Is oneindigheid in meervoud mogelijk?

Het gaat over het volgende probleem:
Als een ruimte oneindige afmetingen heeft, is het dan mogelijk om buiten die ruimte te komen, of anders, zouden er twee oneindige ruimten naast elkaar kunnen bestaan?

Mijn inziens sluit de oneindigheid van de ene ruimte de mogelijkheid van het bestaan van een andere ruimte uit, maar een kennis van me dacht daar anders over.

Wie biedt uitsluitsel?

Definieer "naast elkaar".

Oneindig is een wiskundig begrip dat je ook wiskundig moet beschrijven.

[lovetear]

Het zou kunnen als ze niet in dezelfde wereld of dimensie ofzo zouden bestaan, of niet op hetzelfde moment, maar tegelijkertijd op dezelfde wereld lijkt het me dat de ene aan de andere zou moeten grenzen en er daardoor niet twee oneindigheden zouden kunnen bestaan.

Welnu, als je bijvoorbeeld de R³-ruimte pakt, kun je geen andere driedimensionale vectorruimte bedenken die ook oneindig is, niet de R³-ruimte zelf is en toch dezelfde eigenschappen heeft.

[lovetear]

Wat is R3 ruimte?

[mathfreak]

lovetear schreef op 27-08-2004 @ 18:28 :
Wat is R³ ruimte?

Stel je een driedimensionaal assenstelsel, dus een assenstelsel met een X-, Y- en Z-as voor, dan is de verzameling van alle punten (x,y,z) in dit assenstelsel de ruimte R³.

[Vice]

Zolang het om verschillenden dingen gaat, met andere eigenschappen zou het wel kunnen. Alleen als ze allebei dezelfde eigenschap hebben kan dat niet, maar dat is hier al verteld.

[GinnyPig]

De R³ kan je ook weer zien als een oneindig grote verzameling van oneindig grote vlakken (R²).

Verder vind ik je vraagstelling nogal vaag... Je praat over wiskundige begrippen, maar gaat er vervolgens niet wiskundig op in. Dat werkt nou eenmaal niet echt.

[onderkoffer]

ik zie toch echt de noodzaak niet om hier perse wiskundig op in te gaan

onderkoffer schreef op 28-08-2004 @ 00:07 :
ik zie toch echt de noodzaak niet om hier perse wiskundig op in te gaan

De wiskunde geeft vastliggende definities. Als je 'los' aan het discussiëren slaat bestaat de kans dat je andere definities van oneindig hanteert.

[onderkoffer]

nare man schreef op 28-08-2004 @ 00:10 :
De wiskunde geeft vastliggende definities. Als je 'los' aan het discussiëren slaat bestaat de kans dat je andere definities van oneindig hanteert.

ook de nederlandse taal heeft die definities daar heb je de wiskundige definitie niet perse voor nodig
hoewel het meestal wel handig is wiskunde te gebruiken
erger ik me een beetje aan dit soort dingen

Verder vind ik je vraagstelling nogal vaag... Je praat over wiskundige begrippen, maar gaat er vervolgens niet wiskundig op in. Dat werkt nou eenmaal niet echt.raagstelling nogal vaag... Je praat over wiskundige begrippen, maar gaat er vervolgens niet wiskundig op in. Dat werkt nou eenmaal niet echt.

omdat er ook anders over te filosoferen valt en niet iedereen wiskundig is onderlegt > met gewone boeren logica kan je ook een hoop

[beuk]

onderkoffer schreef op 28-08-2004 @ 00:27 :
ook de nederlandse taal heeft die definities daar heb je de wiskundige definitie niet perse voor nodig
hoewel het meestal wel handig is wiskunde te gebruiken
erger ik me een beetje aan dit soort dingen

omdat er ook anders over te filosoferen valt en niet iedereen wiskundig is onderlegt > met gewone boeren logica kan je ook een hoop

Dan verval je tot een soort borrelfilosofie, een beetje quasi-diepzinnig langs elkaar heen kletsen. Daar zitten sommige mensen niet op te wachten.

[fil]

onderkoffer schreef op 28-08-2004 @ 00:07 :
ik zie toch echt de noodzaak niet om hier perse wiskundig op in te gaan

Benfatto schreef op 27-08-2004 @ 17:18 :
Het gaat over het volgende probleem:
Als een ruimte oneindige afmetingen heeft, is het dan mogelijk om buiten die ruimte te komen, of anders, zouden er twee oneindige ruimten naast elkaar kunnen bestaan?

Mijn inziens sluit de oneindigheid van de ene ruimte de mogelijkheid van het bestaan van een andere ruimte uit, maar een kennis van me dacht daar anders over.

Wie biedt uitsluitsel?

Dit roept om wat meer wiskundige achtergrond, want jij hebt een zeer visuele en ruimtelijke kijk op het heelal en dat is uiterst misleidend als het op dieptefilosofie aankomt.

