Breuk

[_superboer_]

In een bepaalde berekening op internet zag ik de volgende vergelijking:



Kan iemand uitleggen hoe je de eerste breuk kunt vereenvoudigen tot de tweede?

[TD]

1/(1/2*sqrt(5)-1/2)
= 1/((sqrt(5)-1)/2)
= 2/(sqrt(5)-1)
= 2(sqrt(5)+1)/((sqrt(5)-1)(sqrt(5)+1)) (*)
= 2(sqrt(5)+1)/4
= (sqrt(5)+1)/2

(*) Rationaliseren van de noemer door teller en noemer te vermenigvuldigen met het complement van de noemer.

[mathfreak]

_superboer_ schreef op 13-11-2005 @ 13:38 :
In een bepaalde berekening op internet zag ik de volgende vergelijking:

[afbeelding]

Kan iemand uitleggen hoe je de eerste breuk kunt vereenvoudigen tot de tweede?

Stel 1/2*sqrt(5)-1/2=a-b, dan geldt: 1/(a-b)=(a+b)/[(a-b)(a+b)]=(a+b)/(a²-b²)=(1/2*sqrt(5)+1/2)/(5/4-1/4)
=(1/2*sqrt(5)+1/2)/1=1/2*sqrt(5)+1/2=1/2+1/2*sqrt(5)
=1/2(1+sqrt(5))=(1+sqrt(5))/2.

@TD: Ik neem aan dat je in plaats van het complement van de noemer de geconjugeerde van de noemer bedoelde.

[TD]

@TD: Ik neem aan dat je in plaats van het complement van de noemer de geconjugeerde van de noemer bedoelde. [/B]

De geconjugeerde ja

[_superboer_]

TD schreef op 13-11-2005 @ 14:00 :

(*) Rationaliseren van de noemer door teller en noemer te vermenigvuldigen met het complement van de noemer.

Zou je kunnen uitleggen wat je hier mee bedoeld?

Betekend dat gewoon dat je teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigd?

[TD]

Nee, wanneer je iets van de vorm (a-b) hebt waarbij a of b een vierkantswortel is, dan kan je die wortel kwijtspelen door te vermenigvuldigen met (a+b). Uiteraard mag je dat alleen doen in de noemer als je dat dan ook doet in de teller.

In de noemer heb je dan: (a-b)(a+b) = a² -ab + ab - b² = a²-b².
Zoals je ziet worden zowel a als b gekwadrateerd, dus de wortel verdwijnt. Als in de noemer oorspronkelijk (a+b) stond kan je dezelfde truc toepassen door teller en noemer met (a-b) te vermenigvuldigen.
We noemen die uitdrukking met het gewisselde teken de 'toegevoegde uitdrukking' of 'geconjugeerde'.

Ik dacht dat het begrip 'geconjugeerde' alleen van toepassing was op complexe getallen?

[_superboer_]

Oke, hartstikke bedankt!

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 13-11-2005 @ 15:10 :
Ik dacht dat het begrip 'geconjugeerde' alleen van toepassing was op complexe getallen?

Nee, het is algemener. Laat Q(sqrt(D)) de verzameling zijn van alle getallen a+b*sqrt(D), waarbij a en b elementen zijn uit de verzameling Q van de rationale getallen, en D geen kwadraat is, dan heeft x=a+b*sqrt(D) het getal x^*=a-b*sqrt(D) als geconjugeerde. Voor D>0 is Q(sqrt(D)) isomorf met de verzameling R van de reële getallen, en voor D<0 is Q(sqrt(D)) isomorf met de verzameling C van de complexe getallen. Omdat Q(sqrt(D)) kan worden opgevat als een vectorruimte met dimensie 2 die door de basis {1,sqrt(D)} wordt voortgebracht, noemen we Q(sqrt(D)) een lichaamsuitbreiding van het lichaam Q van de rationale getallen met graad 2. Omdat de graad van Q(sqrt(D)) 2 is noemen we Q(sqrt(D)) in dit geval een kwadratisch getallenlichaam.