goniometrische vergelijking

[jbtq]

een vraagje. Eigelijk 2
Hoe los je het volgende op:

(2+4sin x )/ (3+2 sin x) = 1+ 2 sin x
op?? met als domein van [0, 2 pi]

En hoe bereken je d sin2x/dx met behulp van de limiet van een differentie quotient?? Je mag dus geen ketting regel toepassen

Alvast bedankt

[tom1404]

de functie kun je als volgt herschrijven:

2+4sin(x)
------------ = 1 + 2sin(x)
3+2sin(x)

(3+2sin(x))*(1+2sin(x)) = 2+4sin(x) (kruislings vermenigvuldigen)

2sin²(x) + 5sin(x) + 3 = 2+4sinx

2sin²(x) + sin(x) + 1 = 0

dit is gewoon een vierkansvergelijking die gemakkelijk op te lossen is met bijvoorbeeld de abc formule. (sin(x) is hier de variabele x uit de abc-formule)

als je dan weet wat sin(x) is kun je daarna x uitrekenen door bijvoorbeeld naar de eenheidscirkel te kijken.

Die tweede vraag zul je een beetje moeten verduidelijken. Bedoel je hier de limiet van sin(x) dx als x naar oneindig gaat of als x naar 0 gaat??? Als je dit kunt verduidelijken dan kan ik je wel helpen.

tom1404 schreef op 27-04-2003 @ 20:25:
de functie kun je als volgt herschrijven:

2+4sin(x)
------------ = 1 + 2sin(x)
3+2sin(x)

(3+2sin(x))*(1+2sin(x)) = 2+4sin(x) (kruislings vermenigvuldigen)

2sin²(x) + 5sin(x) + 3 = 2+4sinx

2sin²(x) + sin(x) + 1 = 0

dit is gewoon een vierkansvergelijking die gemakkelijk op te lossen is met bijvoorbeeld de abc formule. (sin(x) is hier de variabele x uit de abc-formule)

als je dan weet wat sin(x) is kun je daarna x uitrekenen door bijvoorbeeld naar de eenheidscirkel te kijken.

ik zou die kruislingsee vermenigvuldiging anders uitrekenen

2+4sin(x)
------------ = 1 + 2sin(x)
3+2sin(x)

(3+2sin(x))*(1+2sin(x)) = 2+4sin(x)

4sin²(x) + 8sin(x) + 3 = 2 + 4sin(x)

4sin²(x) + 4sin(x) + 1 = 0

volgens mij moet je er nu een goniometrische formule voor sin²x bij trekken, om hem tot een sin(x) om te bouwen, de 0 en 1 als een sinus schrijven en dan sin A=sin B geeft A=B+k 2pi of A= pi-B + k 2pi toepassen

(ik heb nu ff geen formulekaart, dus die formules weet ik ff niet)

[jbtq]

De tweede vraag is eigelijk de afgeleide bepalen van sin2x maar dit mag je dan niet doen met de kettinregel [ zoals je wel zou doen] of uitgaand van de standaardafgeleide. Je moet dus door middel van het differentie quotient het uitrekenen.
Kan het niet makkelijker uitleggen

Maar bedankt voor de eerste uitleg

[tom1404]

Je hebt helemaal gelijk Floris, had een foutje gemaakt met het opschrijven van de vergelijking.

Nu heb je een vierkansvergelijking gekregen

4sin²(x) + 4 sin(x) + 1 = 0

voor sin(x) schrijven we nu x. We krijgen dan:

4x² + 4x + 1 = 0
oftewel
(2x+1)² = 0

dux x = -0,5

Je moet nu dus uitrekenen wanneer sin(x) = -0,5 op het interval [0 tot 2pi]

tom1404 schreef op 27-04-2003 @ 22:15:
Je hebt helemaal gelijk Floris, had een foutje gemaakt met het opschrijven van de vergelijking.

Nu heb je een vierkansvergelijking gekregen

4sin²(x) + 4 sin(x) + 1 = 0

voor sin(x) schrijven we nu x. We krijgen dan:

4x² + 4x + 1 = 0
oftewel
(2x+1)² = 0

dux x = -0,5

Je moet nu dus uitrekenen wanneer sin(x) = -0,5 op het interval [0 tot 2pi]

ok

en op [0,2pi] is sin(x) = -0,5 op x=7/6pi en x= 11/6 pi

en hoe kun je trouwens zo zien dat 4x² + 4x + 1 = (2x+1)?

dat zou ik dus niet zo kunnen zien

[tom1404]

FlorisvdB schreef op 27-04-2003 @ 22:32:


en hoe kun je trouwens zo zien dat 4x² + 4x + 1 = (2x+1)²?


dat zou ik dus niet zo kunnen zien

Gewoon een beetje proberen. Je weet in ieder geval dat het iets van (...x+...)*(...x+...) moet worden. (beide + omdat 4x ook positief is) en dan kun je een beetje proberen in te vullen zodat je het bovenstaande er uit krijgt.