Het "enige" wat je moet weten is de correcte wiskundige definitie van een limiet, een integraal en die van de grootte of kardinaliteit van een verzameling (i.v.m. het "onvoltooid oneindige"). Dan wordt het mysterieuze bevattelijk en verschijnen er interessantere mysteries.
Je kan dit opzoeken natuurlijk, kijk dan ook eens naar meetkundige reeksen.
Het heeft geen zin om over Higgs-deeltjes na te denken wanneer je niet weet hoe de moderne fysica de aard van de ruimte karakteriseert. Het heelal hoeft niet ergens in te bestaan en al zeker niet in leegte, want wat is leegte? In de kwantumfysica is het vacuum "bomvol". Je staart je dood op het visuele feit dat je verwacht dat het heelal nog in een andere ruimte of "leegte" zou zweven. Moest dat het geval zijn dan zou ik "dat andere" mee tot het heelal rekenen.

Groeten,

fil

onderkoffer schreef op 28-08-2004 @ 00:27 :
ook de nederlandse taal heeft die definities daar heb je de wiskundige definitie niet perse voor nodig
hoewel het meestal wel handig is wiskunde te gebruiken
erger ik me een beetje aan dit soort dingen

Taaldefinities zijn niet gelijk aan wiskundige definities. Wiskundige definities zijn onwrikbaar, taalkundige definities zijn niets meer dan wat een bepaalde groep mensen op enig moment in de tijd voor een bepaald begrip gebruikt. Dat is dynamisch en niet zo'n beetje ook, een woordenboek nu ziet er heel anders uit dan eentje van tien jaar terug, terwijl wiskundige dogma's echt niet om de tien jaar radicaal worden bijgesteld.

omdat er ook anders over te filosoferen valt en niet iedereen wiskundig is onderlegt > met gewone boeren logica kan je ook een hoop

Niet in dit soort discussies.

[fil]

nare man schreef op 28-08-2004 @ 13:19 :
Wiskundige definities zijn onwrikbaar, taalkundige definities zijn niets meer dan wat een bepaalde groep mensen op enig moment in de tijd voor een bepaald begrip gebruikt. Dat is dynamisch en niet zo'n beetje ook, een woordenboek nu ziet er heel anders uit dan eentje van tien jaar terug, terwijl wiskundige dogma's echt niet om de tien jaar radicaal worden bijgesteld.

Onze dagdagelijkse taal handelt bij voorbeeld over mensen, huizen, het weer, enz. terwijl de wiskundige taal het bestaan van getallen en vektorruimtes kan aannemen. Iedere taalvorm, zoals de gewone omgangstaal, vaktalen en verschillende soorten logica/wiskunde, heeft zijn eigen groep entiteiten die als bestaande genomen worden. Wat dit "aannemen van het bestaan van" nu eigenlijk inhoudt is een zeer delicate kwestie waar metafysici zich maar al te graag over buigen. Veel briljante geesten op dit gebied wijzen erop dat het spreken over objecten en subjecten als bestaande enkel van praktische aard is en niet zozeer dogmatisch of absoluut.

Groeten,

fil

[BarbapapaX]

slotje

[GinnyPig]

BarbapapaX schreef op 28-08-2004 @ 16:22 :
slotje[afbeelding]

Doe es niet.

[BarbapapaX]

GinnyPig schreef op 28-08-2004 @ 17:34 :
Doe es niet.

wat heeft dit topic met filosofie en levens beschouwing te maken. Meer iets voor een natuurkundig of wiskunde forum.

[fil]

BarbapapaX schreef op 28-08-2004 @ 17:39 :
wat heeft dit topic met filosofie en levens beschouwing te maken. Meer iets voor een natuurkundig of wiskunde forum.

Als het aankomt op begrippen/concepten als oneindigheid en ruimte, dan valt daar best veel over te zeggen vanuit de filosofie. Er zijn namelijk nog zat vragen die tot op de dag van vandaag open staan. Echter, voordat daarover gefilosofeerd kan worden, is het cruciaal om met effectieve uitgangspunten te beginnen. Wanneer je dit niet doet, kun je
(1) erop wijzen hoe de fysica bepaalde concepten karakteriseert en daarmee de onhandige uitgangspunten bijstelt, of
(2) beter niet aan de discussie beginnen.

Ik zal alvast een zetje in de "goede" richting geven:

Benfatto schreef op 27-08-2004 @ 17:18 :
Het gaat over het volgende probleem:
Als een ruimte oneindige afmetingen heeft, is het dan mogelijk om buiten die ruimte te komen, of anders, zouden er twee oneindige ruimten naast elkaar kunnen bestaan?

Als we proberen om te redeneren vanuit contradictie: stel dat er iets is buiten die oneindige kamer, wat zou jou dan doen vermoeden dat dat iets niet tot die kamer behoort?
Je kan hier trouwens op verschillende manieren redeneren:

(1) is dat iets nevengeschikt of soortgelijk aan die kamer, als een soort van parallelle toestand/bestaansvorm?
(2) is dat iets ondergeschikt aan die kamer, als een soort van motor/hardware/grondstof/matrix?
(3) is dat iets bovengeschikt aan die kamer, als een soort van god of hogere bewuste substantie?
(4) is dat iets van zo'n aard dat je er niet over kan praten op de drie vorige manieren?

Vergeet niet dat dit open vragen zijn, waar niemand je in je korte leven een echt antwoord op zal geven. Als je het echt niet aankunt moet je gaan geloven. In dat geval zal ik je helpen een leuke theorie of god te bedenken (met veel franjes!) en daarmee zijn we tevens beland bij levensbeschouwing Voila! Geen reden om dit topic te sluiten dus.

