[WI] Exponentiele vergelijkingen

Ik ben momenteel aan het leren hoe ik exponentiële vergelijkingen kan oplossen, en ik vroeg me af of iemand naar de onderstaande kon kijken.

TBA

[mxshaun]

Waar is de vergelijking dan?

2^4y+1 - 3^y=0
2^4y+1 =3^y
4y+1log2=ylog3
4ylog2 + log2=ylog3
y(4log2 - log3)=-log2
y=-log2/4log2-log3
y=-0.727

Blijkbaar is dit antwoord fout, kan iemand hier aub naar kijken?

Dan heb ik een vraag over de volgende logartimische vergelijking.

Ln10-ln(7-x)=lnx
ln(10/7-x)=lnx
10/7-x=x
x^2-7x+10=0

D(discriminant)=(-7)^2 -4*1*10=9
abc formule toepassen

x=7 +- 3/2
x=8 V x=1

Dit klopt niet als je ontbind in factoren want dan....

x^2-7x+10=0
(x-5)(x-2)=0

Geeft de abc formule niet altijd het juiste antwoord?

[crltj]

laten we eerst naar de eerste kijken:
Bedoel je dit
2^(4y)+1 =3^y
of dit:
2^(4y+1)=3^y
de eerste lijkt me niet handig namelijk, dus doen we de tweede
eerst nemen we de 2log aan beide kanten


En nu die ander vraag
De abc formule is als volgt:


Ik weet niet waarom je x=8 en x=1 eruit krijgt want zelfs dat zie ik niet gebeuren met de gegevens die je hebt. vul maar in:

Waarom laat jij 2log weg aan de linkerkant????? Welke eigenschap gebruik je daarbij?

Oh en natuurlijk is 10/2=5 , my bad. Me hoofd zat ergens anders haha.

[crltj]

oh je zat bij 10-2=8

nou ja ik vond het duidelijk genoeg dat

Dus ja, dat laat ik nog wel eens weg

[mathfreak]

Als ^glog a = b, dan geldt: g^b = a, dus ^glog g^b = b.

Ah bedankt voor het verduidelijken mathfreak. Het hele exponentiële en logaritmische vergelijkingen is nieuw voor me, en daarbij ken ik nog niet zo heel veel eigenschappen.

Doe ik het bij deze goed?

8+5^(2x+3)=12
5^(2x+3)=4
2x+3=5log4
2x=5log4-3
x=5log4-3/2
x=1.510299957

Ik weet hoe ik een tweedegraadsvegelijking moet oplossen dmv de abc formule of factoren, maar hoe pas ik de abc formule toe op een exponentiele vergelijking? Daar raak ik meestal in de war, en mis ik de inzicht om te zien dat het met de abc formule of factoren op te lossen is.

Het gaat hier dan om de volgende exponentiële vergelijking:

10e^2x - 31e^x + 15=0

D=Wortel (b^2 -4ac)

Wat is dan in de bovenste exponentiële vergelijking a, b en c?

[mathfreak]

Uit 2x = ⁵log 4-3 volgt: x = ½(⁵log 4-3) = ½∙⁵log 4-1½ = ⁵log 4^½-1½ = ⁵log 2-1½. Hierbij gebruik je de eigenschap ^glog aⁿ = n∙^glog a.
Stel bij 10e^2x-31e^x+15 = 0 e^x = p, dan gaat de vergelijking over in 10p²-31p+15 = 0, waarbij p>0 geldt. Deze vergelijking kun je oplossen met de abc-formule.

Dus mijn berekening waar ik de rechterkant deel met 2 klopt niet? Want volgens mij doe ik hetzelfde als jou maar dan in een andere vorm?

Dan even over je tweede antwoord, waar ik je heel dankbaar voor ben,

10p²-31p+15 = 0

p= -(-31) +- w 31^2 - 4*10*15/20
p= 31 +- 19/20
p=2 1/2 V p= 3/5

Substitutie

10*(2 1/2)²-31*(2 1/2)+15 = 0
62.5 - 77.5 +15=0
-15+15=0

[mathfreak]

Je had in 2x = ⁵log 4-3 alleen 3 door 2 gedeeld. Zie de vijfde regel in je berekening.

Ik bedoelde allen door 3 gedeeld, dat was mijn fout sorry. Ik zal het voortaan haakjes gebruiken voor dit soort berekeningen.

Volgens mij was de vorige vgl nog niet af? As p=e^x en p= 2 1/2 dan moet ik hem nog verder uitwerken.

e^x= 2 1/2
x=ln2 1/2

Toch?

[mathfreak]

Hunterlife schreef:

Volgens mij was de vorige vgl nog niet af? As p=e^x en p= 2 1/2 dan moet ik hem nog verder uitwerken.

e^x= 2 1/2
x=ln2 1/2

Toch?

Inderdaad, dat is correct. Ik neem aan dat je nu ook de andere oplossing wel kunt vinden, aangezien je weet wat de andere (positieve) waarde van p is.

Ja, maar aangezien 2 1/2 sowieso het goede antwoord is, wat voor zin heeft dan om de andere waarde van p te berekenen(de x in de e)?

[mathfreak]

Hunterlife schreef:

Ja, maar aangezien 2 1/2 sowieso het goede antwoord is, wat voor zin heeft dan om de andere waarde van p te berekenen(de x in de e)?

