[WI] Transformatie bij grafieken:hoe te beginnen?

[Diamera]

Hallo iedereen,

Ik ben nu met wiskunde bezig met grafieken en functievoorschriften. Ik snap het niet heel erg goed maar gewoon redelijk denk ik, maar er zitten dan wel eens vragen tussen waarbij je dan een grafiek te zien krijgt in een assenstelsel, en dan moet je daar het functievoorschrift bij geven. Dat lukt me alleen nooit, ik zit altijd fout.

Ik heb trouwens ook echt een slechte leraar dit jaar, als ik iets aan hem vraag wat ik niet snap zegt ie vaak dingen als ''wat ben je weer dom vandaag''. Hij heeft ook bijna nooit tijd voor je. Ikweet niet of het nou een grapje is of niet, maar wiskunde is sowieso al mijn zwakste punt en aangezien hij me niet snapt en alleen maar lacherig doet terwijl ik serieus uitleg wil, ik weet alleen niet precies wat ik nou moet vragen, hoop ik dat iemand hier me verder kan helpen.

Maar goed, wat ik wilde vragen: Hoe begin je dan, als je zo'n lijn hebt? Wat ik dan doe is eerst maar eens kijken uit welke standaardgrafiek de lijn komt, en dan een beetje kijken naar punten die veranderd zijn zoals asymptoten, toppen en randpunten etc. Vervolgens weet ik dan niet wat ik er mee aan moet. De theorie snap ik wel, tenminste hoe een translatie in het functievoorschrift de lijn beïnvloedt op die manier: y= a × (bx - c) + d. Mijn leraar zegt: eerst naar de vermenigvuldigingen kijken. En daar blijft het ook bij. Maar hoe doe je dat dan? Hoe zie ik wat ze met een functie gedaan hebben om een andere lijn te krijgen? Waar begin ik mee?

[8100667]

leraren mogen dat soort opmerkingen niet maken!!!

Niels, help ff

Kom maar op met die grafieken.

Zou je een paar sommen willen geven? Dan is de uitleg iets makkelijker.

Wat ik zelf altijd doe is het volgende:
Eerst kijk je, zoals je nu ook al doet, welke standaardgrafiek je erin herkent.
Als je dat hebt gedaan, heb je te maken met 2 soorten transformaties. Namelijk de verplaatsing en de uitrekking.
Elke grafiek heeft een aantal kenmerken. Zoals asymptoten, toppen ed. Deze punten zijn een gevolg van verplaatsingen.
Daarnaast is de grafiek soms ook breder of juist smaller dan de basisgrafiek. Dit is het gevolg van de uitrekkingen.

Een voorbeeld


We herkennen in deze grafiek de basisgrafiek x². We weten dat de top van deze grafiek altijd op (0,0) ligt. Daar ligt hij nu niet. We gaan dus eerst kijken hoever de top verschoven is. Hij is 4 omhoog verschoven, dus daarom krijg je x²+4. Nu hebben we de verticale verplaatsing opgelost.
We hebben nu nog het volgende over

De top bevindt zich nu nog 2 hokjes naar rechts. Om dit op te lossen moeten we het volgende doen: (x-2)²+4
Je hebt nu nog te maken met het idee dat de grafiek breder is dan de normale x² grafiek. Dat is altijd het gevolg van een uitrekking. Je kan de uitrekking bepalen door gewoon een waarde te proberen. Dus voor x=1, weet je dat er 1 uit moet komen. Zoals je ziet komt er nu ongeveer 1/3 uit. Dat is dan je vermeningvuldigingsfactor.
Je krijgt dus
1/3*(x-2)²+4.

[Diamera]

leraren mogen dat soort opmerkingen niet maken!!!

Nee, idd helaas is die man gewoon nogal bot. Ik laat het wel gewoon zitten, het is maar voor een jaar.

Zoals Lucky Luciano het hier uitlegt, volg ik het nog. Waar ik het kwijtraak, is als ze met translaties na elkaar komen. Ik heb pas het proefwerk over dit hoofdstuk gehad en volgens mij heb ik nog geen derde van het totaal aantal punten
Ik wil het wel begrijpen, maar als ik het zelf moet doen lukt het gewoon niet meer.

