meetkunde oef (bewijzen en zo)

[bulbanos]

het kan zijn dat je rode kruisjes ziet, probeer eerst te refreshen en als het niet lukt dan ligt de server plat

[Tampert]

Bulbanos:

Ik heb je plaatjes wat verkleind om de leesbaarheid teverbeteren en om sociaal te doen tegen de modemmers....

de oplossingen ben ik ook aan het bekijken

[mathfreak]

In kubus abcd.efgh geldt dat de lengte van vlakdiagonaal ac gelijk is aan ab*sqrt(2), dus ac=A*sqrt(2) en dat de lengte van lichaamsdiagonaal ag gelijk is aan ab*sqrt(3), dus ag=A*sqrt(3).
Omdat m het midden is van ac geldt: am=1/2*ac=1/2*A*sqrt(2). Voor me vinden we met behulp van de stelling van Pythagoras: me^2=am^2+ae^2=1/2*A^2+A^2=1 1/2*A^2, dus me=1/2*A*sqrt(6).
Het snijpunt van me en ag is s. Beschouw nu de gelijkvormige driehoeken ams en ges. Dit geeft de evenredigheid am/ge=1/2*A*sqrt(2)/A*sqrt(2) =1/2*A/A=1/2=ms/es=as/gs.
We vinden nu: es=2*ms, dus me=3*ms, dus ms=1/3*me=1/6*A*sqrt(6),
dus es=2/6*A*sqrt(6)=1/3*A*sqrt(6). Op dezelfde wijze vinden we: gs=2*as, dus ag=3*as, dus as=1/3*ag=1/3*A*sqrt(3), dus gs=2*1/3*A*sqrt(3)=2/3*A*sqrt(3).
Pas nu in driehoek ges de cosinusregel toe voor hoek S. Dit geeft: ge^2=gs^2+es^2-2*gs*es*cos(S). Dit geeft: 2*A^2=1 1/3*A^2+2/3*A^2-1 1/3*A*sqrt(3)*1/3*A*sqrt(6)*cos(S) ofwel 2*A^2=2*A^2-8/9*A^2*sqrt(2)*cos(S) ofwel 8/9*A^2*sqrt(2)*cos(S)=0. Omdat A niet nul is moet gelden: cos(S)=0, dus hoek S=90°.

Dit heeft betrekking op de piramide.
In driehoek mbt geldt volgens de stelling van Pythagoras: bt^2=bm^2+mt^2=1/2*A^2+9*A^2=9 1/2*A^2, dus bt=1/2*A*sqrt(38). Er geldt: cos(hoek bct)=1/2*bc/bt=1/2*A/1/2*A*sqrt(38)=1/sqrt(38).
In driehoek abp geldt: cos(hoek abp)=cos(hoek bct)=1/sqrt(38), dus bp=ab*cos(hoek bct)=A*1/sqrt(38)=A/sqrt(38).
We gaan nu in driehoek bcp de lengte van cp berekenen met behulp van de cosinusregel. Dit levert: cp^2=bp^2+bc^2-2*bp*bc*cos(hoek bct)=A^2/38+A^2-2*A/sqrt(38)*A/sqrt(38)
=39*A^2/38-2*A^2/38=37*A^2/38, dus cp=A*sqrt(37/38).
Pas nu in driehoek bcp de cosinusregel toe voor hoek bpc. Dit geeft: bc^2=bp^2+cp^2-2*bp*cp*cos(hoek bpc). Dit geeft: A^2=A^2/38+37*A^2/38-2*A/sqrt(38)*A*sqrt(37/38)*cos(hoek bpc) ofwel A^2=A^2-2*A^2*sqrt(37)/38*cos(hoek bpc)
=A^2-A^2*sqrt(37)/19*cos(hoek bpc)
ofwel A^2*sqrt(37)/19*cos(hoek bpc)=0. Omdat A niet nul is moet gelden: cos(hoek bpc)=0, dus hoek bpc=90°, dus pc staat loodrecht op tb.
Om de hoek tussen tba en tbc te vinden bepaal je eerst de snijlijn van deze twee vlakken. Dat is tb. Teken nu het standvlak dat loodrecht op tb staat. Teken vervolgens de standhoek door de snijlijnen van tba en tbc met het standvlak te tekenen en bereken de standhoek door de methode voor het berekenen van een hoek tussen 2 lijnen toe te passen.

[Demon of Fire]

mathfreak schreef:
*lang technisch verhaal*

Good Gracious....dat moet leesbaar zijn???

