Normale verdeling

[Examen-boy]

Hallo!

Ik ben de zoekfunctie betreft de normale verdeling al langsgeweest maar krijg geen duidelijkheid over 2 vragen waar ik mee bezig ben.

Het is volgens mij hartstikke simpel maar toch kom ik er niet uit! terwijl ik wel uit de andere vragen uitkom over de normale verdeling.

Hier zijn de vragen die ik niet snap, en hoop dat jullie mij kunnen helpen ermee.

* Het gewicht van schoolkinderen in een bepaalde leeftijdscategorie is normaal verdeeld met een gemiddelde van 30 kg en een standaardafwijking van 3 kg.
>> Bereken de kans dat het gemiddelde gewicht van 25 schoolkinderen meer dan 1 kg van 30 kg afwijkt.
het lijkt mij dat je hier de x moet bepalen mbv normalcdf <29 en >30 maar ik zit in de knoei met het punt dat je opeens 25 leerlingen hebt...

* Uit een mediaonderzoek is vast komen te staan dat 60% van alle academici het blad Intermediair leest. Hoe groot is de kans dat bij een willekeurige steekproef van 80 academici minder dan 40 Intermediair lezers zitten?
Hier weet ik niet hoe ik de standaardafwijking kan berekenen want die ontbreekt dus nog. Het gemiddelde heb ik, en dat is volgens mij 48 (60% v. 80). dus heb ik tot nu toe: normalcdf (-E99,40,48,...)

Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen met deze 2 vragen.
alvast hartelijk bedankt!

mvg,

[WelVrolijk]

Examen-boy schreef op 20-12-2006 @ 22:27 :
* Uit een mediaonderzoek is vast komen te staan dat 60% van alle academici het blad Intermediair leest. Hoe groot is de kans dat bij een willekeurige steekproef van 80 academici minder dan 40 Intermediair lezers zitten?
Hier weet ik niet hoe ik de standaardafwijking kan berekenen want die ontbreekt dus nog. Het gemiddelde heb ik, en dat is volgens mij 48 (60% v. 80). dus heb ik tot nu toe: normalcdf (-E99,40,48,...)

Bij deze opgave heb je helemaal geen normale verdeling nodig.
Het is gewoon een binair kansexperiment: Een academicus is *wel* of *geen* lezer van Intermediair.
Je kunt dus gewoon de binomiale verdeling gebruiken.

[WelVrolijk]

Examen-boy schreef op 20-12-2006 @ 22:27 :
* Het gewicht van schoolkinderen in een bepaalde leeftijdscategorie is normaal verdeeld met een gemiddelde van 30 kg en een standaardafwijking van 3 kg.
>> Bereken de kans dat het gemiddelde gewicht van 25 schoolkinderen meer dan 1 kg van 30 kg afwijkt.
het lijkt mij dat je hier de x moet bepalen mbv normalcdf <29 en >30 maar ik zit in de knoei met het punt dat je opeens 25 leerlingen hebt...

Vind ik iets lastiger.


Ik zou het zien als een binair kansexperiment: een schoolkind wijkt *wel* of *niet* meer dan 1 kg af van 30 kg.
Dit experiment herhaal je 25 keer. Dus wederom de binomiale verdeling.

Voor bovenstaande berekening heb je wel de kans nodig dat een schoolkind meer dan 1 kg afwijkt van 30 kg. En dat kun je weer simpel uitrekenen met de normaalverdeling.


Waarschijnlijk bestaat er wel een snellere manier om dit te berekenen. Maar op bovenstaande manier kan het ook.

Misschien staat er in je boek wel een voorbeeld met een fabriek die pakken koffie maakt, of pakken suiker, of dozen schroefjes of zo.

Bij die eerste som is het toch gewoon zo dat je de standaardafwijking moet delen door de wortel van 25, 5 dus? Je nieuwe standaardafwijking zou dan 3/5 zijn en dan kun je gewoon met behulp van de normale verdeling de gevraagde kans uitrekenen.
Althans, zoiets meen ik me te herinneren van de middelbare school. Weet niet zeker of het klopt, misschien weet iemand anders dat?

