manipulaties.

Je weet: f₄ (x) = 1 + sin²x + cos(4x)
Je weet ook: sin²x = 1/2 - (1/2)cos(2x)
Invullen levert het gevraagde.

[ditismijnnaam]

?

[TD]

f₄(x) = 1+sin²x+cos(4x)

sin²x = 1-cos²x => f₄(x) = 2-cos²x+cos(4x)

cos²x = 1/2+cos(2x)/2 => f₄(x) = 2-1/2-cos(2x)/2+cos(4x)

Dit is hetzelfde als 1.5 - 0.5 cos(2x) + cos(4x)

Ik zie niet waarom je aan die cos(4x) zou prutsen, die staat er in het begin en hoort er uiteindelijk toch ook nog te staan?

[ditismijnnaam]

Erg bedankt

Ik heb morgen tentamen en door omstandiggheden zijn sommige onderwerpen wat weinig onder mijn aandacht gekomen.

Weet iemand ook hoe ik met de GR kan onderzoeken of de snelheid bij 0,5pie het grootst is? Ik kan de deze formule niet plotten:

sqrt((-2sin2t)^2+(-3sin3t)^2)

[snoeteke]

sqrt ??? hmm.. hoe wil je dat invoeren?

[ditismijnnaam]

misschien was ik wat inde war met iets anders. Ik bedoelde eigenlijk "wortel"

[Swlabr]

snoeteke schreef op 17-04-2007 @ 18:19 :
sqrt ??? hmm.. hoe wil je dat invoeren?

Sqrt =squareroot = tweedemachtswortel = wortel.

[ditismijnnaam]

*vol verwachting..*

[mathfreak]

ditismijnnaam schreef op 17-04-2007 @ 17:57 :
Erg bedankt

Ik heb morgen tentamen en door omstandigheden zijn sommige onderwerpen wat weinig onder mijn aandacht gekomen.

Weet iemand ook hoe ik met de GR kan onderzoeken of de snelheid bij 0,5pie het grootst is? Ik kan de deze formule niet plotten:

sqrt((-2sin2t)^2+(-3sin3t)^2)

Er geldt: (-2*sin(2*t))²=4*sin²(2*t)=16*sin²(t)*cos²(t) en (-3*sin(3*t))²=9*sin²(3*t). Nu geldt: sin(3*t)=sin(2*t+t)
=sin(2*t)*cos(t)+cos(2*t)*sin(t)
=2*sin(t)*cos²(t)+cos(2*t)*sin(t)
=sin(t)(2*cos²(t)+cos(2*t))
=sin(t)(cos(2*t)+1+cos(2*t))=sin(t)(2*cos(2*t)+1), dus 9*sin²(3*t)=9*sin²(t)(4*cos²(2*t)+4*cos(2*t)+1),
dus (-2*sin(2*t))²+(-3*sin(3*t))²
=16*sin²(t)*cos²(t)
+9*sin²(t)(4*cos²(2*t)+4*cos(2*t)+1)
=sin²(t)(16*cos²(t)+36*cos²(2*t)+36*cos(2*t)+9)
=sin²(t)(8*cos(2*t)+8+36*cos²(2*t)+36*cos(2*t)+9)
=sin²(t)(36*cos²(2*t)+44*cos(2*t)+17), dus sqrt[(-2*sin(2*t))²+(-3*sin(3*t))²
=sqrt(sin²(t)(36*cos²(2*t)+44*cos(2*t)+17)
=sin(t)*sqrt(36*cos²(2*t)+44*cos(2*t)+17).
Voor t=1/2*pi geldt: sin(t)=1, cos(2*t)=-1 en cos²(2*t)=1, dus sin(t)*sqrt(36*cos²(2*t)+44*cos(2*t)+17)=sqrt(36-44+17)
=sqrt(-8+17)=sqrt(9)=3.

[ditismijnnaam]

D-it....wazzz de si-m-p-e-l-s-t-e manier?

dit gaat kan er nooit meer bij voor morgen..

