[Wiskunde] Oefenexamens

[I-brahimovic]

Hallo mensen, ik heb 2 probleempjes met wiskunde opgaven uit oefenexamens, misschien weet iemand van jullie raad. De opgaves staan gewoon op internet in .pdf-formaat, dus ik zal ze linken.

1) Deze opgave, vraag 3: "K heeft een asymptoot (...)"

De oplossing staat hier.

Ik begrijp ten eerste niet hoe ze in de uitwerking aan de waarde voor die asymptoot komen en ten tweede waarom dat dan een asymptoot zou zijn. Ik weet wel wat een asymptoot is, maar volgens mij gaat de functie voor bijvoorbeeld t = sqrt(3) door een punt met y = 0??

2) Deze opgave, en dan de vierde vraag dus, "de lijn y = ax (...)". Ik begrijp de uitwerking tot de regel met x = 0 / x = a^2 - 3. Dat ze dan een punt gemeenschappelijk hebben volgt uit de vraag, maar waarom mag er dan maar 1 oplossing zijn? Bovendien komen er ook 2 oplossingen uit (a = -sqrt(3) en a = sqrt(3))

Het antwoord is hier
te vinden.

Alvast bedankt

[snookdogg85]

I-brahimovic schreef op 16-05-2004 @ 13:11 :
Hallo mensen, ik heb 2 probleempjes met wiskunde opgaven uit oefenexamens, misschien weet iemand van jullie raad. De opgaves staan gewoon op internet in .pdf-formaat, dus ik zal ze linken.

1) Deze opgave, vraag 3: "K heeft een asymptoot (...)"

De oplossing staat hier.

Ik begrijp ten eerste niet hoe ze in de uitwerking aan de waarde voor die asymptoot komen en ten tweede waarom dat dan een asymptoot zou zijn. Ik weet wel wat een asymptoot is, maar volgens mij gaat de functie voor bijvoorbeeld t = sqrt(3) door een punt met y = 0??

2) Deze opgave, en dan de vierde vraag dus, "de lijn y = ax (...)". Ik begrijp de uitwerking tot de regel met x = 0 / x = a^2 - 3. Dat ze dan een punt gemeenschappelijk hebben volgt uit de vraag, maar waarom mag er dan maar 1 oplossing zijn? Bovendien komen er ook 2 oplossingen uit (a = -sqrt(3) en a = sqrt(3))

Het antwoord is hier
te vinden.

Alvast bedankt

x=t- 2/t en y=t^3 - 3t

Aangezien er nooit 0 in de noemer van een breuk mag staan, bestaat er geen x-waarde voor t=0. Voor y mogen daarentegen alle mogelijke t-waardes worden ingevuld.

De eventuele assymptoot zal dus liggen bij t=0. Je moet nu onderzoeken of het een hor. dan wel vert. assymptoot betreft.

hor. onderzoek:

lim (y nadert vanaf links t=0) = 0^3 - 3*0=0
lim (y nadert vanaf rechts t=0) = 0^3 -3*0=0

vert. onderzoek
lim (x nadert vanaf links t=0) = 0 - 2/(-t) = 0 + 2/t = +oneindig
lim (x nadert vanaf rechts t=0) = 0 - 2/t = - oneindig

Er is dus sprake van een horizontale assymptoot op hoogte y=0, aangezien de linkerlimiet gelijk is aan de rechterlimiet van het horizontale onderzoek.

Maar zijn die linker- en rechterlimiet wel vwo-stof, vraag ik me af...

[I-brahimovic]

Bedankt voor je snelle reactie. Ik vind het moeilijk, want ik heb dat horizontale en verticale onderzoek dus nooit gehad. Nu is het een examen oude stijl, dit omdat ik de nieuwe stijl examens nu wel heb gezien. Wellicht kan iemand ophelderen of dit onderzoek wiskunde B2 stof is, of in ieder geval nu niet meer tot de stof behoort?

[mathfreak]

I-brahimovic schreef op 16-05-2004 @ 13:11 :
Hallo mensen, ik heb 2 probleempjes met wiskunde opgaven uit oefenexamens, misschien weet iemand van jullie raad. De opgaves staan gewoon op internet in .pdf-formaat, dus ik zal ze linken.

1) Deze opgave, vraag 3: "K heeft een asymptoot (...)"

De oplossing staat hier.

Ik begrijp ten eerste niet hoe ze in de uitwerking aan de waarde voor die asymptoot komen en ten tweede waarom dat dan een asymptoot zou zijn. Ik weet wel wat een asymptoot is, maar volgens mij gaat de functie voor bijvoorbeeld t = sqrt(3) door een punt met y = 0??

Er geldt: x(t)=t-2/t en y(t)=t³-3*t. Zoals je ziet is x niet gedefinieerd voor t=0. Vul je t=0 in y in, dan krijg je y=0. Dit is een horizontale asymptoot.
Onderzoek naar asymptoten met behulp van limieten maakt sinds de Tweede Fase geen deel meer uit van de wiskunde B-stof. Daarvoor was dat nog wel het geval.