Groeten,

fil

[MickeyV]

onderkoffer schreef op 28-08-2004 @ 00:27 :

erger ik me een beetje aan dit soort dingen

Ik met jou. Maar ach, aldus zijn de beta's! Zo aanmatigend zijn ze reeds, dat ze zich inbeelden, dat zelfs een discussie over oneindigheid niet meer zonder wiskunde kan. Is oneindigheid een wiskundig begrip? Mag wezen, maar het is ook een niet-wiskundig begrip, sterker, was dat al voordat de wiskunde zich het toeëigende. Kunnen wij oneindigheid niet definiëren zonder wiskunde? Onzin. Sterker, het woord -taal dus- definieert zichzelf. Of is het soms moeilijk het begrip "eindigheid" te omlijnen? Heel wat anders is de vraag of wij ons een voorstelling kunnen maken van oneindigheid. Zo niet, wat zou de wiskunde dan kunnen helpen?

[onderkoffer]

fil schreef op 28-08-2004 @ 18:41 :




Als we proberen om te redeneren vanuit contradictie: stel dat er iets is buiten die oneindige kamer, wat zou jou dan doen vermoeden dat dat iets niet tot die kamer behoort?
Je kan hier trouwens op verschillende manieren redeneren:

(1) is dat iets nevengeschikt of soortgelijk aan die kamer, als een soort van parallelle toestand/bestaansvorm?
(2) is dat iets ondergeschikt aan die kamer, als een soort van motor/hardware/grondstof/matrix?
(3) is dat iets bovengeschikt aan die kamer, als een soort van god of hogere bewuste substantie?
(4) is dat iets van zo'n aard dat je er niet over kan praten op de drie vorige manieren?

Vergeet niet dat dit open vragen zijn, waar niemand je in je korte leven een echt antwoord op zal geven. Als je het echt niet aankunt moet je gaan geloven. In dat geval zal ik je helpen een leuke theorie of god te bedenken (met veel franjes!) en daarmee zijn we tevens beland bij levensbeschouwing Voila! Geen reden om dit topic te sluiten dus.

Groeten,

fil

wat doe je hier nu dan ? je redeneert zonder wiskunde

en stop aub met dat groeten fil

@mickeyv

[MickeyV]

nare man schreef op 28-08-2004 @ 13:19 :
Taaldefinities zijn niet gelijk aan wiskundige definities. Wiskundige definities zijn onwrikbaar, taalkundige definities zijn niets meer dan wat een bepaalde groep mensen op enig moment in de tijd voor een bepaald begrip gebruikt. Dat is dynamisch en niet zo'n beetje ook, een woordenboek nu ziet er heel anders uit dan eentje van tien jaar terug, terwijl wiskundige dogma's echt niet om de tien jaar radicaal worden bijgesteld.

Ik volg je niet helemaal, nare man. Dat taal veranderlijk is, akkoord. Dat woorden niet altijd eenduidige en bestendige betekenissen hebben, ook akkoord. Maar we zien dat de taal ook weer niet zó veranderlijk is, dat zij tekortschiet als communicatiemiddel. Als dus gedachten voldoende wel door taal uitgedrukt kunnen worden, dan kan elke wiskundige voorstelling ook in woorden uitgedruk worden. Ongetwijfeld niet zo duidelijk en kernachtig: sterker, de wiskunde, als ik het wel zie, is een taal gespecialiseerd voor de uitdrukking van bepaalde, abstracte voorstellingen. Maar, niettemin, ik zie niet, dat taal die gedachten niet uit kán drukken. En dus hoeven wij niet, zoals Mephostophilis zegt, ons te bedienen van de wiskunde, als wij praten over oneindigheid. Dus: ook al is taal veranderlijk, uiteindelijk doet zij hetzelfde als wiskunde: gedachten in symbolen weergeven.

[mathfreak]

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 18:58 :
Maar ach, aldus zijn de bèta's! Zo aanmatigend zijn ze reeds, dat ze zich inbeelden, dat zelfs een discussie over oneindigheid niet meer zonder wiskunde kan.

Niet meteen zo denigrerend over bètawetenschappers alsjeblieft. Om te beginnen is het zo dat ik, hoewel ik wiskundige ben, van mening ben dat een discussie over oneindigheid ook zonder gebruik te maken van het wiskundige begrip oneindigheid kan worden gevoerd. Wanneer je echter de diverse soorten oneindigheid wilt bespreken, bijvoorbeeld bij het onderscheid tussen oneindige verzamelingen die aftelbaar of overaftelbaar zijn, dan biedt de wiskunde daar een hulpmiddel voor. Een verzameling heet aftelbaar als er een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van die verzameling kan worden gedefinieerd. Is zo'n een een-op-eenrelatie niet mogelijk, dan heet de verzameling overaftelbaar.

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 18:58 :
Is oneindigheid een wiskundig begrip? Mag wezen, maar het is ook een niet-wiskundig begrip, sterker, was dat al voordat de wiskunde zich het toeëigende. Kunnen wij oneindigheid niet definiëren zonder wiskunde? Onzin.

Zoals uit het voorgaande blijkt heb ik in ieder geval niet beweerd dat dat niet zou kunnen.

