Wiskunde, deling?

[Shredder]

Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan het volgende komen?

x^3 + 6x - 20)/(x-2) = 10 + 2 x + x^2

Ik heb wel enigszins een idee, maar dan kloppen de x'en niet meer.

Ontbindt de bovenkant in factoren, met een van de factoren (x-2).

(10 + 2 x + x^2)*(x-2)/(x-2)=10 + 2 x + x^2

[sdekivit]

x-2 / x^3 + 6x - 20 \

x-2 / x^3 + 6x - 20 \ x^2
........x^3 - 2x^2
---------------------
........2x^2 + 6x

x-2 / x^3 + 6x - 20 \ x^2 + 2x
............2x^2 + 6x
............2x^2 - 4x
------------------------
.......................10x - 20

x-2 / x^3 + 6x - 20 \ x^2 + 2x + 10
.......................10x - 20
.......................10x - 20
-----------------------------
.................................0

Kortom: het antwoord is x^2 + 2x + 10

[Shredder]

Dank u!

Staartsdelen inderdaad. Die mensen die hebben bedacht dat ze dat op de basisschool niet meer moeten krijgen moeten ze afschieten.

[Shredder]

Mephostophilis schreef op 11-02-2007 @ 12:11 :
Staartsdelen inderdaad. Die mensen die hebben bedacht dat ze dat op de basisschool niet meer moeten krijgen moeten ze afschieten.

Ik kon die staartdeling inderdaad niet volgen, ik heb het maar bij de uitleg van Lucky gehouden.

methode van LL zal helaas niet altijd lukken

[pino123]

Mephostophilis schreef op 11-02-2007 @ 12:11 :
Staartsdelen inderdaad. Die mensen die hebben bedacht dat ze dat op de basisschool niet meer moeten krijgen moeten ze afschieten.

ik heb dat bv nooit op (basis)school gehad

dat kan toch niet? misschien niet met veeltermen..

[WelVrolijk]

Shredder schreef op 11-02-2007 @ 12:51 :
Ik kon die staartdeling inderdaad niet volgen, ik heb het maar bij de uitleg van Lucky gehouden.

Een uitleg voor die staartdeling kun je vinden op deze site.

[WelVrolijk]

pino123 schreef op 11-02-2007 @ 15:53 :
ik heb dat bv nooit op (basis)school gehad

Ik geloof dat de staartdeling op de basisschool tegenwoordig vervangen is door "herhaald aftrekken".

---------

Op zich is dat een goede zaak.

Wij leerden destijds de staartdeling als een soort trucje. En we kregen daar natuurlijk vanzelf genoeg oefening in, omdat er destijds nog geen rekenmachines bestonden onder de 100 gulden.
Maar voor ons kwam het later als volslagen verrassing, dat hetzelfde trucje ook te gebruiken was voor veeltermen.

Bij "herhaald aftrekken" begrijpt de leerling precies, waarom die methode werkt.
En als dan later de staartdeling wordt uitgelegd, begrijpt de leerling (als het goed is) ook waarom dat werkt. En als de leerling de staartdeling nog te moeilijk vindt, kan hij/zij altijd nog (geheel of gedeeltelijk) zonder tijdverlies terugvallen op "herhaald aftrekken".
Zo'n leerling zal dan later automatisch begrijpen, waarom de staartdeling ook werkt voor veeltermen.

Helaas wordt het "herhaald aftrekken" op de basisschool doorgaans behandeld in plaats van de staartdeling, en wordt de staartdeling vervolgens overgeslagen.

pino123 schreef op 11-02-2007 @ 15:53 :
ik heb dat bv nooit op (basis)school gehad

Ik ook niet. Moest ik het dus op de universiteit gaan leren. -_-

[TopDrop]

Ik zou het oorspronkelijk ook niet op de basisschool geleerd hebben, maar toen we met dat 'herhaald aftrekken' bezig waren vroeg mn moeder wat ik aan het doen was. Vervolgens had ze me de staartdeling uitgelegd. Dat had ik weer op school verteld, wat voor een 'opstandje' zorgde. Toen waren er uiteindelijk meer kinderen die staartdelingen gingen doen omdat de juf 't dan toch maar had uitgelegd, wat in eerste instantie dus helemaal niet de bedoeling was.

Maar dat was dus de basisschool. Ik heb t daarna niet meer nodig gehad, en ik heb dus ook nooit een staartdeling gedaan met variabelen erin.

Volgens mij heb ik de staartdeling wel gehad in 5 of 6 VWO, ook alleen voor dit soort gevallen overigens, maar ik gebruik het nooit. Ik los doorgaans het geval op door in m'n GR te proppen en als ik dan de antwoorden krijg geef ik vervolgens een oplossing die daarbij hoort

[ILUsion]

Als je door een term van de eerste graad (x - d) moet delen, bestaat er nog een snellere methode, maar daar zijn wat kleine dingejtes die je niet mag vergeten.

