Oud 31-05-2009, 17:23
Cyberminded
Cyberminded is offline
Hi all,

Kan iemand me helpen. Ik ben bezig met het examen wiskunde B12 2007-1 en ik kom er niet uit bij vraag 13:

De vraag

Uitwerking

Ik snap niet waarom de primitieve van:

e ^ (2x)

gelijk is aan:

1/2 * e ^ (2x)

Kan iemand uitleggen waarom dit waar is?

Heel erg bedankt
__________________
Its your mind... that creates this world.
Met citaat reageren
Advertentie
Oud 31-05-2009, 18:21
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Kijk maar eens wat je krijgt als je differentieert.
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Met citaat reageren
Oud 31-05-2009, 20:35
Cyberminded
Cyberminded is offline
Bedankt voor je reply.

Oké. Je kunt dan inderdaad de kettingregel toepassen om aan e^(2x) te komen. Maar het is toch niet de bedoeling dat je steeds omgekeerd redeneerd? Ik wil het primitiveren zélf ook snappen.

Na even rondgezocht te hebben kom ik erachter dat je dit alleen kunt uitrekenen met behulp van u-substitutie en dat heb ik nooit gehad (ook geen examenstof volgens mij). Hoe kan het dan dat dat soort vragen toch in een examen zitten?
__________________
Its your mind... that creates this world.
Met citaat reageren
Oud 01-06-2009, 10:50
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Citaat:
Bedankt voor je reply.
Graag gedaan.

Citaat:
Oké. Je kunt dan inderdaad de kettingregel toepassen om aan e^(2x) te komen. Maar het is toch niet de bedoeling dat je steeds omgekeerd redeneert? Ik wil het primitiveren zélf ook snappen.
Ik neem aan dat je het principe van differentiëren wel begrijpt. Daarbij probeer je bij een gegeven functie f de afgeleide f' te vinden. Bij primitiveren ga je omgekeerd te werk: je hebt een functie f die de afgeleide is van een functie F. Deze functie F die je zoekt voldoet dus aan de eigenschap F' = f, wat niets anders is dan de definitie van de primitieve F van de functie f.

Citaat:
Na even rondgezocht te hebben kom ik erachter dat je dit alleen kunt uitrekenen met behulp van u-substitutie en dat heb ik nooit gehad (ook geen examenstof volgens mij). Hoe kan het dan dat dat soort vragen toch in een examen zitten?
Intergreren door middel van substitutie maakt inderdaad, net als partiële integratie overigens, geen deel (meer) uit van de examenstof, maar het is mogelijk om de primitieve van e2x te vinden zonder de substitutiemethode te gebruiken. Je zoekt een functie F met de eigenschap F'(x) = e2x. Uitgaande van het gegeven dat eax de afgeleide aeax heeft vind je dan dat de primitieve van e2x moet zijn.
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Met citaat reageren
Oud 01-06-2009, 13:40
ILUsion
Avatar van ILUsion
ILUsion is offline
Zoals mathfreak al zegt: primitiveren en differentiëren zijn omgekeerde operaties; de moeilijkheid in primitiveren is eerder dat er minder vaste regels zijn (een afgeleide kan je zo goed als altijd berekenen volgens regeltjes, voor een primitieve heb je iets meer ervaring en inzicht nodig). Maar de meest simpele regel waaraan je altijd moet voldoen, is juist dat F' = f en je kan ook vanuit dat oogpunt proberen een primitieve uit te rekenen (maar dat is op zich niet altijd makkelijk).

Ik vind het wel een schande dat substitutie niet meer behoort tot examenstof; dat komt een beetje overeen met de kettingregel in het afleiden, zou je kunnen stellen. Ik ga hier gewoon algemeen uitwerken, en dan een eenvoudig voorbeeld (je gaat waarschijnlijk ook het meeste hebben aan dat voorbeeld, omdat je meestal ook substituties van die vorm kunt gebruiken, maar in moeilijkere integralen kan een algemene substitutie nodig zijn).



