Afgeleiden/primitieven van goniometrische functies

In mijn wiskundeboek staat een beknopte uitleg over afgeleiden van sin(x) en cos(x):

f(x) = sin(ax) --> f ' (x) = a cos(ax)
g(x) = cos(ax) --> g ' (x) = -a sin (ax)

Nou is dit natuurlijk niet zo moeilijk, maar hoe zit het met de afgeleide en primitieve wanneer de functie een exponent bevat? Dus bijvoorbeeld:

h(x) = 2 sin^2 (2x)

N00dles schreef:
In mijn wiskundeboek staat een beknopte uitleg over afgeleiden van sin(x) en cos(x):

f(x) = sin(ax) --> f ' (x) = a cos(ax)
g(x) = cos(ax) --> g ' (x) = -a sin (ax)

Nou is dit natuurlijk niet zo moeilijk, maar hoe zit het met de afgeleide en primitieve wanneer de functie een exponent bevat? Dus bijvoorbeeld:

h(x) = 2 sin^2 (2x)

Wat mij lijkt:
f(x) = sin(ax) = b * sin(ax) --> f'(x) = a * b * cos(ax)

Dus
f(x) = 2 * sin(2x)^2 --> f'(x) = 2 * 2 * cos(2x)^2 = 4cos(2x)^2

toch?

[BossNL]

Volgens mij zit het allemaal iets gecompliceerder in elkaar dan dat eddie zegt.

Het is vrij lastig om de functie h(x) = 2 (sin (2x))^2 direct te differentieren.

We maken hiervoor gebruik van
cos (2x) = (cos x)^2 - (sin x)^2
en
(cos x)^2 + (sin x)^2 = 1

Deze formules gaan we combineren:

(cos x)^2 = 1- (sin x)^2

cos (2x) = 1 - (sin x)^2 - (sin x)^2 = 1 - 2(sin x)^2
(we hebben (cos x)^2 dus vervangen en de boel korter geschreven)

Dat schrijven we voor de duidelijkheid nog een keer om:
2(sin x)^2 = 1 - cos (2x)

voor x vullen we '2x' in (zie oorspronkelijke h(x)), dus krijgen we:
2(sin 2x)^2 = 1 - cos (4x)

Als we dit gaan differentieren krijgen we:
h'(x) = 4 sin (4x)


en dan hebben we de afgeleide

volgens mij mag je dit gewoon doen. afgeleide van x^n= nx^(n-1)
dus kan je zeggen 4cos2x

[BossNL]

darkshooter schreef:
volgens mij mag je dit gewoon doen. afgeleide van x^n= nx^(n-1)
dus kan je zeggen 4cos2x

En wat gebeurt er dan met de sinus???? Moet die niet afgeleid worden misschien?

de afgeleide van sinx is cosx

[BossNL]

darkshooter schreef:
de afgeleide van sinx is cosx

en van (sin x)^2?

BossNL schreef:


en van (sin x)^2?

2cos x lijkt mij

[BossNL]

darkshooter schreef:

2cos x lijkt mij

Nee, dit klopt ook niet.

De afgeleide van (sin x)^2 is sin (2x)

want:

(sin x)^2 = sin x * sin x

Hier zit een vermenigvuldiging in, dus moeten we de productregel toepassen:

[sin x * sin x]' = sin x * cos x + cos x * sin x
= 2 sin x * cos x = sin (2x)

[GinnyPig]

Kettingregel gebruiken:

f(x) deel ik op in:
y = 2u^2
waarbij geldt: u = sin(2x)

Kettingregel:
dy/dx = dy/du * du/dx

dy/du = [y]' = 4u^2
du/dx = [u]' = 2cos(2x)

Dus:
f'(x) = 2cos(2x) * 4sin(2x) = 8sin(2x)cos(2x) (wat je ook nog kan vereenvoudigen tot: 4sin(4x)

Dus:
f(x) = sin(ax)^y = b * sin(ax)^y --> f'(x) = a * b * sin((a^y)x)

Invullen:
f(x) = 2sin(2x)^2
f'(x) = 2 * 2 * sin((2^2)x) = 4sin(4x)

Dit zal wel te simpel zijn...

de opgave is: h(x)=2sin^2 2x
lijkt mij logisch:
h'(x)=4cos 2x

[BossNL]

darkshooter schreef:
de opgave is: h(x)=2sin^2 2x
lijkt mij logisch:
h'(x)=4cos 2x

Het dringt niet zo goed doordringen dat het niet goed is wat je doet.

Of je nou de kettingregel of de productregel toepast, er komt iets anders uit dan dat jij denkt en het is niet logisch doordat er een kwadraat in zit.

Kijk de boel nog een keer door in de hoop dat het dan wel duidelijk wordt....

[BossNL]

eddie schreef:
Dus:
f(x) = sin(ax)^y = b * sin(ax)^y --> f'(x) = a * b * sin((a^y)x)

Invullen:
f(x) = 2sin(2x)^2
f'(x) = 2 * 2 * sin((2^2)x) = 4sin(4x)

Dit zal wel te simpel zijn...

