[WI] Basis van deelruimten v/e matrix

[Roosje]

Hee,

Ik heb dinsdag tentamen Lineaire Algebra maar ik kom niet uit één opgave. Sorry voor de brakke opmaak maar ik ben niet zo'n held met codes.
Gegeven is de matrix A:
1 2 0 -2 1 -1
-1 1 5 -1 -3 3
0 -1 1 0 -2 1
1 1 -2 0 2 -1
1 4 1 2 2 0
Zij U de deelruimte opgespannen door de eerste 3 kolommen, V de deelruimte opgespannen door de laatste 3 kolommen van A. Onder U + V verstaan we de deelruimte U+V = [u+v | u uit U, v uit V}.
Bepaal een basis voor U, V, U+V en de doorsnijding van U en V.

Ik ben er onderhand uit wat een deelruimte en een basis is, en dat was niet al te moeilijk, maar ik weet niet hoe je een basis ergens van bepaalt.
Mijn docent zei dat de basis van U gewoon de eerste drie kolommen van A is omdat dat drie onafhankelijke vectoren zijn. Dat wil ik nog wel geloven, maar hoe bepaal ik dan de basis als het geen onafhankelijke vectoren waren? Of zou de basis dan bestaan uit die twee onafhankelijke vectoren?

Zelfde vraag voor de basis van V.

De basis van U+V kom ik wel uit, dat is niet zo moeilijk.

De uitwerking van de basis van de doorsnijding van U en V heeft mijn docent op het bord gedaan, die kon ik wel meeschrijven maar niet zelf verzinnen.

Heeft iemand een logische, heldere, altijd werkende manier om een basis te bepalen?

Dankjewel alvast!

[mathfreak]

Stel dat een stelsel lineair afhankelijke vectoren is, dan is er in dit stelsel een vector zodat het voortbrengend stelsel gelijk is aan het voortbrengend stelsel . De truc is nu om een zodanig voortbrengend stelsel te construeren dat lineair onafhankelijk is, en dat een deelverzameling is van het voortbrengend stelsel .

[Maxic]

Ik heb ook een vraag, ongeveer hetzelfde onderwerp
Ik wil het snijpunt berekenen van de lijn L en het vlak (x1,x2)

Lijn L bestaat uit een Steun- en richtingsvector, check bijlage voor lijn L.

Ik weet hoe ik het snijpunt tussen een lijn en een as (x1 of x2) moet berekenen. Maar ik snap niet hoe ik het moet doen bij een vlak.
Als je bij de uitleg ook gelijk kan laten zien hoe ik het zou moeten doen voor een snijpunt bij een lijn en het (x1,x3) vlak zou helemaal geweldig zijn

Alsvast bedankt .

[mathfreak]

Stel het vlak heeft de normaalvergelijking ax+by+c = d. Omdat je de vectorvoorstelling van de lijn kent weet je dus hoe x, y en z van λ afhangen. Invullen van x, y en z in de normaalvergelijking van het vlak geeft dan een vergelijking in λ waaruit λ is op te lossen. Dit geeft dan het gevraagde snijpunt.