Integraal/Sommeren (simpel vraagje)

Hoihoi,

Ik zit in het beginstadium van integreren, waar je dus nog geen ingewikkelde formules moet invoeren of het exact moet gaan bepalen e.d. Het lijkt best simpel, maar na een paar sommetjes te hebben gemaakt, komen alle antwoorden helemaal niet overeen met de antwoorden die in het boek vermeld staan. Zeer frustrerend
Misschien dat iemand me met 1 opgave verder kan helpen, zodat ik de rest zelf goed kan maken.


Een vuurpijl wordt in 10 seconden naar boven gestuwd, op zo'n manier dat zijn snelheid (in m/s) op tijdstip t gegeven wordt door:

v = t * (10-t)

b. benader met 5 deelintervallen de hoogte die de vuurpijl bereikt.


Ik heb als volgt geredeneerd:
De formule geeft aan dat het om een bergparabol gaat, dit klopt ook wanneer het in je GR plot. Dus, je moet niet het hele oppervlak van de parabol berekenen, maar de helft. De pijl gaat tenslotte weer omlaag. Je 'snijdt' de helft in 5 stukken, zodat je 5 blokken krijgt en daar bereken je de oppervlakte van. Dat bij elkaar opgetelt is de hoogte in meters.

Waar zit mijn denkfout?

Alvast vele malen dank!

[heleentje]

Dus, je moet niet het hele oppervlak van de parabol berekenen, maar de helft. De pijl gaat tenslotte weer omlaag.

Ben nu ook net met dit onderwerp bezig dus weet het niet zeker maar volgens mij klopt dit niet wat hierboven staat. Als de pijl namelijk op het toppunt van zijn baan zit dan is de snelheid gelijk aan nul. Vervolgens neemt de snelheid weer toe. Dit is echter in de grafiek te zien als negatief aangezien dit in tegengestelde richting is. Je hebt dus de oppervlakte nodig tussen de beide nulpunten. Het eerste nulpunt geeft de start aan en de tweede de top van de baan van de pijl. Deze oppervlakte kan je dan m.b.h van Riemann methode oplossen en controleren d.m.v. je GR (bij Ti-83: 2nd calc -> optie 7 en dan waarden invullen).

[heleentje]

De pijl is op t = 5 s op zijn hoogste punt. (Dan is de afgeleide nul.)

Volgens mij klopt dit niet. Volgens mij is de pijl op zijn toppunt op 10 seconde.
Allereerst omdat in de opgave staat dat hij in 10 seconde naar boven wordt gestuwd. Dit houdt dus in dat de formule alleen van toepassing is het naar boven gaan van de pijl. Daarnaast zegt hetgeen dat de afgeleide op punt t=5 niet zoveel. Het zegt alleen dat daar de versnelling gelijk is aan 0. Het gaat er juist om waar de snelheid nul is. En dat is op het toppunt van de baan van de pijl (en dus niet van de grafiek). Via mijn grafische rekenmachine kwam ik uit op : 166 2/3 meter. Dus dat komt wel gewoon overeen met het antwoord van Snees alleen klopt die eerst zin niet volgens mij.
Bovendien als je van Snees zou uitgaan dat hij bij t =5 op zijn hoogste punt is dan zou je dus de oppervlakte van de helft van de grafiek moeten uitrekenen want er staat bereken de hoogte die hij bereikt en niet de afgelegde weg.

[Sketch]

heleentje schreef op 01-05-2005 @ 11:26 :
Volgens mij klopt dit niet. Volgens mij is de pijl op zijn toppunt op 10 seconde.
Allereerst omdat in de opgave staat dat hij in 10 seconde naar boven wordt gestuwd. Dit houdt dus in dat de formule alleen van toepassing is het naar boven gaan van de pijl. Daarnaast zegt hetgeen dat de afgeleide op punt t=5 niet zoveel. Het zegt alleen dat daar de versnelling gelijk is aan 0. Het gaat er juist om waar de snelheid nul is. En dat is op het toppunt van de baan van de pijl (en dus niet van de grafiek). Via mijn grafische rekenmachine kwam ik uit op : 166 2/3 meter. Dus dat komt wel gewoon overeen met het antwoord van Snees alleen klopt die eerst zin niet volgens mij.
Bovendien als je van Snees zou uitgaan dat hij bij t =5 op zijn hoogste punt is dan zou je dus de oppervlakte van de helft van de grafiek moeten uitrekenen want er staat bereken de hoogte die hij bereikt en niet de afgelegde weg.

Inderdaad. de formule geeft de snelheid, en de pijl is op z'n hoogste punt als de snelheid 0 is. En dat is dus gewoon na 10 seconden.

v(t) = t (10-t)
= 10t - t^2

V(t) = 5 t^2 - 1/3 t^3 (toch?)
V(10) = 5 * 10^2 - 1\3 10^3
= 500 - 333,33
= 166,67

En met deelintervallen moet je steeds v(t) * 2 doen. Met voor t 1, 3, 5, 7, en 9. En die waarden tel je dan allemaal bij elkaar op.

v(1)*2=18
v(3)*2=42
v(5)*2=50
v(7)*2=42
v(9)*2=18

18+42+50+42+18=170

[sdekivit]

let er wel op dat je een ondersom en een bovensom hebt

heleentje schreef op 01-05-2005 @ 11:26 :

Inderdaad, helemaal mijn fout. Wat ik eerder gisteravond postte, klopte dus wel. Ik zat even te prutsen. Ik kan mijn oude post nog terughalen, maar Sketch heeft al een soortgelijk antwoord geplaatst.