Je krijgt hetzelfde antwoord als dat GinnyPig en ik krijgen, maar met een andere formule. Het zou heel goed kunnen dat deze formule klopt, maar gebruik maken van de kettingregel is in dit geval denk ik wel het makkelijkste.

BossNL schreef:


Het dringt niet zo goed doordringen dat het niet goed is wat je doet.

Of je nou de kettingregel of de productregel toepast, er komt iets anders uit dan dat jij denkt en het is niet logisch doordat er een kwadraat in zit.

Kijk de boel nog een keer door in de hoop dat het dan wel duidelijk wordt....

Maar het gaat hier toch niet om sinx^2 maar om sin^2

[BossNL]

Zie paar berichten terug waaruit blijkt dat de afgeleide van (sin x)^2 geen cosinus heeft.

Daar zit het probleem.

BossNL schreef:
Zie paar berichten terug waaruit blijkt dat de afgeleide van (sin x)^2 geen cosinus heeft.

Daar zit het probleem.

ja dat snap ik nu. Maar het gaat niet om de sinx maar om de sin

[BossNL]

darkshooter schreef:

ja dat snap ik nu. Maar het gaat niet om de sinx maar om de sin

Klopt!

Die x die jij nu bedoelt heeft waarschijnlijk te maken met notatie.

sin^2 x = (sin x)^2 = sin x * sin x

BossNL schreef:


Klopt!

Die x die jij nu bedoelt heeft waarschijnlijk te maken met notatie.

sin^2 x = (sin x)^2 = sin x * sin x

Ok ik snap waar ik fout zit.

[BossNL]

darkshooter schreef:

Ok ik snap waar ik fout zit.

Hm, al zoveel replies

Ok, even voor de duidelijkheid

Ik bedoelde met deze functie in principe:

h(x) = 2 * sin(2x) * sin (2x) (zo kun je m ook schrijven namelijk)

na even puzzelen kwam ik erachter dat je m op twee manieren kunt vinden...simpelweg de regel f'(x)*g(x) + f(x) * g'(x) gebruiken, waarbij f(x) = 2sin(2x) en g(x) = sin(2x), dan krijg je:

h'(x) = 4cos(2x) * sin(2x) + 2sin(2x) * 2cos(2x)

Dit is een kloppende afgeleide van h(x), maar dan niet vereenvoudigd...

maar de kettingregel is ook toepasbaar:

h(x) = 2 sin^2(2x) (dus ook wel: 2 * sin(2x) * sin(2x))

h (x) = 2 u^2 (u = sin (2x))
h'(x) = 4 u
u substitueren: h'(x) = 4 sin(2x)
dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van u
u' = 2 cos (2x)

dus h'(x) = 4 sin(2x) * 2cos (2x)

Dat is m dan...

[BossNL]

N00dles schreef:
Hm, al zoveel replies

Ok, even voor de duidelijkheid

Ik bedoelde met deze functie in principe:

h(x) = 2 * sin(2x) * sin (2x) (zo kun je m ook schrijven namelijk)

na even puzzelen kwam ik erachter dat je m op twee manieren kunt vinden...simpelweg de regel f'(x)*g(x) + f(x) * g'(x) gebruiken, waarbij f(x) = 2sin(2x) en g(x) = sin(2x), dan krijg je:

h'(x) = 4cos(2x) * sin(2x) + 2sin(2x) * 2cos(2x)

Dit is een kloppende afgeleide van h(x), maar dan niet vereenvoudigd...

maar de kettingregel is ook toepasbaar:

h(x) = 2 sin^2(2x) (dus ook wel: 2 * sin(2x) * sin(2x))

h (x) = 2 u^2 (u = sin (2x))
h'(x) = 4 u
u substitueren: h'(x) = 4 sin(2x)
dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van u
u' = 2 cos (2x)

dus h'(x) = 4 sin(2x) * 2cos (2x)

Dat is m dan...

h'(x) = 4 sin (2x) * 2 cos (2x) kan weer vereenvoudigd worden tot:
h'(x) = 4 sin (4x)

Dit kan met behulp van verdubbelingsformule:
2 sin x * cos x = sin (2x)

[mathfreak]

Laten we eens kijken hoe de primitieve H(x) van de functie
h(x) = 2*(sin(2*x))^2 er uit komt te zien. Om H(x) te bepalen maken we gebruik van het feit dat geldt:
cos(2*x)=1-2*(sin(x))^2 ofwel (sin(x))^2=1/2-1/2*cos(2*x). Dit betekent dat het voorschrift van de functie h kan worden geschreven als
h(x) =2(1/2-1/2*cos(4*x))
=1-cos(4*x), zodat we voor de primitieve H het voorschrift
H(x)=x-1/4*sin(4*x)+c vinden waarbij c een willekeurige constante is.