Maar toch heel erg bedankt. Ik kan het altijd na morgen ook nog gebruiken

[ditismijnnaam]

Ik raak een beetje in de war. Ik weet bijvoorbeeld niet wanneer je = gebruikt voor een vergelijking of dat je = gebruikt om te zeggen dat: " daaruit volgt" ( "is") dus. En gebruik je nu niet veel meer uitreken trucjes dan ik kan weten?
Ik weet niet of ik dat wel op die manier moest uitrekenen..

[mathfreak]

ditismijnnaam schreef op 18-04-2007 @ 10:42 :
Ik raak een beetje in de war. Ik weet bijvoorbeeld niet wanneer je = gebruikt voor een vergelijking of dat je = gebruikt om te zeggen dat: " daaruit volgt" ( "is") dus. En gebruik je nu niet veel meer uitreken trucjes dan ik kan weten?
Ik weet niet of ik dat wel op die manier moest uitrekenen..

Het teken = wordt altijd gebruikt om een gelijkheid tussen 2 dingen aan te geven. In een vergelijking is wat links van het teken = staat dan ook altijd gelijk aan wat rechts van het teken = staat. Voor "daaruit volgt" bestaat het symbool =>, dat gebruikt wordt om een bewering van de vorm "als a, dan b" of "uit a volgt b" aan te geven, wat genoteerd wordt als a=>b.
Om even terug te komen op mijn reply: ik heb daarin gebruik gemaakt van een aantal standaardformules uit de gonoimetrie, die je ook in je formulekaart terug kunt vinden. Het enige dat was gegeven is dat je een snelheid hebt die gegeven is door v(t)=sqrt[(-2*sin(2*t))²+(-3*sin(3*t))²] en dat t de waarde 1/2*pi heeft.
Een alternatief is dat je de vergelijking ([x'(t)]²+[y'(t)]²)'=0 oplost. Dit geeft ook de voorwaarde voor de maximale of minimale snelheid. Je vindt dan die waarde van t waarvoor de snelheid maximaal of minimaal is.
In dit geval geldt: [x'(t)]²=(-2*sin(2*t))²=4*sin²(2*t) en [y'(t)]²(-3*sin(3*t))²=9*sin²(3*t), dus [x'(t)]²+[y'(t)]²=4*sin²(2*t)+9*sin²(3*t), dus de afgeleide hiervan is 16*sin(2*t)*cos(2*t)+54*sin(3*t)*cos(3*t)
=8*sin(4*t)+27*sin(6*t). Stel 2*t=u, dan geldt: 8*sin(4*t)+27*sin(6*t)=8*sin(2*u)+27*sin(3*u)
=8*sin(2*u)+27*sin(2*u+u)
=8*sin(2*u)+27*sin(2*u)*cos(u)+27*cos(2*u)*sin(u)
=sin(u)(16*cos(u)+54*cos²(u)+27*cos(2*u))
=sin(u)(16*cos(u)+108*cos²(u)-27),
dus 8*sin(4*t)+27*sin(6*t)
=sin(2*t)(16*cos(2*t)+108*cos²(2*t)-27). Dit is 0 als sin(2*t)=0 of 16*cos(2*t)+108*cos²(2*t)-27=0, dus sin(2*t)=0 of 108*cos²(2*t)+16*cos(2*t)-27=0, dus sin(2*t)=0 of cos(2*t)=(-16-sqrt(256+11664))/216 of cos(2*t)=(-16+sqrt(256+11664))/216, dus sin(2*t)=0 of cos(2*t)=(-16-sqrt(11920))/216 of cos(2*t)=(-16+sqrt(11920))/216, dus sin(2*t)=0 of cos(2*t)=-2/27-sqrt(2980)/108 of cos(2*t)=-2/27+sqrt(2980)/108, dus sin(2*t)=0 of cos(2*t)=(-8-sqrt(2980))/108 of cos(2*t)=(-8+sqrt(2980))/108, dus 2*t=k*pi of 2*t=2,19+k*2*pi of 2*t=-2,19+k*2*pi of 2*t=2,02+k*2*pi of 2*t=-2,02+k*2*pi, dus t=k*1/2*pi of t=1,1+k*pi of t=-1,1+k*pi of t=1,01+k*pi of t=-1,01+k*pi.