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 18:58 :
Heel wat anders is de vraag of wij ons een voorstelling kunnen maken van oneindigheid. Zo niet, wat zou de wiskunde dan kunnen helpen?

Stel je het proces van het opsommen van de natuurlijke getallen voor, dan blijkt dat het mogelijk is om voor ieder natuurlijk getal een opvolger te definiëren. Dit kan worden opgevat als een proces van potentiële oneindigheid. Nu blijkt dat er naast de verzameling natuurlijke getallen, die zelf oneindig is, nog andere verzamelingen bestaan die eveneens oneindig zijn. In dit geval spreken we van een actuele oneindigheid, en het is zelfs zo dat het aantal soorten oneindigheid zelf ook weer oneindig is, iets wat door de Duitse wiskundige Georg Cantor, de grondlegger van de verzamelingenleer, is aangetoond.
Nog even een opmerking wat jouw definitie van wiskunde betreft: jij definieert de wiskunde als een aparte taal, maar in feite is de wiskunde een formele wetenschap die zich van een aparte taal bedient om de abstracte voorstellingen, waarvan de wiskunde zich bedient, te kunnen omschrijven. Zelf heb ik een tijd geleden de volgende definitie geformuleerd: Wiskunde is een formeel- wetenschappelijk instrument om met elkaar te communiceren in abstracties, door middel van een aparte taal die als hulpmiddel voor de communicatie over deze abstracties wordt gebruikt. Deze taal is dus een onderdeel van de wiskunde en niet gelijk aan de wiskunde zelf.

[MickeyV]

Toch mooi, mathfreak, hoe een echte alfa en een echte beta op één lijn kunnen zitten.

Jouw definitie van wiskunde, in taal!, wint het gemakkelijk van de mijne. Inderdaad, het talige element in wiskunde is niet meer dan dat, een element, en bovendien een bescheiden element, waar het immers geen andere strekking heeft, dan de eigenlijke wiskunde, de abstracte concepten en ideeën, te communiceren, nietwaar?

Eén punt toch nog. Een oneindige natuurlijke getallenreeks is voorstelbaar, niet in concreto bedoel ik, maar als theoretische mogelijkheid, omdat onvoorstelbaar is, dat aan een willekeurig getal niet nog één toegevoegd kan worden, en dan weer, ad infinitum. Maar je noemt ook actuele oneindigheid. Hoe actueel is die oneindigheid dan? Dat er een oneindige hoeveelheid verzamelingen actueel bestaat zie ik niet meteen in: verzamelingen op zichzelf zijn geen fysische realiteit, als ik me niet vergis. De mens zélf interpreteert die fysische realiteit als hebbende in zich oneindig veel verzamelingen, me dunkt doordat onze geest als vanzelf ertoe neigt, te rubriceren, te klassificeren, in te delen. De menselijke geest derhalve, is in staat, dergelijke verzamelingen aldus te definieren, dat hun aantal oneindig is. Maar daarmee is toch geen sprake van actuele oneindigheid bestaande in feite, die wij ons, doordat zij fysiek bestaat, zouden kunnen voorstellen? Of zie ik dat verkeerd? Want dat bedoelde ik, toen ik zei, dat, als de mens zich geen voorstelling van oneindigheid kan maken, zulks noodzakelijkerwijs impliceert, dat de wiskunde daarbij niet kan helpen. Kon zij dat wel, dan zou onjuist zijn, dat de mens zich van oneindigheid geen voorstelling kan maken. Wat dunkt jou van een en ander?

[willypirate]

nee ik denk dat oneindigheid niet in meervoud mogelijk is. Dit omdat het woord oneindigheid één enkel iets beschrijft. De oneindigheid is dan eigenlijk de uiterste en maximale waarde van dat iets , men kan het dan niet meer in meervoud uitdrukken , tenzij men een soortgelijk iets toevoegt , maar dan beschrijf je eigenlijk weer 2 dingen.

[mathfreak]

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 23:20 :
Toch mooi, mathfreak, hoe een echte alfa en een echte bèta op één lijn kunnen zitten.

Zo zie je maar dat een scheiding tussen de alfa- en de bètawetenschappen niet definitief hoeft te zijn.

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 23:20 :
Eén punt toch nog. Een oneindige natuurlijke getallenreeks is voorstelbaar, niet in concreto bedoel ik, maar als theoretische mogelijkheid, omdat onvoorstelbaar is, dat aan een willekeurig getal niet nog één toegevoegd kan worden, en dan weer, ad infinitum. Maar je noemt ook actuele oneindigheid. Hoe actueel is die oneindigheid dan?

Ik vrees dat je je te veel blind staart op het bijvoeglijk naamwoord actueel. Ik zal hier echter de definitie van actuele oneindigheid volgens Aristoteles geven: onder een actuele oneindigheid verstond hij het bestaan van objecten die uit meer dan een eindig aantal delen zijn opgebouwd, iets wat hij onmogelijk achtte. Volgens hem kon er alleen sprake zijn van een potentiële oneindigheid, waarbij een object, hoe vaak het ook gedeeld wordt, altijd weer verder gedeeld kan worden.