En als je dit niet lukt dan zou ik de ABC-formule en dan kom je ook op de uitkomst

[tý]

FlorisvdB schreef op 27-04-2003 @ 22:32:
ok

en op [0,2pi] is sin(x) = -0,5 op x=7/6pi en x= 11/6 pi

en hoe kun je trouwens zo zien dat 4x² + 4x + 1 = (2x+1)?

dat zou ik dus niet zo kunnen zien

dat is vooral inzicht

als je begint met ontbinden, zonder factor voor de x², en alleen hele getallen

daarna ook breuken erbij en getallen voor x², dan ga je dat vanzelf zien (als je er aanleg voor hebt)

als je het ziet werkt het iig veel sneller dan de abc-formule

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 27-04-2003 @ 22:32:
en hoe kun je trouwens zo zien dat 4x² + 4x + 1 = (2x+1)²?

dat zou ik dus niet zo kunnen zien

Er geldt: (a+b)²=a²+2*a*b+b². Door voor a de waarde 2*x en voor b de waarde 1 te kiezen kun je op deze manier afleiden dat (2*x+1)² de waarde 4*x²+4*x+1 heeft. Door in de formule voor (a+b)² het rechter- en het linkerlid te verwisselen kun je dus zien dat 4*x²+4*x+1 te schrijven is als (2*x+1)² omdat 4*x het dubbele produkt van 2*x en 1 voorstelt en 4*x² het kwadraat van 2*x en 1 het kwadraat van 1 voorstelt.

[tý]

jbtq schreef op 27-04-2003 @ 18:23:

En hoe bereken je d sin2x/dx met behulp van de limiet van een differentie quotient?? Je mag dus geen ketting regel toepassen

Alvast bedankt

f(x) = sin[2x]

volgens definitie geldt:
f'(x) = lim[dx->0] (sin[2(x + dx)] - sin[2x]) / dx = q / dx

ik heb overal dx gebruikt ipv 'delta'x
natuurlijk is die niet helemaal correct, maar ik heb geen delta op m'n toetsenbord enzo


q = sin[2(x + dx)] - sin[2x]
q = sin[2x + 2dx] - sin[2x]

q = sin[2x] * cos[2dx] + cos[2x] * sin[2dx] - sin[2x]

q = sin[2x] * (cos[2dx] - 1) + cos[2x] * sin[2dx]

q = sin[2x] * (cos[2dx] + cos[pi]) + cos[2x] * sin[2dx]

q = sin[2x] * (2 * cos[½ * (2dx + pi)] * cos[½ * (2dx - pi)]) + cos[2x] * sin[2dx]

q = sin[2x] * 2 * cos[dx + ½pi] * cos[dx - ½pi] + cos[2x] * sin[2dx]

q = sin[2x] * 2 * -sin[dx] * sin[dx] + cos[2x] * sin[2dx]

q = -2 * sin²[dx] * sin[2x] + cos[2x] * sin[2dx]


Maak gebruik van de standaardlimiet: lim[a->0] sin[a] / a = 1

f'(x) = lim[dx->0] q / dx

f'(x) = lim[dx->0] -2 * (sin[dx] / dx) * sin[dx] * sin[2x] + lim[dx->0] cos[2x] * 2 * (sin[2dx] / 2dx)

f'(x) = -2 * 1 * sin[0] * sin[2x] + cos[2x] * 2 * 1

f'(x) = 0 + 2*cos[2x]

f'(x) = 2*cos[2x]

mathfreak schreef op 28-04-2003 @ 18:21:
Er geldt: (a+b)²=a²+2*a*b+b². Door voor a de waarde 2*x en voor b de waarde 1 te kiezen kun je op deze manier afleiden dat (2*x+1)² de waarde 4*x²+4*x+1 heeft. Door in de formule voor (a+b)² het rechter- en het linkerlid te verwisselen kun je dus zien dat 4*x²+4*x+1 te schrijven is als (2*x+1)² omdat 4*x het dubbele produkt van 2*x en 1 voorstelt en 4*x² het kwadraat van 2*x en 1 het kwadraat van 1 voorstelt.

ok bedankt je moet dus naar een product zoeken waarvan de 2 termen de goede som vormen

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 29-04-2003 @ 21:55:
ok bedankt je moet dus naar een product zoeken waarvan de 2 termen de goede som vormen

Inderdaad. De formule voor (a+b)² die ik vermeldde staat bekend als een van de 3 merkwaardige produkten, die je kunt afleiden met behulp van de verdeeleigenschap a(b+c)=a*b+a*c. De merkwaardige produkten zijn:
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=a²+2*a*b+b²
- (a-b)²=a²-2*a*b+b².
Naast deze 3 merkwaardige produkten is er ook nog de formule
(a+p)(a+q)=a²+(p+q)a+p*q.
Door de hier vermelde formules van rechts naar links te lezen vind je de formules voor ontbinding in factoren. Bij de laatstgenoemde formule geeft dat een ontbinding in factoren volgens de zogenaamde produkt-som methode.