[WI]Volledige inductie

**14-10-2007, 16:21**

Hallo,
Ik ben bezig met bewijzen met volledige inductie bij wiskunde, maar het ontgaat me een beetje. Ik snap telkens de rood onderstreepte stappen niet:

Wie zou me kunnen helpen? Bedankt.

TD · **14-10-2007, 16:59**

Zijn dit de volledige uitwerkingen van drie opgaven of maar stukjes?
Volgens mij is er ergens een inductiehypothese, die wordt gebruikt...

mathfreak · **14-10-2007, 17:45**

Citaat:

TD schreef:

Zijn dit de volledige uitwerkingen van drie opgaven of maar stukjes?
Volgens mij is er ergens een inductiehypothese, die wordt gebruikt...

Dat klopt, en ik denk dat daar het probleem zit, namelijk het hoe en waarom van die inductiehypothese. Wat je ziet is de inductiestap, waarbij van de inductiehypothese gebruik wordt gemaakt, maar blijkbaar is die inductiestap voor Jeroenjeroen niet duidelijk.

@Jeroenjeroen: Volgens het eerste voorbeeld moet je blijkbaar aantonen dat voor ieder natuurlijk getal n geldt: $\sum_{k=1}^n (k+1)2^k=n2^{n+1}$ .
Om dit met volledige inductie te bewijzen bewijs je eerst dat dit klopt voor n=1. Je krijgt dan: (1+1)2¹=1*2¹⁺¹, dus 2*2¹=1*2². Dit klopt, dus voor n=1 is de bewering juist.
Je veronderstelt nu dat voor een gegeven natuurlijk getal n de bewering $\sum_{k=1}^n (k+1)2^k=n2^{n+1}$ juist is. Deze veronderstelling noemen we de inductiehypothese. Je moet nu aantonen dat de bewering ook juist is voor n+1, dus voor de opvolger van n. Deze bewijsstap noemen we de inductiestap.
Nu geldt: $\sum_{k=1}^{n+1} (k+1)2^k=\sum_{k=1}^n (k+1)2^k+(n+2)2^{n+1}$ . Op grond van de inductiehypothese geeft dit: $\sum_{k=1}^{n+1} (k+1)2^k=n2^{n+1}+(n+2)2^{n+1}=(2n+2)2^{n+1}<br /> =2(n+1)2^{n+1}=(n+1)2^{n+2}$ . Dit betekent dat de bewering dus ook juist is voor n+1.
Omdat de bewering juist is voor n=1, en omdat de bewering voor een gegeven natuurlijk getal n en de opvolger n+1 ook juist is, betekent dit dat voor ieder natuurlijk getal n geldt: $\sum_{k=1}^n (k+1)2^k=n2^{n+1}$ , wat te bewijzen was.
De inductiebewijzen bij de andere 2 voorbeelden lopen op dezelfde manier.

**14-10-2007, 18:03**

Is dat alles? Dan is de moeilijkheidsgraad echt 0 :-P
Super bedankt in ieder geval! Ik snap het helemaal

mathfreak · **14-10-2007, 19:20**

Citaat:

Jeroenjeroen schreef:

Is dat alles? Dan is de moeilijkheidsgraad echt 0 :-P

Dat is inderdaad alles. Bewijzen met volledige inductie zijn op zich niet zo moeilijk. Je moet alleen even weten hoe het principe van volledige inductie precies werkt.

Citaat:

Jeroenjeroen schreef:

Super bedankt in ieder geval! Ik snap het helemaal

Graag gedaan.

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] Volledige inductie srat01	4	12-05-2012 22:39
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] vraag (moeilijk++) Pingu89	9	01-09-2007 13:20

14-10-2007, 16:21
Verwijderd	Hallo, Ik ben bezig met bewijzen met volledige inductie bij wiskunde, maar het ontgaat me een beetje. Ik snap telkens de rood onderstreepte stappen niet: Wie zou me kunnen helpen? Bedankt.

14-10-2007, 16:59
TD	Zijn dit de volledige uitwerkingen van drie opgaven of maar stukjes? Volgens mij is er ergens een inductiehypothese, die wordt gebruikt... __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

14-10-2007, 18:03
Verwijderd	Is dat alles? Dan is de moeilijkheidsgraad echt 0 :-P Super bedankt in ieder geval! Ik snap het helemaal

Advertentie