MickeyV schreef op 28-08-2004 @ 23:20 :
Dat er een oneindige hoeveelheid verzamelingen actueel bestaat zie ik niet meteen in: verzamelingen op zichzelf zijn geen fysische realiteit, als ik me niet vergis. De mens zélf interpreteert die fysische realiteit als hebbende in zich oneindig veel verzamelingen, me dunkt doordat onze geest als vanzelf ertoe neigt, te rubriceren, te klassificeren, in te delen. De menselijke geest derhalve, is in staat, dergelijke verzamelingen aldus te definieren, dat hun aantal oneindig is. Maar daarmee is toch geen sprake van actuele oneindigheid bestaande in feite, die wij ons, doordat zij fysiek bestaat, zouden kunnen voorstellen? Of zie ik dat verkeerd? Want dat bedoelde ik, toen ik zei, dat, als de mens zich geen voorstelling van oneindigheid kan maken, zulks noodzakelijkerwijs impliceert, dat de wiskunde daarbij niet kan helpen. Kon zij dat wel, dan zou onjuist zijn, dat de mens zich van oneindigheid geen voorstelling kan maken. Wat dunkt jou van een en ander?

Om te beginnen is het zo dat het wiskundige begrip verzameling afwijkt van wat we er in het dagelijkks leven onder verstaan. Zo is een postzegelverzameling of een verzameling munten of iets dergelijks wel als een fysische realiteit te beschouwen.
Dan nu even een nadere beschouwing over oneindige verzamelingen. Hiervoor hebben we het begrip kardinaalgetal (het aantal elementen van een verzameling) nodig: Cantor gaf de verzameling natuurlijke getallen (die zelf oneindig is) het kardinaalgetal alef₀. Het blijkt nu dat de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen hetzelfde kardinaalgetal hebben omdat er een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen kan worden gedefinieerd. Ze zijn dus aftelbaar. Bovendien zijn ze, omdat ze hetzelfde aantal elementen hebben, ook gelijkmachtig, zoals dat heet.
Cantor wist aan te tonen dat het niet mogelijk was om een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling reële getallen te definiëren. De verzameling reële getallen is dus overaftelbaar en heeft een groter kardinaalgetal (alef₁) dan de voorgaande verzamelingen. Omdat dergelijke verzamelingen meer dan een eindig aantal elementen hebben (denk aan de definitie van Aristoteles) kunnen deze verzamelingen dus als een actuele oneindigheid worden opgevat.
Nog even wat extra terminologie: kardinaalgetallen van verzamelingen met een oneindig aantal elementen worden transfiniete kardinaalgetallen genoemd. Neem je daarnaast ook de manier warop deze verzamelingen zijn geordend in acht, dan kun je op dezelfde manier ook transfiniete ordinaalgetallen definiëren (wat Cantor deed), waarbij het ordinaalgetal van een geordende verzameling het aantal elementen van zo'n verzameling voorstelt. Met behulp van deze definities is het dus, althans in wiskundige zin, mogelijk om ons een voorstelling van de diverse soorten oneindigheid te maken.

[MickeyV]

mathfreak schreef op 29-08-2004 @ 13:40 :
Zo zie je maar dat een scheiding tussen de alfa- en de bètawetenschappen niet definitief hoeft te zijn.


Ik vrees dat je je te veel blind staart op het bijvoeglijk naamwoord actueel. Ik zal hier echter de definitie van actuele oneindigheid volgens Aristoteles geven: onder een actuele oneindigheid verstond hij het bestaan van objecten die uit meer dan een eindig aantal delen zijn opgebouwd, iets wat hij onmogelijk achtte. Volgens hem kon er alleen sprake zijn van een potentiële oneindigheid, waarbij een object, hoe vaak het ook gedeeld wordt, altijd weer verder gedeeld kan worden.


Om te beginnen is het zo dat het wiskundige begrip verzameling afwijkt van wat we er in het dagelijkks leven onder verstaan. Zo is een postzegelverzameling of een verzameling munten of iets dergelijks wel als een fysische realiteit te beschouwen.
Dan nu even een nadere beschouwing over oneindige verzamelingen. Hiervoor hebben we het begrip kardinaalgetal (het aantal elementen van een verzameling) nodig: Cantor gaf de verzameling natuurlijke getallen (die zelf oneindig is) het kardinaalgetal alef₀. Het blijkt nu dat de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen hetzelfde kardinaalgetal hebben omdat er een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen kan worden gedefinieerd. Ze zijn dus aftelbaar. Bovendien zijn ze, omdat ze hetzelfde aantal elementen hebben, ook gelijkmachtig, zoals dat heet.
Cantor wist aan te tonen dat het niet mogelijk was om een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling reële getallen te definiëren. De verzameling reële getallen is dus overaftelbaar en heeft een groter kardinaalgetal (alef₁) dan de voorgaande verzamelingen. Omdat dergelijke verzamelingen meer dan een eindig aantal elementen hebben (denk aan de definitie van Aristoteles) kunnen deze verzamelingen dus als een actuele oneindigheid worden opgevat.
Nog even wat extra terminologie: kardinaalgetallen van verzamelingen met een oneindig aantal elementen worden transfiniete kardinaalgetallen genoemd. Neem je daarnaast ook de manier warop deze verzamelingen zijn geordend in acht, dan kun je op dezelfde manier ook transfiniete ordinaalgetallen definiëren (wat Cantor deed), waarbij het ordinaalgetal van een geordende verzameling het aantal elementen van zo'n verzameling voorstelt. Met behulp van deze definities is het dus, althans in wiskundige zin, mogelijk om ons een voorstelling van de diverse soorten oneindigheid te maken.