I-brahimovic schreef op 16-05-2004 @ 13:11 :
2) Deze opgave, en dan de vierde vraag dus, "de lijn y = ax (...)". Ik begrijp de uitwerking tot de regel met x = 0 / x = a^2 - 3. Dat ze dan een punt gemeenschappelijk hebben volgt uit de vraag, maar waarom mag er dan maar 1 oplossing zijn? Bovendien komen er ook 2 oplossingen uit (a = -sqrt(3) en a = sqrt(3))

Het antwoord is hier
te vinden.

Alvast bedankt

Er is gegeven dat geldt: y²=x²(x+3). Bovendien weet je ook dat de lijn y=a*x een raaklijn aan K is, wat betekent dat de lijn en K slechts 1 punt gemeenschappelijk hebben, vandaar dat er dus maar 1 oplossing mag zijn. Invullen van y=a*x in y²=x²(x+3) geeft:
a²*x²=x²(x+3), dus a²*x²-x²(x+3)=x²(a²-x-3)=0, dus x²=0 of a²-x-3=0, dus x=0 of x=a²-3. x=0 geeft: y=0 en x=a²-3 geeft: y=a³-3*a. Voor x=0 geldt dan: y=a³-3*a=a(a²-3)=0, dus a=0 of a²-3=0,
dus a=0 of a=sqrt(3) of a=-sqrt(3), dus voor a=0 of a=sqrt(3) of a=-sqrt(3) heeft de lijn y=a*x precies 1 punt met K gemeen.

[I-brahimovic]

Ah nu begrijp ik hoe ze aan die antwoorden kwamen. Over die asymptoot ga ik me niet meer druk maken als dat toch geen examenstof is. Echter, mathfreak, nog 1 opmerking: volgens mij is a= 0 geen correcte oplossing, want dan geld y = ax => y = 0x=0 dus y=0, een lijn die samenvalt met de x-as, maar de grafiek van K gaat wel degelijk twee keer door de x-as, namelijk voor t = 0 en t= sqrt(3). Of gaat mijn redenering niet op omdat bij y=0 die asymptoot ligt?

Overigens heb ik inmiddels het tweede probleem zelf opgelost, op een iets andere (makkelijkere?) manier:

Als de lijn y = ax slechts 1 punt gemeenschappelijk heeft met K, moet het een raaklijn aan K zijn (kan niet anders, toch?). Doordat het functievoorschrift y = ax is, weet je ook zeker dat het een raaklijn in de oorsprong (0,0) is. Voor t = sqrt(3) en t = -sqrt(3) zit je in de oorsprong. Nu kun je de afgeleide berekenen volgens:

dx/dt = 2t en dy/dt = 3t^2 - t. Dit geeft dy/dx = (3t^2-t)/2t. Voor t = sqrt(3) en t = -sqrt(3) krijg je respectievelijk a = sqrt(3) en a = -sqrt(3).

Lijk me ook goed

[mathfreak]

I-brahimovic schreef op 16-05-2004 @ 15:43 :
Ah nu begrijp ik hoe ze aan die antwoorden kwamen. Over die asymptoot ga ik me niet meer druk maken als dat toch geen examenstof is. Echter, mathfreak, nog 1 opmerking: volgens mij is a= 0 geen correcte oplossing, want dan geldt: y = ax => y = 0x=0 dus y=0, een lijn die samenvalt met de x-as, maar de grafiek van K gaat wel degelijk twee keer door de x-as, namelijk voor t = 0 en t= sqrt(3). Of gaat mijn redenering niet op omdat bij y=0 die asymptoot ligt?

Bij de tweede opgave heb je geen asymptoot, maar een zogenaamd dubbelpunt, namelijk x=0. Je kunt a=0 in dit geval als een triviale oplossing beschouwen.

I-brahimovic schreef op 16-05-2004 @ 15:43 :
Overigens heb ik inmiddels het tweede probleem zelf opgelost, op een iets andere (makkelijkere?) manier:

Als de lijn y = ax slechts 1 punt gemeenschappelijk heeft met K, moet het een raaklijn aan K zijn (kan niet anders, toch?). Doordat het functievoorschrift y = ax is, weet je ook zeker dat het een raaklijn in de oorsprong (0,0) is. Voor t = sqrt(3) en t = -sqrt(3) zit je in de oorsprong. Nu kun je de afgeleide berekenen volgens:

dx/dt = 2t en dy/dt = 3t^2 - t. Dit geeft dy/dx = (3t^2-t)/2t. Voor t = sqrt(3) en t = -sqrt(3) krijg je respectievelijk a = sqrt(3) en a = -sqrt(3).

Lijkt me ook goed

Zo kan het inderdaad ook.