Als je de oorspronkelijke vergelijking oplost door e^x = p te stellen vind je 2 positieve waarden voor p, dus dat betekent dat er 2 waarden zijn voor e^x, dus dat betekent dat je naast x = ln 2½ nog een oplossing vindt die aan je oorspronkelijke vergelijking voldoet.
Als de andere waarde van p negatief was geweest had je inderdaad alleen x = ln 2½ als oplossing gehad.
Uit e^x = p volgt namelijk: x = ln p.

e^x= 2 1/2
x=ln2 1/2

e^x= 3/5
x=ln3/5

Is mijn uiteindelijk antwoord dan (ln2 1.2, ln3/5)??

Ik snap het concept bij exponentiele vergelijkingen in de vorm a^x=b^x, maar wat nou als je a^x=b^x +c hebt?

Bijv.

7^x-1=6^(x+1) + 3

Of

5^(x-1) + 5^(2x-1)=4

Ik pak even de tweede erbij.

5^(x-1) + 5^(2x-1)=4
Log5^(5^x-1) + Log5^(5^2x-1)=log5^4

Ik maak dan gebruik van

Mathfreak

Als glog a = b, dan geldt: gb = a, dus glog gb = b.

5^(x-1) + 5^(2x-1)=4
Log5^(5^x-1) + Log5^(5^2x-1)=log5^4
x-1 + 2x-1=log5^4
3x-2=log5^4
3x=log5^4 +2
x= (log5^4 +2)/3

Ik heb een sterk vermoede dat dit niet klopt?

En dan bij de volgende:

4^x=2^x + 42
(2^2)^x=2^x + 42
2^2x=2^x+42
2x=x+42
x=42

Kan iemand dit verhelderen voor me aub?

[crltj]

nou het eerste voorbeeld dat je geeft:
7^x-1=6^(x+1) + 3
Is op te lossen, maar is niet simpel, dus die ga ik ook niet uitleggen

voor 5^(x-1) + 5^(2x-1)=4
als je dit op jouw manieer doet zie je een paar dingen over het hoofd.
1. het is niet handig
2. als je aan beide kant 5^... doet, en daarna een 5log, zal je gewoon dezelfde vergelijking weer terug krijgen.

Dit is hoe je het moet doen
Stap 1: haal die -1 weg in beide exponenten



Stap 2: vervang voor en breng de 4 naar de andere kant


Stap 3: beide kanten keer 5 om het makkelijker te maken


Stap 4: nulpunten vinden van deze vergelijking:



Stap 5: kijken welke nulpunten kunnen
p=-5 kan niet want p=5^x, en deze kan niet lager dan nul zijn (tenzij complexe getallen ook meetellen natuurlijk)
dus p=4 is de enige mogelijkheid

Stap 6: x oplossen

dus


En voor de zekerheid kun je het weer invullen en zien dat het klopt

Probeer dit ook eens met die andere vergelijking en probeer daar dus ook een parabool van te maken en daarmee de nulpunten op te lossen

crltj schreef:

Probeer dit ook eens met die andere vergelijking en probeer daar dus ook een parabool van te maken en daarmee de nulpunten op te lossen

4^x=2^x + 42
(2^2)^x=2^x + 42
2^2x - 2^x - 42=0
p^2 - p - 42=0

D= Wortel( (-1)^2 - 4 * 1 * (-42))=13

p= (2 +- 13)/4
p= 15/4 V p= -11/4

Negatief kan het nooit zijn..

p=2^x=15/4
x=2log15/4

Of heb ik dat fout begrepen?

[mathfreak]

Hunterlife schreef:

5^(x-1) + 5^(2x-1)=4
Log5^(5^x-1) + Log5^(5^2x-1)=log5^4

Dit klopt niet. Er geldt wel: ^glog ab = ^glog a+^glog b.

[crltj]

4^x=2^x + 42
(2^2)^x=2^x + 42
2^2x - 2^x - 42=0
p^2 - p - 42=0

D= Wortel( (-1)^2 - 4 * 1 * (-42))=13

p= (2 +- 13)/4
p= 15/4 V p= -11/4

gebruik zo min mogelijk de abc formule, want ook dit is niet goed
de discriminant klopt, maar de p niet, het is (-b+D)/(2a) of (-b-D)/(2a) ik zie niet wat jij er van hebt gemaakt, maar het antwoord is
p^2-p-42=(p-7)(p+6),
dus p=-6 Vp=7
maar p=-6 kan niet
dus p=7
dus 2^x=7 en x=2log(7)
maar de rest begrijp je nu denk ik wel

Ja inderdaad, echt geweldig dat je de tijd neemt om het me allemaal uit te leggen. Ik ga denk ik vanavond een aantal opgaven maken voor mezelf om mee te oefenen.

[crltj]

Oh ik zit midden in een tentamenweek alleen heb geen zin om te leren, dan zit je of spelletjes te spelen of ik doe nog eens wat nuttigs hier, door wat mensjes te helpen
Maar in ieder geval graag gedaan

[mathfreak]

Merk op dat p²-p-42 te ontbinden is als (p+6)(p-7). Dit geeft p = -6 of p = 7 als oplossing van p²-p-42 = 0.
Omdat p = 2^x betekent dit dat je alleen p = 7 als oplossing krijgt, dus 2^x = 7, dus x = ²log 7.