En de tweede som inderdaad met de binominale verdeling.

[Examen-boy]

hmmz deze opdrachten moeten wel volgens de normale verdeling worden opgelost, want we zijn bezig met een reparatiecursus voor dit vak en deze opgaven gaan alleen maar over de normale verdeling en niet over de binomiale methode...

[ILUsion]

Je standaardafwijking moet inderdaad gedeeld worden door 5 (wortel 25) om de standaardafwijking op het gemiddelde te krijgen. De verwachtingswaarde voor het gemiddelde blijft echter hetzelfde, dus heb je voor het gemiddelde een normaalverdeling N(30 kg, 3/5 kg). Hiervan kun je dus de oppervlakte onder de Gauss-curve tussen 31 en 29 berekenen om zo de kans dat het gemiddelde in dat gebied ligt te berekenen. De kans dat het gemiddelde daarbuiten ligt is 1 min die kans.

Het tweede: geen idee hoe je dat zou kunnen oplossen.

[WelVrolijk]

Als je het per se met een normale verdeling wilt oplossen, kan dat best wel.

Tachtig is niet zo'n erg groot getal, maar je kunt deze binaire distributie toch wel (enigzins) benaderen met een normale verdeling.

-----------------

Dat kan recht toe recht aan:

Maak eerst even een frequentietabel.
Mogelijke waarden zijn alle gehele getallen van 0 t/m 80.

Voor elk van die 81 getallen bereken je met de binomiale verdeling de kans dat uit die steekproef van 80 precies *dat* aantal Intermediair-lezer is.

Voor elk van die 81 getallen bereken je de afwijking t.o.v. 48.

Deze afwijking kwadrateer je.

Je vermenigvuldigt dat kwadraat met de frequentie (dat is de kans die je 3 stappen geleden hebt uitgerekend.

Je telt die 81 uitkomsten bij elkaar op.

Je deelt de som door de som der frequenties (die is natuurlijk 1).

Je neemt de wortel uit dat quotient.

En dat is dan de standaardafwijking.

---

Met die standaardafwijking kun je dan vervolgens de gevraagde kans (die je in stap 1 in feite al exact had berekent) benaderen met behulp van een normaalverdeling.


Maar als je dat bij mij zou inleveren, zou ik er een dikke streep door trekken.

[WelVrolijk]

Een binomiale verdeling voor n herhalingen van een kansexperiment met kans p, is voor grote n te benaderen door een normaalverdeling met gemiddelde np en standaardafwijking wortel(np(1-p)).

Als je dat toepast op deze opgave, krijg je een benadering die even goed (of slecht) is als de benadering die ik zojuist gaf.
Dat is al heel wat minder werk dan wat ik zojuist schreef.


Maar de exacte berekening (met de binomiaalverdeling) blijft natuurlijk sneller, makkelijker en beter.

[Examen-boy]

oke bedankt voor de hulp! ik ga er morgen is mee aan de slag!
die ene methode om alle 81 getallen te berekenen gaat idd wat te ver en lijkt me overbodig...

bedankt voor de hulp!

mvg,

[mathfreak]

WelVrolijk schreef op 21-12-2006 @ 23:21 :
Een binomiale verdeling voor n herhalingen van een kansexperiment met kans p, is voor grote n te benaderen door een normaalverdeling met gemiddelde np en standaardafwijking wortel(np(1-p)).

Even een aanvulling: er moet dan worden voldaan aan de voorwaarden n>=20, n*p>=5 en n(1-p)>=5. De binomiale kans P(X<=k) wordt dan vervangen door de normale kans P(X<=k+1/2), de binomiale kans P(X>=k) wordt dan vervangen door de normale kans P(X>=k-1/2), en de binomiale kans P(X=k) wordt dan vervangen door de normale kans P(k-1/2<=X<=k+1/2). Dit wordt de continuïteitscorrectie genoemd.