Groetjes
Ben(die het wel erg ingewikkeld vind overkomen

[pol]

Een variantje op 28.(Iets korter, maar 't blijft technisch) :

Definieer in de kubus het orthonormaal assestelsel met oorsprong d en basisvectoren : da , dc en dh.

a = (1,0,0) g=(0,1,1) e=(1,0,1) m=(1/2,1/2,-1) (dit zijn de coordinaten van de respectievelijke punten tegenover' onze basis.

Hieruit bepalen we de richtingsvectoren voor de rechten ag en cm :

ag = [-1 1 1] en em = [-1/2 1/2 -1] (toepassing Charles-Möbius : ag = g-a en em = m-e).

We nemen het scalair product van de twee vectoren :

[-1 1 1] . [-1/2 1/2 -1] = 1/2 + 1/2 - 1 = 0.

Aangezien ag en em verschillend van de nulvector zijn, kan het niet anders dan dat ag en em loodrecht op elkaar staan, hetgeen het gevraagde bewijst.

Hierbij hoef je bijna geen berekeningen te maken!

[GinnyPig]

Een variantje op 47 1)

Gegeven: zie vraag (skip ik ff )
Te Bewijzen: hoek bpc = 90* (graden)
Bewijs:

ab = bc (regelmatige piramide)
bp = bp
hoek abp = hoek cbp (regelmatige piramide)

==> Uit het bovenstaande volgt: driehoek abp is congruent met driehoek cbp (argument: Z(ijde)H(oek)Z(zijde))

Daaruit volgt weer:
hoek cpb = hoek apb = 90*

Dit is volgens de methodes die je mag gebruiken voor het eindexamen wiskunde B1,2 VWO nieuwe stijl... Vandaar dat ik de het ff liet zien

Overigens gebruik ikzelf normaal tekens ipv zinnen. Dat maakt het naar mijn mening wat overzichtelijker en korter (en is nog steeds volgens het examenregelement uiteraard )

[alwaysgood]

ikke is niet zo goed in meetkunde

[bulbanos]

mathfreak schreef:

Het snijpunt van me en ag is s. Beschouw nu de gelijkvormige driehoeken ams en ges.

waarop steun je om te zeggen dat ze gelijkvormig zijn?

bulbanos schreef:
waarop steun je om te zeggen dat ze gelijkvormig zijn?

Volgens mij was dat een definitie van twee driehoeken die zo staan

moeilijk uit te leggen... Misschien kan mathfreak het beter

[mathfreak]

bulbanos schreef:
waarop steun je om te zeggen dat ze gelijkvormig zijn?*heeft betrekking op de driehoeken ams en ges*

Kijk maar eens naar de hoeken mas en mgs. Dit zijn 2 verwisselende binnenhoeken, dus zijn ze gelijk aan elkaar. Daar beide driehoeken de hoek S gemeenschappelijk hebben en de som van de hoeken in een driehoek 180° is zijn de hoeken in beide driehoeken onderling gelijk en zijn beide driehoeken dus gelijkvormig.

[bulbanos]

mathfreak schreef:
Dit heeft betrekking op de piramide.
In driehoek mbt geldt volgens de stelling van Pythagoras: bt^2=bm^2+mt^2=
1/2*A^2+9*A^2=9 1/2*A^2,

bm=mc en mc=A
wat maakt dat BT²=10A²



dus bt=1/2*A*sqrt(38). Er geldt: cos(hoek bct)=1/2*bc/bt=1/2*A/1/2*A*sqrt(38)=1/sqrt(38).
In driehoek abp geldt: cos(hoek abp)=cos(hoek bct)=1/sqrt(38), dus bp=ab*cos(hoek bct)=A*1/sqrt(38)=A/sqrt(38).
We gaan nu in driehoek bcp de lengte van cp berekenen met behulp van de cosinusregel. Dit levert: cp^2=bp^2+bc^2-2*bp*bc*cos(hoek bct)=A^2/38+A^2-2*A/sqrt(38)*A/sqrt(38)
=39*A^2/38-2*A^2/38=37*A^2/38, dus cp=A*sqrt(37/38).
Pas nu in driehoek bcp de cosinusregel toe voor hoek bpc. Dit geeft: bc^2=bp^2+cp^2-2*bp*cp*cos(hoek bpc). Dit geeft: A^2=A^2/38+37*A^2/38-2*A/sqrt(38)*A*sqrt(37/38)*cos(hoek bpc) ofwel A^2=A^2-2*A^2*sqrt(37)/38*cos(hoek bpc)
=A^2-A^2*sqrt(37)/19*cos(hoek bpc)
ofwel A^2*sqrt(37)/19*cos(hoek bpc)=0. Omdat A niet nul is moet gelden: cos(hoek bpc)=0, dus hoek bpc=90°, dus pc staat loodrecht op tb.
Om de hoek tussen tba en tbc te vinden bepaal je eerst de snijlijn van deze twee vlakken. Dat is tb. Teken nu het standvlak dat loodrecht op tb staat. Teken vervolgens de standhoek door de snijlijnen van tba en tbc met het standvlak te tekenen en bereken de standhoek door de methode voor het berekenen van een hoek tussen 2 lijnen toe te passen.