Ach so, ach so. Aristoteles heeft het dus over delen. Maar het getal der delen is, zie ik het wel, afhankelijk van de indeling ervan. Is die indeling een natuurlijk gegeven, of fingeren wij die? Fingeren wij die, dan kunnen wij aan willekeurige objecten (en ik zie, dat het localiseren en afbakenen van objecten evenzeer indelen is) een oneindig aantal delen toedichten, als wij althans in staat daartoe zijn. Wellicht klinkt dit teveel als het onkundige geleuter van een niet-ingewijde. Dit wellicht ook: als een object oneindig vaak gedeeld kán worden, heeft het dan niet ook in feite zoveel onderdelen als het ware al sluimerend in zich, en impliceert potentiële oneindigheid dan niet ook actuele oneindigheid?

Wat betreft het wiskundige begrip verzameling: hoezeer ook weinig geverseerd in de wiskunde, dát, nl. dat "verzameling" ook wiskundig jargon is, wist ik nog wel.

En, je schrijft: omdat er een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen kan worden gedefinieerd. Mijn brein komt traag op gang, eigenlijk moet ik me hier pas later op de dag begeven, maar goed, ik ben er nu, reageer nu, dus ik vraag: bedoel je hiermee, al dan niet grofweg, aan te geven dat de elementen van die verzameling bestaat uit natuurlijke getallen?

Afsluitend, een ongetwijfeld nog dommere vraag: al die termen. Natuurlijke getallen, daaronder verstaat men 1, 2, 3, etc, niet? Hoe verhouden zich daartoe rationale en reeële getallen?

[mathfreak]

MickeyV schreef op 29-08-2004 @ 14:49 :
Ach so, ach so. Aristoteles heeft het dus over delen.

In feite zou je de objecten van Aristoteles ook als verzamelingen op kunnen vatten, en zou je de delen van zo'n object als de elementen van zo'n verzameling op kunnen vatten.

MickeyV schreef op 29-08-2004 @ 14:49 :
Maar het getal der delen is, zie ik het wel, afhankelijk van de indeling ervan. Is die indeling een natuurlijk gegeven, of fingeren wij die? Fingeren wij die, dan kunnen wij aan willekeurige objecten (en ik zie, dat het localiseren en afbakenen van objecten evenzeer indelen is) een oneindig aantal delen toedichten, als wij althans in staat daartoe zijn. Wellicht klinkt dit teveel als het onkundige geleuter van een niet-ingewijde. Dit wellicht ook: als een object oneindig vaak gedeeld kán worden, heeft het dan niet ook in feite zoveel onderdelen als het ware al sluimerend in zich, en impliceert potentiële oneindigheid dan niet ook actuele oneindigheid?

Je kunt wat dat betreft inderdaad stellen dat een potentiële oneindigheid ook een actuele oneindigheid impliceert.

MickeyV schreef op 29-08-2004 @ 14:49 :
En, je schrijft: omdat er een een-op-eenrelatie tussen de natuurlijk getallen en de elementen van de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen kan worden gedefinieerd. Mijn brein komt traag op gang, eigenlijk moet ik me hier pas later op de dag begeven, maar goed, ik ben er nu, reageer nu, dus ik vraag: bedoel je hiermee, al dan niet grofweg, aan te geven dat de elementen van die verzameling bestaat uit natuurlijke getallen?

Afsluitend, een ongetwijfeld nog dommere vraag: al die termen. Natuurlijke getallen, daaronder verstaat men 1, 2, 3, etc, niet? Hoe verhouden zich daartoe rationale en reële getallen?

Onder de natuurlijke getallen verstaan we inderdaad de verzameling 1,2,3... Voegen we hier het getal nul en de getallen -1,-2,-3... toe, dan krijgen we de verzameling gehele getallen. Laat a en b 2 gehele getallen zijn met b niet nul, dan stelt de verzameling van de getallen a/b de verzameling rationale getallen voor. Voegen we hieraan de irrationale getallen toe (getallen die niet als een rationaal getal te schrijven zijn), dan krijgen we de verzameling reële getallen.
Even een toelichting met betrekking tot het begrip een-op-een-relatie: laat V en W 2 gegeven verzamelingen zijn, dan is er een een-op-een-relatie tussen V en W als er bij ieder element van V een element van W te vinden is, en omgekeerd.

[MickeyV]

Dank voor de uitleg, mathfreak.
Persoonlijke vraag: heb je ook wiskunde gestudeerd?

[mathfreak]

MickeyV schreef op 29-08-2004 @ 17:42 :
Dank voor de uitleg, mathfreak.

Graag gedaan.

MickeyV schreef op 29-08-2004 @ 17:42 :
Persoonlijke vraag: heb je ook wiskunde gestudeerd?