Even wat meer uitleg daarbij: stel je moet die eerste oplossen, maar dat integreren zie je op het eerste zicht niet zo zitten, een substitutie komt er dan op neer dat je u = u(x) stelt, leuk en wel, maar je blijft nog met 2 problemen zitten om de eerste gelijkheid aan te tonen:
1) je integratiegrenzen (indien aanwezig): als x van a tot b gaat, gaat u bij integratie van u(a) tot u(b). Voor een onbepaalde integraal, moet je met je grenzen niets aanvangen (onthoudt gewoon dat je op het einde weer gewoon u(x) moet gaan invullen).

2) die dx in je integraal, maar je kan helemaal niet integreren als je een variabele u hebt, en dx in je integraalteken: je kan geen standaardformules daarop toepassen. Wat we daar dus eigenlijk in willen krijgen, is een du, zonder daarbij de opgave te veranderen. Uit de kettingregel weet je echter dat:

Als je die formule niet goed kent, de kettingregel voor afgeleiden:


Maar vermits we dus uit die eerste dx hebben opgesteld, kunnen we dat gewoon invullen in de integraal. Het probleem wordt nu een beetje opgeschoven: je hebt wel de juiste grenzen en een integraal die je misschien kan uitrekenen, maar in die integraal staat nog een vuile afgeleide van je oorspronkelijke variabele x naar de functie u. Die kan je omvormen naar iets mooiers, zoals hierboven aangegeven, je komt uiteindelijk uit dat je niet moet vermenigvuldigen met dx/du, maar delen door du/dx (de afgeleide van u (functie van x, en je nieuwe variabele) naar x); en dat is iets waar je normaal wel goed in zal zijn.

En dat is in totaal een substitutie, kort samengevat vervang je in je uitdrukking u = u(x), waarbij je rekening moet houden met je grenzen en dat je in je integrand nog eens moet delen door u'. Dat laatste kan problemen opleveren in de zin dat je met een substitutie een beetje probeert je functie eenvoudiger voor te stellen, zodat je makkelijker een simpelere functie ziet, maar via die afgeleide daarin, sluipt x soms terug binnen in je integraal, en dat wil je niet (omdat je met die x niets kan aanvangen; je moet alles in u uitdrukken).

Voorbeeld 1( substitutie: u = ax + b)



Ik heb hier dus de substitutie: u(x) = 7x+3 gedaan, ik weet dat u'(x) = 7 (hierdoor moet je delen!), dus langs die kant kan x al niet meer terug in mijn gezicht vliegen. Je grenzen gaan van u(0) = 3 tot u(2) = 7*2 + 3 = 17. De rest van de integraal kan je zelf wel uitwerken, normaal.

Voorbeeld 2: (iets moeilijkere substitutie: u = x^n)

Hier heb ik u(x) = x˛ + 1 gesteld, dat geeft ofwel een probleem voor die x die er nog staat, ofwel moet je die omtransformeren naar u (, maar je merkt al dat je uitdrukking dan niet veel eenvoudiger wordt in dit geval). In dit geval hebben we echter geluk, vermits u'(x) = 2x, vallen die x'jes mooi tegen elkaar weg. Op het einde gewoon een terugsubstitutie van u = x˛ + 1 (moet je steeds doen bij een onbepaalde integraal; bij een bepaalde integraal, komt dat overeen met de grenzen aanpassen).

Ik hoop dat je hier iets aan hebt, je gaat er volgens mij het meeste aan hebben om dat eerste voorbeeld goed te bekijken, want als je substitutie zou nodig hebben, zal dat van dat type zijn waarschijnlijk. Je kan met substituties zo ver gaan als je zelf wilt, in feite; niets belet je om u = cos(x) te stellen, maar het hangt maar van de opgave af of dat een slim idee is.
__________________
vaknar staden lĺngsamt och jag är full igen (Kent - Columbus)
Met citaat reageren
Advertentie
Reageren

Topictools Zoek in deze topic
Zoek in deze topic:

Geavanceerd zoeken

Regels voor berichten
Je mag geen nieuwe topics starten
Je mag niet reageren op berichten
Je mag geen bijlagen versturen
Je mag niet je berichten bewerken

BB code is Aan
Smileys zijn Aan
[IMG]-code is Aan
HTML-code is Uit

Spring naar


Alle tijden zijn GMT +1. Het is nu 15:17.