Twee wiskundeprobleempjes

1. Twee zoons erven van hun vader een mooie, ronde slijpsteen. Het gat in het midden heeft een diameter die gelijk is aan 1/7e deel van de totale diameter. Omdat zo'n steen niet te verdelen is in twee kleinere slijpstenen, maken ze de afspraak dat de oudste van de twee de steen mag gebruiken tot de helft eraf gesleten is. Daarna krijgt de andere zoon de steen in zijn bezit. Hoe bepaal je de helft van die steen?

Ik heb geen idee hoe ik dit moet aanpakken. Moet ik de inhoud in procenten uitdrukken?

2. Construeer een driehoek met gegeven basis en gegeven omtrek. Welke mogelijkheden heb je?

Ook hier weet ik me geen raad mee.

[rensd]

Stel dat je de straal van de slijpsteen x noemt. De straal van de diameter is dan (1/7)x.

De oppervlakte van de slijpsteen wordt dan weergeveven door:

O = pi*x^2 - pi*((1/7)x^2) want de oppervlakte van een cirkel is pi*r^2, deze oppervlakte is dus die van de grote cirkel - de kleine.

Dat is pi*x^2 - pi*(1/49)x^2

Nou moet die oppervlakte de helft worden:

O' = (pi*x^2 - pi*(1/49)x^2)*0,5 = 0,5pi*x^2 - 0,5pi*(1/49)x^2

stel dat je nu weten welke straal a hoort bij die halve oppervlakte,
dan geldt dit:

pi*a^2 = O'

Daaruit volgt dan: a= SQRT(O'/pi) = SQRT((0,5pi*x^2 - 0,5pi*(1/49)x^2)/pi)
Dan kan je nog mooi die pi wegdelen dus:

a= SQRT(0,5x^2 - (1/98)x^2)

Als je die straal a weet weet je ook hoeveel de eerste broer eraf mag slijpen, namelijk x-a.

Owja SQRT betekent Wortel.

Opgave 2:

Je moet dus een driehoek construeren waarvan de basis bekend is en de som van de 2 andere zijden constant is, anders krijg je geen constante omtrek.
Voor een ellips geldt: PF1+PF2 = constant, dus al je mogelijke punten voor de driehoek PF1F2 liggen op een ellips met als basis voor de driehoek de afstand tussen de 2 brandpunten, F1F2
De 2 punten op de ellips in het verlengde van de basis F1F2 vallen af, want dan klapt je driehoek dicht.

Weet niet zeker of dit allemaal goed is, het lijkt me iig wel logisch, maar laat de echte experts het maar controleren.

[WelVrolijk]

Rensd,


Jouw antwoord op de tweede vraag lijkt mij correct.

[WelVrolijk]

Die eerste vraag moet een stuk makkelijker kunnen:


Stel dat het gat een straal heeft van r.
Dan heeft de totale steen een doorsnee van 7r.

Noem de hoogte van de steen even h.

Het volume van de oorspronkelijke steen is dan
h * pi * (7r)² - h * pi * (r)²
= ?? *h * pi * r²

Het volume van de gehalveerde steen moet dan zijn:
??? *h * pi * r²
= h * pi * (????r)² - h * pi * (r)²

Dus de oudste zoon mag de steen gebruiken totdat de diameter gelijk is aan ???? keer de diameter van het gat.

[happy 2]

Hey Happyyyyyy, heb je ook de vragen van statistiek tentamen voor maandag... zou handig zijn als je die gefixt kreeg via deze site, owja stuur ze dan ook ff door!!!!! groetjes happy 2

[ILUsion]

Een slijpsteen dient om te slijpen, dus de buitenste oppervlakte is van belang. We kunnen stellen dat de slijpsteen een constante dikte h heeft, (dus slijp je enkel loodrecht op de steen, niet onder een bepaalde hoek). Hierdoor kan je het probleem herleiden tot een 2D-probleem waarmee de buitenste oppervlakte herleid is tot de omtrekt.

Maar die oppervlakte verandert bij het slijpen, dus daarover integreren, geeft in feite de oppervlakte van het af te slijpen gedeelte.

