Afgeleiden/Integralen van cos(x)^2/3/4?

[Draco]

Hoe bereken je eigenlijk de afgeleiden en integralen als je een cos(x)^2 of 3 of zelfs 4 hebt? Zelfde voor sinus.

[GinnyPig]

Differentieren van een cosⁿ[x] kan makkelijk door de kettingregel te gebruiken. Er geldt tenslotte:

dy/dx = dy/du*du/dx

Dus vervang cos[x] door u, en je krijgt uⁿ. De afgeleide wordt dan:

n*u^n-1 * [u]' = n*cos^n-1[x]*-sin[x]

Voor integreren is het iets lastiger.

Allereerst geldt:

cos²[x] = 1/2 + 1/2 cos[2x]

Dus een kwadratische term integreren is geen probleem. Voor hogere machten kan je een substitutie uitvoeren. Als voorbeeld de primitieve van cos³[x]:

cos³[x]dx =
cos²[x]*cos[x]dx =
(1-sin²)*cos[x]dx =
(1-sin²)*d(sin[x]) =
(1 - u²)du = (met u = sin[x])
u - 1/3u³ =
sin[x] - 1/3sin³[x]

Dit truukje kan je bij hogere machten ook toepassen.

[pol]

Afgeleiden : kettingregel.

Integralen : cos(x)^2 = (cos(2x)+1)/2 (dubbele hoekformules)
analoog : sin(x)^2 = (cos(2x)-1)/2

Deze twee vormen zijn eenvoudige standaard integralen (het kwadraat is weggewerkt).

Voor hogere machten moet je partieel integreren. Of gebruik direct een recursieformule. Na elke recursie vermindert de macht met 2. Doe dit tot je een macht 2 of 1 krijgt, en deze twee gevallen zijn (zoals hierboven) eenvoudig op te lossen.