Persoonlijk antwoord: ja, dat heb ik. Nadat ik in 1984 mijn h.a.v.o.-diploma heb behaald ben ik naar de lerarenopleiding in Tilburg gegaan om daar de opleiding voor leraar wiskunde te volgen, maar ik moest daar mee stoppen omdat men mij als leraar niet geschikt vond. Ik heb daarna bij de LOI een wiskundecursus op HTS-niveau gevolgd, waarvoor ik in april 1987 een diploma behaalde. In september 1987 ben ik begonnen met de studie voor wiskundig ingenieur aan de TU Eindhoven, na eerst een toelatingsexamen in wis- en natuurkunde te hebben afgelegd. Helaas was ik door slechte studieresultaten genoodzaakt de studie te staken, maar ik houd me desondanks nog steeds met wiskunde bezig, zowel door middel van zelfstudie als door mijn activiteiten op het exacte vakkenforum, waar ik ondersteuning geef in wis-, natuur- en scheikunde.

[MickeyV]

Jammer dat het niet gelukt is de studie te voltooien!

[purplerose]

echte oneindigheid is door mensen niet te bevatten, het hangt er dus vanaf hoe je het beschouwd. Als oneindigheid voor jou inhoud dat het zo groot is dat je er nooit buiten komt maar dat het wel stopt ergens(wat eigenlijk tegenstrijdig is met het woord,maar je hebt nou eenmaal die opvattingen) dan kunnen er wel twee naast elkaar zijn.
Maar als je het woord oneindigheid letterlijk neemt, dan kan dat eigenlijk vanzedlfsprekend niet,of het heeft geen duielijke begrenzing en het loopt in elkaar over...
mja ik moet weer naar mn les dus ik ga even niet verder filosoferen...

[willypirate]

Oneindig is het gevolg van de oorzaak niets

[Illuminati]

IK lees alleen de eerste post... maar mijn gevoel zegt dat het wel zou kunnen... en dus zo is.

Als een 2d-wezen zich op (of in) een bol bevind dan is zijn wereld ontzettend oneindig, er kan zich naast zijn "universum" een ander universum/bol bevinden zonder dat hij zich daar van bewust is.

[Illuminati]

Is de 4'de dimensie nou eigenlijk bewezen?
En zoja is er een 5'de? is dat niet relevant of onmogelijk? net zoals de 1'de dimensie...

Illuminati schreef op 09-09-2004 @ 01:54 :
Is de 4'de dimensie nou eigenlijk bewezen?
En zoja is er een 5'de? is dat niet relevant of onmogelijk? net zoals de 1'de dimensie...

In de wiskunde kun je ieder aantal dimensies definiëren, ook oneindig. Sterker nog, ik kom oneindig-dimensionale ruimten regelmatig tegen.

Volgens de algemene relativiteitstheorie is de ruimtetijd een vierdimensionale ruimte, volgens de supersnarentheorie tien(?)dimensionaal.

[Prophecy]

Benfatto schreef op 27-08-2004 @ 17:18 :
Mijn inziens sluit de oneindigheid van de ene ruimte de mogelijkheid van het bestaan van een andere ruimte uit, maar een kennis van me dacht daar anders over.

Wie biedt uitsluitsel?

Dat ben ik met je eens.

Iets is alleen oneindig als het nergens anders mee te vergelijken valt.

En als er een oneindigheid "naast" een andere oneindigheid is, is het dus niet meer oneindig, omdat de ene oneindigheid eindigt waar de andere begint.

Dit gaat boven mijn pet, en ik heb geeneens een pet op

[Fade of Light]

Offtopic:

mathfreak schreef op 29-08-2004 @ 15:49 :
Onder de natuurlijke getallen verstaan we inderdaad de verzameling 1,2,3... Voegen we hier het getal nul en de getallen -1,-2,-3... toe, dan krijgen we de verzameling gehele getallen.

0 hoort niet per definitie NIET bij de natuurlijke getallen. Wij, Tu/e, gaan uit van het beginsel dat 0 wel bij de natuurlijke getallen hoort. (niet dat dat in deze discussie zoveel uitmaakt )

[Blitzkrieg Bop]

Mephostophilis schreef op 09-09-2004 @ 10:05 :
Volgens de algemene relativiteitstheorie is de ruimtetijd een vierdimensionale ruimte, volgens de supersnarentheorie tien(?)dimensionaal.

Argh, wat wordt deze denkfout toch vaak gemaakt. De ruimte-tijd is geen 4-dimensionale ruimte, de tijd is namelijk niet hetzelfde als een 4e ruimteljike dimensie. Met 4-dimensionaal wordt bedoeld dat een gebeurtenis zich niet alleen in de 3 bekende ruimte-dimensies afspeelt, maar óók in een uniek moment in de tijd, een tijdsdimensie dus.

[GinnyPig]

Blitzkrieg Bop schreef op 21-11-2004 @ 15:53 :
Argh, wat wordt deze denkfout toch vaak gemaakt. De ruimte-tijd is geen 4-dimensionale ruimte, de tijd is namelijk niet hetzelfde als een 4e ruimteljike dimensie. Met 4-dimensionaal wordt bedoeld dat een gebeurtenis zich niet alleen in de 3 bekende ruimte-dimensies afspeelt, maar óók in een uniek moment in de tijd, een tijdsdimensie dus.