Bij het begin heb je een slijpsteen met oppervlakte pi(7R)² - pi R² = 48 pi R²

Daarvan mogen beide zoons elk de helft gebruiken, dus allebei hebben ze recht op 24 pi R²

Voor de laatste die de steen krijgt, heb je dus een een oppervlakte 24 pi R², maar de straal is niet gewoon R hierin, omdat die slijpsteen geen gevulde cirkel is. Bij de oppervlakte van de gevulde schijf moet je 1 pi R² bijtellen, dus heeft de laatste een slijpsteen (inclusief gat in het midden nu) met oppervlakte van 24 pi R² + pi R² = 25 pi R². Hiervan kan je dus de straal berekenen, namelijk 5R en dat is je oplossing.

Bij het begin heb je een gat van 1R en een steen met straal 7R, de oudste mag die afslijpen tot de straal van de steen afgenomen is tot 5R en dan krijgt de tweede zoon hem.

Wat die tweede opgave betreft: di ellips-methode lijkt me wel logisch :-)

[happy 2]

Ik had niet verwacht dat JIJ met die problemen je geen raad wist.....Misschien vond je probleemoplossen toch niet zo leuk zoals je iedereen vertelde.....of wel juist door deze site.....

ik denk dat met die slijpsteen de oppervlakte belangrijker is…

de oppervlakte van de steen is de gehele opp – de opp van het gat. noem de straal van het gat r, de hele straal is dan idd 7r, dus de opp is
pi*7r*7r – pi*r*r

de helft van de steen is dus de helft van deze opp:
1/2*(pi*49r2-pi*r2)=1/2pi*(49r2-r2)=1/2pi(48r2)

dan heb je de oppervlakte van de nieuwe steen, en door omgekeerd de formule te gebruiken kun je de straal van die cirkel uitrekenen. de nieuwe straal noem je r’
r’=wortel uit{1/2pi(48r2) /pi}=wortel uit{1/2(48r2)}=wortel uit{24r2}


of zeg ik nu precies hetzelfde als hierboven

[ILUsion]

sterrenmeisje schreef op 29-01-2007 @ 19:31 :
ik denk dat met die slijpsteen de oppervlakte belangrijker is…

de oppervlakte van de steen is de gehele opp – de opp van het gat. noem de straal van het gat r, de hele straal is dan idd 7r, dus de opp is
pi*7r*7r – pi*r*r

de helft van de steen is dus de helft van deze opp:
1/2*(pi*49r2-pi*r2)=1/2pi*(49r2-r2)=1/2pi(48r2)

dan heb je de oppervlakte van de nieuwe steen, en door omgekeerd de formule te gebruiken kun je de straal van die cirkel uitrekenen. de nieuwe straal noem je r’
r’=wortel uit{1/2pi(48r2) /pi}=wortel uit{1/2(48r2)}=wortel uit{24r2}


of zeg ik nu precies hetzelfde als hierboven

Je zegt hetzelfde als ik in mijn post, behalve dat je bij dat omdraaien van die formule vergeten bent om dat gat in rekening te brengen. Want met een gat kun je spijtiggenoeg niet slijpen.

ILUsion schreef op 29-01-2007 @ 20:19 :
Je zegt hetzelfde als ik in mijn post, behalve dat je bij dat omdraaien van die formule vergeten bent om dat gat in rekening te brengen. Want met een gat kun je spijtiggenoeg niet slijpen.

ja... das dan dom hè ach... verveelde me... wou kijken of ik nog kon rekenen, 10 jaar na middelbare school. valt dus op zich niet eens tegen

[ILUsion]

sterrenmeisje schreef op 29-01-2007 @ 21:20 :
ja... das dan dom hè ach... verveelde me... wou kijken of ik nog kon rekenen, 10 jaar na middelbare school. valt dus op zich niet eens tegen

Valt inderdaad niet zo tegen :-) Al 10 jaar van het middelbaar af op je 23e (of neem ik je nu te letterlijk?)

ILUsion schreef op 30-01-2007 @ 11:46 :
Valt inderdaad niet zo tegen :-) Al 10 jaar van het middelbaar af op je 23e (of neem ik je nu te letterlijk?)

hmmm... 10 jaar was vast een rekenfoutje ik bedoel 6 jaar... geen idee waarom ik 10 typte! (was 17 toen ik diploma haalde)