Stel je veelterm die je moet delen/ontbinden is ex^5 + fx^3 + gx^2 + hx + i
Dan maak je op je blad een schema dat er als volgt uit ziet:

   | e  0  f  g  h  i
 d | |  A  B  C  D  E
---------------------
   | e  F  G  H  I |J

Omdat het anders te veel werk in de opmaak zit, maar met letters: op de bovenste rij van het schema zet je de coëfficiënten van de te delen veelterm, herbij mag je niet vergeten een 0 te zetten als die bepaalde graad ontbreekt.
Voor de vertikale lijn plaats je het nulpunt "d", let erop dat dit is voor de veelterm (x - d), als je bv. (x + 9) hebt, is d = -9.
En dan kan je aan het echte rekenen beginnen: die eerste graad mag je direct naar de 3e rij verplaatsen, zo krijg je daar nu ook een e. Het volgende dat je doet is A uitrekenen door d te vermenigvuldigen met het getal dat op de derde rij staat in de kolom ervoor (e dus). F bekom je door de twee daarbovenstaande getallen op te tellen. Dit blijf je herhalen (dus een getal van de tweede rij is het product van het vorige getal op de derde rij en d), en een getal op de derde rij is de som van dde twee getallen daarboven). Uiteindelijk kom je op het einde van de rijen aan en dan heb je de oplossing: in de derde rij staan de coëfficiënten van de oplossing, de enige uitzondering is het laatste getal J, dit is de rest bij de deling steeds een gewoon getal).

Deze methode valt ook uit te breiden naar eerstegraadstermen van de vorm ax + b, maar dat is nu eventjes te veel werk om te typen.

Voor jouw opgave:

   | 1  0  6  -20  
 2 | |  2  4   20
---------------------
   | 1  2  10|  0

Wat overeenkomt met x² + 2x + 10 met een rest van 0.

Amper 20 seconden werk

[TopDrop]

ILUsion schreef op 17-02-2007 @ 22:55 :
knip

Klinkt vast ingewikkelder dan t is.. Hoe kom je aan deze 'truuk'?

[mathfreak]

TopDrop schreef op 18-02-2007 @ 00:21 :
Klinkt vast ingewikkelder dan t is.. Hoe kom je aan deze 'truuk'?

Dit is de zogenaamde methode van Horner. Zie verder http://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_van_Horner

[ILUsion]

mathfreak schreef op 18-02-2007 @ 11:07 :
Dit is de zogenaamde methode van Horner. Zie verder http://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_van_Horner

Dank je, ik kon even niet op de naam komen (Horner dus).

Het bewijs daarvan kan ik je niet echt geven (op de Engelse WikiPedia staat er iets meer uitleg, maar niet echt een sluitend bewijs, lijkt me). Hier in België wordt dat gewoon standaard aangeleerd, het is veel sneller dan met de euclidische deling zodat je vrij snel veeltermen kan ontbinden in eerstegraads termen (als je goed kan gokken met de nulpunten, voor triviale ontbindingen zijn er natuurlijk ook vuistregeltjes).

En het uitleggen is inderdaad ingewikkelder dan het doen, dergelijke schema maak je letterlijk op 20 seconden, als je het een beetje gewoon bent.

Het schema maak je eigenlijk van links naar rechts, door in te vullen op de tweede en derde rij, de eerste rij (je eigenlijke veelterm) is gegeven. Het is dan slechts een kwestie van onthouden dat een getal op de tweede rij = product van het getal in de derde rij in de vorige kolom, en een getal in de derde rij is de som van de twee getallen daarboven in dezelfde kolom. Ook niet vergeten om alle termen in te vullen (met 0, omdat je anders geen zinnige resultaten uitkomt), en dan uiteindelijk is je derde rij de veelterm na deling, behalve het getal in die laatste kolom: dat is de rest bij deling.

[MoHaMeDJaLaL]

WelVrolijk schreef op 11-02-2007 @ 16:56 :
Ik geloof dat de staartdeling op de basisschool tegenwoordig vervangen is door "herhaald aftrekken".

---------

Op zich is dat een goede zaak.

Wij leerden destijds de staartdeling als een soort trucje. En we kregen daar natuurlijk vanzelf genoeg oefening in, omdat er destijds nog geen rekenmachines bestonden onder de 100 gulden.
Maar voor ons kwam het later als volslagen verrassing, dat hetzelfde trucje ook te gebruiken was voor veeltermen.

Bij "herhaald aftrekken" begrijpt de leerling precies, waarom die methode werkt.
En als dan later de staartdeling wordt uitgelegd, begrijpt de leerling (als het goed is) ook waarom dat werkt. En als de leerling de staartdeling nog te moeilijk vindt, kan hij/zij altijd nog (geheel of gedeeltelijk) zonder tijdverlies terugvallen op "herhaald aftrekken".
Zo'n leerling zal dan later automatisch begrijpen, waarom de staartdeling ook werkt voor veeltermen.