Ruimte tijd is wel een 4-dimensionale ruimte, maar de dimensie tijd is inderdaad geen ruimtelijke dimensie. Het is dus niet een extensie van de R-3 ruimte naar de R-4 ruimte, maar er is juist sprake van een zogeheten R-{3,1} ruimte, beter bekend als een Minkowski ruimte. Althans, dat is het geval in de speciale relativiteitstheorie. Bij de algemene is er zelfs geen sprake meer van een R-{3,1} ruimte, maar is de geometrie (oftewel de metrische tensor) afhankelijk van de massaverdeling.

[Blitzkrieg Bop]

GinnyPig schreef op 21-11-2004 @ 16:05 :
Ruimte tijd is wel een 4-dimensionale ruimte, maar de dimensie tijd is inderdaad geen ruimtelijke dimensie. Het is dus niet een extensie van de R-3 ruimte naar de R-4 ruimte, maar er is juist sprake van een zogeheten R-{3,1} ruimte, beter bekend als een Minkowski ruimte. Althans, dat is het geval in de speciale relativiteitstheorie. Bij de algemene is er zelfs geen sprake meer van een R-{3,1} ruimte, maar is de geometrie (oftewel de metrische tensor) afhankelijk van de massaverdeling.

Ja precies, maar mensen denken imo veel te vaak dat de tijd een vierde ruimtelijke dimensie is. Noem je dat dan wel een 4d ruimte? Ook als de tijd geen ruimtelijke dimensie is? Ik vind het nogal een verwarrende term als ik eerlijk ben .

[GinnyPig]

Blitzkrieg Bop schreef op 21-11-2004 @ 17:13 :
Ja precies, maar mensen denken imo veel te vaak dat de tijd een vierde ruimtelijke dimensie is. Noem je dat dan wel een 4d ruimte? Ook als de tijd geen ruimtelijke dimensie is? Ik vind het nogal een verwarrende term als ik eerlijk ben .

Maar het is ook heel verwarrend Maar het is wel degelijk een 4-dimensionale ruimte, simpelweg doordat een "event" zich in 4 dimensies afspeelt.

[willypirate]

willypirate schreef op 29-08-2004 @ 11:51 :
nee ik denk dat oneindigheid niet in meervoud mogelijk is. Dit omdat het woord oneindigheid één enkel iets beschrijft. De oneindigheid is dan eigenlijk de uiterste en maximale waarde van dat iets , men kan het dan niet meer in meervoud uitdrukken , tenzij men een soortgelijk iets toevoegt , maar dan beschrijf je eigenlijk weer 2 dingen.

ps: Tijd = beweging van materie binnen de R3-ruimte

[GinnyPig]

willypirate schreef op 21-11-2004 @ 20:37 :
ps: Tijd = beweging van materie binnen de R3-ruimte

Dat is eigenlijk alleen in de klassieke fysica (gedeeltelijk) waar. Daar heb je een 'absolute tijd' die voor alle waarnemers hetzelfde is. Maar bij de relativiteitstheorie is dit dus niet meer zo: daar heeft iedere waarnemer zijn 'eigentijd', die dus niet even snel hoeft te lopen in vergelijking met andere 'eigentijden'. Hoe die eigentijd, relatief gezien, loopt is afhankelijk van de relatieve snelheid en aanwezige zwaartekrachtsvelden.

[GVR]

Benfatto schreef op 27-08-2004 @ 17:18 :
Het gaat over het volgende probleem:
Als een ruimte oneindige afmetingen heeft, is het dan mogelijk om buiten die ruimte te komen, of anders, zouden er twee oneindige ruimten naast elkaar kunnen bestaan?

Mijn inziens sluit de oneindigheid van de ene ruimte de mogelijkheid van het bestaan van een andere ruimte uit, maar een kennis van me dacht daar anders over.

Wie biedt uitsluitsel?

Je kan niet oneindig ver reizen, tenzij je oneindig snel reis, maar dan nog kom je niet voorbij oneindigheid.

Er kan niet iets naast een ruimte liggen, er is geen naast buiten de ruimte.

Je kan echter wel een oneindige ruimte in een eindige ruimte voorstellen(projecteren?) en er zo twee naast elkaar leggen.

Het hebben van twee verschillende oneindige ruimtes lijkt mij ook niet echt nuttig gezien ze elkaar niet kunnen beinvloeden. (in de zin van, als er nog een tweede universum zou zijn, wijs maar eens aan dan)

GVR schreef op 21-11-2004 @ 23:35 :
Je kan echter wel een oneindige ruimte in een eindige ruimte voorstellen(projecteren?) en er zo twee naast elkaar leggen.

Als je één-op-één-projectie bedoelt kan dit niet, volgens mij.

[EggeD]

Jullie negeren fil onterecht.

Zou het niet kunnen zijn dat er een in een oneindige-ruimte ook een oneindige-ruimtetijdkromming zou kunnen zijn. Als deze kromming oneindig is, of iig heel groot, dan onstaat er dus een soort machtsfunctie (als je in het 2d vlak kijkt). Dan kun je je afvragen of deze ruimte na verloop van afstand weer gesloten wordt of juist open blijft. Als deze openblijft, kan je toch in principe een extra ruimte hebben die de ruimte vult tussen de eerste ruimte?

[EggeD]

Lucky Luciano schreef op 22-11-2004 @ 09:56 :
Bla

Ja, dat kan je je voorstellen. Die ruimte valt volgens jou dan "buiten de oneindigheid".