[Wi] priemgetal

[tandenborstel]

Ik kom niet echt uit dit vraagstukje:

Er is een stelling die zegt dat elk natuurlijk getal te schrijven is als een product van priemgetallen. Bv. 600 = 2^3 * 3 * 5^2

Ga na of de volgende uitspraak waar is:

Voor Alle n uit de Natuurlijke getallen : n^2 - n + 11 is een priemgetal

Ik heb wel wat getalletjes ingevuld, maar dat lukt niet(allen priemgetallen) en is waarschijnlijk ook niet de bedoeling om het zo op te lossen... Maar hoe dan wel..
Ik neem aan dat ik wat moet met die stelling.... Hmmm


Wie kan mij helpen?

[GinnyPig]

Tis flauw, maar je moet controleren of de stelling waar is of niet.

De stelling is niet waar, want stel dat n = 11. Dan krijg je:

11^2 - 11 + 11 = 11^2 = 121

En das geen priemgetal. Aangezien de stelling zou moeten opgaan voor alle natuurlijke getallen is 1 tegenvoorbeeld genoeg om de stelling te ontkrachten.

[Fade of Light]

GinnyPig schreef op 03-09-2003 @ 15:56:
Tis flauw, maar je moet controleren of de stelling waar is of niet.

De stelling is niet waar, want stel dat n = 11. Dan krijg je:

11^2 - 11 + 11 = 11^2 = 121

En das geen priemgetal. Aangezien de stelling zou moeten opgaan voor alle natuurlijke getallen is 1 tegenvoorbeeld genoeg om de stelling te ontkrachten.

en hoe komt die op 11?

er staat n*n -n + 11. Als je ervoor zorgt dat n gelijk is aan 11 staat er alleen nog maar n*n. En een priemgetal is niet te ontbinden. Zo zou je er dus aan kunnen komen

[GinnyPig]

Fade of Light schreef op 03-09-2003 @ 17:22:
en hoe komt die op 11?

er staat n*n -n + 11. Als je ervoor zorgt dat n gelijk is aan 11 staat er alleen nog maar n*n. En een priemgetal is niet te ontbinden. Zo zou je er dus aan kunnen komen

Je hoeft eigenlijk niet te beredeneren hoe je aan een tegenvoorbeeld komt...

Maar idd, zo was ik er wel op gekomen

[tandenborstel]

Whoooee ik snap het zo waar

[Fade of Light]

GinnyPig schreef op 03-09-2003 @ 17:30:
Je hoeft eigenlijk niet te beredeneren hoe je aan een tegenvoorbeeld komt...

Maar idd, zo was ik er wel op gekomen

klopt, maar op een tentamen/examen/proefwerk, moet je wel een tegenvoorbeeld kunnen vinden. Als je gewoon probeert, kan het wel eens erg lang duren
Daarbij kun je door zo'n inzicht ook nog eens andere sommen gaan snappen

tandenborstel: goedzo

[Dvalin]

en even iets algemener:

b = n^2 - n + a (met n = integer, en a = priem)

dan geldt:

b = n^2 - n + a = n(n-1) + a

dus zodra n of n-1 een veelvoud van a is, zal het geen priemgetal zijn

dus indien a = 11, zal b geen priem zijn, als n = 11, 12, 22, 23, enz...

maar dit zullen waarschijnlijk niet alle waarden van n zijn waarvoor b geen priem is ?

[mathfreak]

Dvalin schreef op 03-09-2003 @ 20:17:
en even iets algemener:

b = n^2 - n + a (met n = integer, en a = priem)

dan geldt:

b = n^2 - n + a = n(n-1) + a

dus zodra n of n-1 een veelvoud van a is, zal het geen priemgetal zijn

dus indien a = 11, zal b geen priem zijn, als n = 11, 12, 22, 23, enz...

maar dit zullen waarschijnlijk niet alle waarden van n zijn waarvoor b geen priem is ?

Ik neem aan dat je 33 bedoelde in plaats van 23. Voor a=11 is n²-n+11 zeker geen priemgetal voor n=11*k met k geheel, aangezien
n²-n+11=121*k²+11*k+11 dan een factor 11 heeft en dus te ontbinden is als 11(11*k²+k+1).
Voor een getal van de vorm n²-n+p levert dit voor n=k*p met k geheel zeker geen priemgetal op. De redenering verloopt verder als in het voorbeeld met p=11.

[Dvalin]

mathfreak schreef op 03-09-2003 @ 21:26:
Ik neem aan dat je 33 bedoelde in plaats van 23. Voor a=11 is n²-n+11 zeker geen priemgetal voor n=11*k met k geheel, aangezien
n²-n+11=121*k²+11*k+11 dan een factor 11 heeft en dus te ontbinden is als 11(11*k²+k+1).
Voor een getal van de vorm n²-n+p levert dit voor n=k*p met k geheel zeker geen priemgetal op. De redenering verloopt verder als in het voorbeeld met p=11.

nee, ik bedoel geen 33, maar echt 23, als je het rijtje verder vervolgt:

11,12,22,23,33,34,44,45,enz...

namelijk voor 23:

n^2 - n + 11 = n(n-1) + 11 = 23 * 22 + 11 = 46 * 11 + 11 = 47 * 11, dus geen priemgetal voor n=23

en als je met deze stelling klaar bent kun je ff het vermoeden van Goldbach bewijzen :
'Elk even getal >2 is de som van twee priemgetallen'

[Dvalin]

FlorisvdB schreef op 04-09-2003 @ 13:34:
en als je met deze stelling klaar bent kun je ff het vermoeden van Goldbach bewijzen :
'Elk even getal >2 is de som van twee priemgetallen'

laten we daar maar niet aan beginnen

[mathfreak]

Dvalin schreef op 03-09-2003 @ 23:13:
nee, ik bedoel geen 33, maar echt 23, als je het rijtje verder vervolgt:

11,12,22,23,33,34,44,45,enz...

namelijk voor 23:

n^2 - n + 11 = n(n-1) + 11 = 23 * 22 + 11 = 46 * 11 + 11 = 47 * 11, dus geen priemgetal voor n=23

Voor p priem kun je algemeen stellen dat n²-n+p niet priem is voor
n=0 mod p of n=1 mod p. In het geval p=11 is n²-n+11 niet priem voor
n=0 mod 11 of n=1 mod 11. Dit is ook wat jouw rijtje weergeeft, alleen kun je het zo beknopter weergeven.