[calculus] raaklijn

Ik loop een beetje vast bij het volgende probleem:

f(x,y) = x²+4y²
vind de gradient vector grad f(2,1) en gebruik deze om de raaklijn aan het oppervlak f(x,y) = 8 in het punt (2,1) te vinden.

Ik ben er al uit dat de gradientvector <4,8> moet zijn, maar dan die formule voor de raaklijn nog...

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 22-03-2004 @ 11:52:
Ik loop een beetje vast bij het volgende probleem:

f(x,y) = x²+4y²
vind de gradient vector grad f(2,1) en gebruik deze om de raaklijn aan het oppervlak f(x,y) = 8 in het punt (2,1) te vinden.

Ik ben er al uit dat de gradientvector <4,8> moet zijn, maar dan die formule voor de raaklijn nog...

Er is gegeven dat de gradiënt in een punt de richting van de normaal van het desbetreffende niveauvlak f(x,y)=c (met c een gegeven constante) heeft, en dat de grootte van de gradiënt overeenkomt met de richtingsafgeleide van f in de richting van de normaal. Waarschijnlijk kom je hier wel verder mee.

mathfreak schreef op 22-03-2004 @ 18:49:
Er is gegeven dat de gradiënt in een punt de richting van de normaal van het desbetreffende niveauvlak f(x,y)=c (met c een gegeven constante) heeft, en dat de grootte van de gradiënt overeenkomt met de richtingsafgeleide van f in de richting van de normaal. Waarschijnlijk kom je hier wel verder mee.

nee , ik weet dat de gradient loodrecht op de raaklijn staat, dus dat <4,8> . r'(2,1) = 0 (inprodukt)
Maar wat moet ik dan met f(x,y)=8? en hoe kan ik dan oplossen voor de raakvector?

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 22-03-2004 @ 19:58:
nee , ik weet dat de gradient loodrecht op de raaklijn staat, dus dat <4,8> . r'(2,1) = 0 (inprodukt)
Maar wat moet ik dan met f(x,y)=8? en hoe kan ik dan oplossen voor de raakvector?

Maak gebruik van het feit dat de vergelijking van het raakvlak, waar je in dit geval mee te maken hebt, gelijk is aan het inwendig produkt
((2,1)-(x,y)))·grad f=0.

mathfreak schreef op 22-03-2004 @ 21:52:
Maak gebruik van het feit dat de vergelijking van het raakvlak, waar je in dit geval mee te maken hebt, gelijk is aan het inwendig produkt
((2,1)-(x,y)))·grad f=0.

oke, daar was ik niet op gekomen,

dan kun je dus zeggen dat
((2,1)-(x,y))·<4,8> = 0
(2-x,1-y)·<4,8> = 0
4-4x+8-8y = 0
x+2y = 4

en dat is het antwoord...

heel erg bedankt

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 22-03-2004 @ 22:50:
oke, daar was ik niet op gekomen,

dan kun je dus zeggen dat
((2,1)-(x,y))·<4,8> = 0
(2-x,1-y)·<4,8> = 0
4-4x+8-8y = 0
x+2y = 4

en dat is het antwoord...

heel erg bedankt

Graag gedaan.