Helaas wordt het "herhaald aftrekken" op de basisschool doorgaans behandeld in plaats van de staartdeling, en wordt de staartdeling vervolgens overgeslagen.

Uit welke tijd kom jij dan af?

MoHaMeDJaLaL schreef op 07-03-2007 @ 13:45 :
Uit welke tijd kom jij dan af?

Ik behoorde tot een van de eerste jaren waarin de staartdeling vervangen werd door het herhaaldelijk aftrekken van dingen. Dat is ongeveer zo'n 7/8 jaar geleden

[WelVrolijk]

MoHaMeDJaLaL schreef op 07-03-2007 @ 13:45 :
Uit welke tijd kom jij dan af?

Gymnasium: 1971-1977.

In onze tijd was de wiskunde al een stuk makkelijker geworden dan in de tijd van het echte gymnasium.
De logaritmetafels hadden bijvoorbeeld nog maar (een stuk of) 5 decimalen, in plaats van 7 of 11.
Wij hadden de beschikking over luxueuze rekenlinealen, in plaats van die kleine rekenlineaaltjes waar onze voorgangers het mee moesten doen.
Wij hoefden geen examen meer te doen in 15 vakken, zoals onze voorgangers. Zo mocht ik gewoon een pretpakket kiezen (wiskunde I, wiskunde II, natuurkunde, scheikunde, nederlands, engels, grieks - bijna geen talen, en dat kwam mij goed uit, want ik weet nog steeds niet hoe je lineaal schrijft).

Maar de 5 was inmiddels al lang gedevalueerd van "net voldoende" tot "onvoldoende".

wat ik dan van u nog wil weten is: kregen jullie toen vectorrekening, substitutieregel partiele integratie en taylorpolynomen al op de middelbareschool?

ik vind dit best interresant eigenlijk, ik probeer dan ook zoveel mogelijk uit oude boeken te leren. (wel op universitair niveau, maar ook daar zijn verschillen natuurlijk)

[mathfreak]

Ostin schreef op 08-03-2007 @ 15:43 :
wat ik dan van u nog wil weten is: kregen jullie toen vectorrekening, substitutieregel partiele integratie en taylorpolynomen al op de middelbareschool?

Taylorpolynomen zijn nooit een onderwerp op de midelbare school geweest, maar de andere dingen die je niemt wel. Helaas maken ze momenteel geen deel meer uit van het v.w.o.-wiskundeprogramma, al probeert de Resonansgroep Wiskunde wel een aantal onderwerpen weer verplicht te stellen.

[ILUsion]

Ostin schreef op 08-03-2007 @ 15:43 :
wat ik dan van u nog wil weten is: kregen jullie toen vectorrekening, substitutieregel partiele integratie en taylorpolynomen al op de middelbareschool?

ik vind dit best interresant eigenlijk, ik probeer dan ook zoveel mogelijk uit oude boeken te leren. (wel op universitair niveau, maar ook daar zijn verschillen natuurlijk)

In ASO (Belgische tegenhanger van VWO, ongeveer) zijn vectorrekening, integratie door substitutie (want dat bedoel je, gok ik), partiële integratie nog steeds onderdeel van richtingen met veel uren wiskunde. Vectoren en in ieder geval integratie door substitutie (partiële integratie volgens mij toch niet) ook gegeven in richtingen met minder uren wiskunde (3 of 5 uren tegenwoordig). Bij sterke wiskunde: 7 of 9 uren wiskunde (al wordt 5 uren ook vaak bij sterke geteld, dat hangt natuurlijk van school tot school af; bij ons was 5 uur wiskunde: 3 + 2 gratis (lees: laag niveau 3 uur lang, en dan 2 uur iets meer uitdiepen van de leerstof, terwijl vooral de mensen van 3 uur meer baat hebben aan 2 uur extra oefeningen)).

[WelVrolijk]

Ostin schreef op 08-03-2007 @ 15:43 :
wat ik dan van u nog wil weten is: kregen jullie toen vectorrekening, substitutieregel partiele integratie en taylorpolynomen al op de middelbareschool?

ik vind dit best interresant eigenlijk, ik probeer dan ook zoveel mogelijk uit oude boeken te leren. (wel op universitair niveau, maar ook daar zijn verschillen natuurlijk)

Vectorrekening en substitutieregel wel, taylorreeksen niet.

Ik weet niet meer of ik partiele integratie voor het eerst tegenkwam op de middelbare school of op de universiteit tegenkwam. Waarschijnlijk op de middelbare school.
Weet ik niet zeker meer, aangezien wij ongeveer 1 maand na het begin van de wiskundestudie te horen kregen, dat we alles moesten vergeten wat we op de middelbare school hadden geleerd (bij Analyse I, natuurlijk).