Dit voorbeeld van een hyperbool (bijlage) stond in een andere online uitleg.
Ik zie nog wel dat hij uit y = 1/x komt, en dat hij met 3 naar rechts verschoven is. Dat maakt het functievoorschrift f(x) = 1/(x-3). Maar dan weet ik het niet meer. 1/x gaat door punt (1,1). Moet ik dan bij deze grafiek ten opzichte van de asymptoot een hokje naar rechts en naar boven gaan, en dan kijken waar die lijn doorheen gaat? Als dat zo is wat moet ik dan vervolgens doen? Ik kom er niet achter wat de helling is, hoe kom je daarachter? Moet ik dan vanaf dat punt kijken hoeveel hokjes de grafiek daalt als ie een hokje naar rechts gaat? En als je de helling hebt, hoe weet je dan of het door een horizontale of verticale uitrekking komt? Ik weet gewoon echt niet welke stappen ik bij zo'n lastigere grafiek moet nemen, en waar je mee moet beginnen.

[Dark_One]

Bij is er geen verschil tussen een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as of y-as. Immers beiden leveren met a de vermenigvuldigingsconstante.

geeft bij een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as of bij vermenigvuldiging t.o.v. de y-as. (a en b zijn willekeurige vermenigvuldigingsfactoren en c=1/b).

Je moet echter je verplaatsing 3 houden omdat dit geëist wordt door je asymptoot. Dus wordt het dan weer (sterker nog, ik zou je verplaatsing hier als laatste doen, omdat deze het sterkst opgelegd wordt door de asymptoot)

Omdat het functievoorschrift niet veranderd of je nou t.o.v. de x of de y-as vermenigvuldigt maakt het voor je grafiek dus ook niet uit. Je kunt dus aan de grafiek niet zien of het een vermenigvuldiging t.o.v. de x- of de y-as betreft.

Om nu de vermenigvuldiging (ten opzichte van een willekeurige as) moet je dus weer zoals Luciano al aangaf een punt nemen (2,-1) bijvoorbeeld dan zie je dat deze nu door (2;-2,5) gaat dus met 2,5 is vermenigvuldigd. Je uiteindelijke formule is dan dus

Samenvattend: Bij veel formules maakt het niet uit t.o.v. welke as je de vermenigvuldiging uitvoert (zolang je je verplaatsing er op aanpast). Dit komt omdat y zelf ook komt uit een macht van x, waardoor een vermenigvuldigingsfactor bij x gewoon dezelfde vermenigvuldigingsfactor voor y tot diezelfde macht oplevert. , Uitzonderingen zijn bijvoorbeeld sinus en cosinus-grafieken, en exponentiele functies.

Diamera schreef:

Dit voorbeeld van een hyperbool (bijlage) stond in een andere online uitleg.
Ik zie nog wel dat hij uit y = 1/x komt, en dat hij met 3 naar rechts verschoven is. Dat maakt het functievoorschrift f(x) = 1/(x-3). Maar dan weet ik het niet meer. 1/x gaat door punt (1,1). Moet ik dan bij deze grafiek ten opzichte van de asymptoot een hokje naar rechts en naar boven gaan, en dan kijken waar die lijn doorheen gaat? Als dat zo is wat moet ik dan vervolgens doen? Ik kom er niet achter wat de helling is, hoe kom je daarachter? Moet ik dan vanaf dat punt kijken hoeveel hokjes de grafiek daalt als ie een hokje naar rechts gaat? En als je de helling hebt, hoe weet je dan of het door een horizontale of verticale uitrekking komt? Ik weet gewoon echt niet welke stappen ik bij zo'n lastigere grafiek moet nemen, en waar je mee moet beginnen.

Je begint inderdaad goed door te zien dat de grafiek is verschoven over de x-as. Je ziet ook dat de grafiek niet in verschoven over de y-as. Dat betekent dat je alle verschuivingen hebt opgelost.
Dan moet je nu gaan kijken naar de uitrekkingen.

We gaan verder waar je was, y=1/(x-3). Nu vul je een willekeurig getal in. Bijvoorbeeld x=1 of x=2.
Je krijgt in het geval van x=2, y= -1.
Als je nu naar je plaatje kijkt dan zie je dat voor x=2 de uitkomt y=-2,5 is. Dus in plaats van -1, komt er -2,5 uit. Die twee getallen deel je door elkaar en dan zie je dat je vermenigvuldigingsfactor 2,5 is.
Probeer het zelf maar eens met x=1, als het goed is kom je dan ook uit op een vermenigvuldigingsfactor van 2,5.