Daar zit een kleine fout, mc is gegeven=A
verder zijn alle getallen verkeerd (volgens de oef) maar de structuur heb ik kunnen gebruiken! bedankt!

[mathfreak]

bulbanos schreef:
Daar zit een kleine fout, mc is gegeven=A
verder zijn alle getallen verkeerd (volgens de oef) maar de structuur heb ik kunnen gebruiken! bedankt!

Je hebt gelijk. Ik meende uit de figuur af te lezen dat het grondvlak zijden met lengte A had. Ik ben blij dat je er desondanks toch verder mee kon. Excuses voor mijn onoplettendheid.

[bulbanos]

mathfreak schreef:

Je hebt gelijk. Ik meende uit de figuur af te lezen dat het grondvlak zijden met lengte A had. Ik ben blij dat je er desondanks toch verder mee kon. Excuses voor mijn onoplettendheid.

tja, dat is wiskunde, een kleine fout in het begin en je bent vertrokken

Nu zit ik nog met een probleem voor de hoek tss die 2 vlakken (pyramide): ik heb de oplossing staan in mijn boek maar wat ik uitkom is het supplement ervan...
+/-93° ipv +/-87° en de supplementen hebben een tegengestelde cosinus

[mathfreak]

bulbanos schreef:
tja, dat is wiskunde, een kleine fout in het begin en je bent vertrokken

Nu zit ik nog met een probleem voor de hoek tss die 2 vlakken (pyramide): ik heb de oplossing staan in mijn boek maar wat ik uitkom is het supplement ervan...
+/-93° ipv +/-87° en de supplementen hebben een tegengestelde cosinus

Dat het supplement van een hoek een tegengestelde cosinuswaarde heeft klopt. Voor iedere hoek a geldt: cos(180°-a)=-cos(a).
Wat je zou kunnen proberen is het volgende: kies het hoekpunt d van de piramide als oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel, stel vervolgens van de vlakken abt en bct de normaalvergelijking op en bereken de cosinus van de (scherpe) hoek tussen deze 2 vlakken door de absolute waarde van het inwendig produkt van de normaalvectoren door het produkt van de lengten van de normaalvectoren te delen. Je zou dan als het goed is op een hoek van ongeveer 87° uit moeten komen zoals je al aangaf.

[bulbanos]

mathfreak schreef:

Dit heeft betrekking op de piramide.
....
Er geldt: cos(hoek bct)=1/2*bc/bt=1/2*A/1/2*A*sqrt(38)=1/sqrt(38).

die versta ik trouwens niet, hoe kan een cos=1/2*bc/bt zijn? moet je daarvoor de cosinusregel niet hebben?

[Joël]

Mijn variantje op 28 :

Ik beschouw vlakdeel acge als een assenstelsel met oorsprong a, x-as ac en y-as ae. Dan is een vergelijking voor de lijn em:

y = - (A / 0,5(sqrt(2(A²)))) x + A

De vergelijking voor ag:

y = (A / (sqrt(2(A²)))) x

Als deze lijnen loodrecht op elkaar zijn, moet het produkt van de richtingscoöfficienten gelijk zijn aan -1:

- (A / 0,5(sqrt(2(A²)))) x (A / (sqrt(2(A²))))

= - A² / (0,5(sqrt(2(A²))) x (sqrt(2(A²))))

= - A² / 0,5 x 2 x (A²)

= -A² / A²

= -1

q.e.d.

[mathfreak]

bulbanos schreef:
die versta ik trouwens niet, hoe kan een cos=1/2*bc/bt zijn? moet je daarvoor de cosinusregel niet hebben?

Je hebt gelijk. Ik had in plaats van zijde bt zijde ct moeten nemen. Dit maakt voor de waarde van de cosinus geen verschil.
Als je goed kijkt zie je dat driehoek bct gelijbenig is. Door nu in deze driehoek de hoogtelijn uit t te trekken die bc snijdt in, laten we zeggen: e, krijg je een rechthoekige driehoek ect met ec=1/2*bc als aanliggende rechthoekszijde t.o.v. hoek bct en ct als schuine zijde zodat geldt:
cos(hoek bct)=ec/ct=1/2*bc/ct.
Je ziet dus dat je in dit geval in een rechthoekige driehoek werkt en dus geen beroep op de cosinusregel hoeft te doen, maar rechtstreeks de cosinus kunt bepalen door de aanliggende rechthoekszijde door de schuine zijde te delen.