[Diamera]

Dat heb ik mijn leraar niet één keer horen zeggen, en ik luister echt wel naar zijn ''uitleg''.
Jullie zijn geweldig, bedankt! Maar toch nog één ding: stel dat je dit met een horizontale uitrekking wil doen. Kan dat ook hier? Dark_One zegt dat het niet uitmaakt, zolang je de verplaatsing maar aanpast. Hoe doe je dat dan?

Ik kom weer niet verder dan dit:
Je moet dus eerst naar de uitrekking kijken toch, omdat die de verplaatsing beïnvloedt. Dan zal ik dus met mijn nieuwe inzichten bij een willekeurige x kijken wat er veranderd is. Jullie lieten dit al zien: Bij y=1/x gaat hij door (1,1). Bij deze lijn gaat hij door (1 ; -1,25). En dan weet ik het niet meer. Je moet hier al iets met 1/x doen maar met een horizontale uitrekking was het ook al 1/b × x als b de vermenigvuldigingsfactor was. Ik kan er niets mee

[Dark_One]

Diamera schreef:

Dat heb ik mijn leraar niet één keer horen zeggen, en ik luister echt wel naar zijn ''uitleg''.
Jullie zijn geweldig, bedankt! Maar toch nog één ding: stel dat je dit met een horizontale uitrekking wil doen. Kan dat ook hier? Dark_One zegt dat het niet uitmaakt, zolang je de verplaatsing maar aanpast. Hoe doe je dat dan?

Ik kom weer niet verder dan dit:
Je moet dus eerst naar de uitrekking kijken toch, omdat die de verplaatsing beïnvloedt. Dan zal ik dus met mijn nieuwe inzichten bij een willekeurige x kijken wat er veranderd is. Jullie lieten dit al zien: Bij y=1/x gaat hij door (1,1). Bij deze lijn gaat hij door (1 ; -1,25). En dan weet ik het niet meer. Je moet hier al iets met 1/x doen maar met een horizontale uitrekking was het ook al 1/b × x als b de vermenigvuldigingsfactor was. Ik kan er niets mee

Ik zie nu dat mijn uitleg niet echt uitblinkt van duidelijkheid mijn excuses daarvoor.

Als je een vermenigvuldiging met een bepaalde as wil doen schrijf je ipv y=f(x) y=f(x/b) (een horizontale uitrekking met factor b) of a*y=f(x) (een verticale uitrekking met factor a). In dit geval maakt het niet uit welke van de twee je gebruikt omdat de vermenigingsvuldigingsfactor voor de ene as te bepalen is uit de vermenigvuldigingsfactor voor de andere as. y=a/x of dus a=b.

Om nu te weten wat je vermenigingsvuldiginsfactor is vul je nu 1 punt in (je hebt 1 onbekende dus 1 vergelijking is voldoende). Dit punt moet dan in jouw nieuwe vergelijking vallen. In jouw geval dus (een vermenigvuldiging van a tov van de x-as (y wordt a keer zo groot), of een vermenigvuldiging van 1/a tov van de y-as (x wordt 1/a keer zo groot)). Deze functie moet door het punt (1;-1,25) gaan. Invullen geeft:
maw a=-1,25. Dus je hebt hier te maken met een horizontale uitrekking met een factor van -1,25 of een verticale uitrekking met -1,25.

Je moet je verplaatsing wel eerst doen om het punt goed in te kunnen vullen. Had er bijv. gestaan dan kreeg je dus oftewel a=2,5.

Mijn verhaal over de verplaatsing aanpassen is alleen van toepassing als je de 2 vermenigvuldigingsfactoren in elkaar om wil schrijven. Dus als je van naar wil gaan omdat je asymptoot altijd voor dezelfde x optreedt (bijv K) bij de eerst heb je dus K=b, maar bij de tweede heb je K=d/c oftewel d=c*b. Je verplaatsing is dan uiteindelijk hetzelfde (K), je schrijft hem alleen anders.

Ik hoop dat het zo nog iets duidelijker wordt.