analytische meetkunde, help!

[serena]

1) Bepaal vergelijkingen van de raaklijnen uit het punt p aan de ellips. E: x²+3y² = 6 ; co(p)= (2,-3)
Er zijn 2 methodes en 1 van die methode was ik aan het maken, maar ik loop vast.

Pp: Xp.X/a² + Yp.Y/b² = 1 <=> Pp: x/3 + (-3/2)y = 1
Pp^E: | x²/6 + y²/2 =1 Pp^E (=Pp doorsnede E)
| |x = ur +2
| |y = vr -3

[(ur +2)²]/6 + [(vr -3)²]/2 = 1
<=> (u²/6 +v²/2)r² +(2u/3 - 3v)r +2/3 +9/2 -1 = 0
D= (2u/3 -3v)² -4.(25/3).(u²/6 +v²/2)
= 4u²/9 -25u²/9 -4uv +9v² -25v²/3
= -21u²/9 -4uv +2v²/3 (moet discrimant <0 of >0 zijn?)

Dd= b² -4ac= 16v +4.(21/9) .(2/3)v² =????
(Dd = discriminant v/d discriminant)
Daarna weet ik niet hoe je het verder moet. Je moet r zoeken via dit maar hoe? Als iemand ook een andere manier weet, mag dat ook.
Een andere methode: een rechte Sp met willekeurige richting (u,v) door p leggen.
Dan Substitueren ->Sp^E, die een dubbelpt bevatten. Enz.

2) Een rechte, strikt evenwijdig met een asymptoot v/e hyperbool snijdt de hyperbool in één enkel punt. Bewijs. Figuur maken. Hoe moet je dit doen?

H: x²/a² - y²/b² = 1
* Een strikt // a/e asymptoot:
(A1)p: |x= ra +Xp en (Xp,Yp)behoort niet tot R(a,b)
|y= rb +Yp
* Bepaal de doorsnede via substitutie van parametervgl v/d verschoven
asymptoot in de vgl v/d hyperbool. Enz.

Bedankt!

[mathfreak]

serena schreef op 24-03-2003 @ 21:33:
1) Bepaal vergelijkingen van de raaklijnen uit het punt p aan de ellips. E: x²+3y² = 6 ; co(p)= (2,-3)

Laat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn m zijn, dan is de vergelijking van de raaklijn in P aan E te schrijven als y+3=m(x-2), dus y+3=m*x-2*m, dus y=m*x-2*m-3. Substitueer deze waarde in de vergelijking van E en stel de discriminant van de tweedegraadsvergelijking die je dan krijgt gelijk aan nul. Dit levert een tweedegraadsvergelijking in m op, waaruit m kan worden bepaald. Daarmee ligt dan tevens de vergelijking voor de gevraagde raaklijnen vast. De methode die jij beschreef is alleen bruikbaar voor een punt dat op E ligt, maar omdat dat hier niet het geval is kun je die methode hier dus niet toepassen.

serena schreef op 24-03-2003 @ 21:33:
2) Een rechte, strikt evenwijdig met een asymptoot v/e hyperbool snijdt de hyperbool in één enkel punt. Bewijs. Figuur maken. Hoe moet je dit doen?

H: x²/a² - y²/b² = 1
* Een strikt // a/e asymptoot:
(A1)p: |x= ra +Xp en (Xp,Yp)behoort niet tot R(a,b)
|y= rb +Yp
* Bepaal de doorsnede via substitutie van parametervgl v/d verschoven
asymptoot in de vgl v/d hyperbool. Enz.

Bedankt!

Stel x²/a² - y²/b² =(x/a+y/b)(x/a-y/b) nul. Dit levert de vergelijkingen van de asymptoten van H op. Omdat de lijn evenwijdig aan een asymptoot loopt heeft deze lijn dezelfde richtingscoëfficiënt als de asymptoot. Stel dat de richtingscoëfficiënt m is, dan is de vergelijking van de lijn te schrijven als y=m*x+n. Substitueer dit in de vergelijking van H en los de tweedegraadsvergelijking die je dan krijgt op. Als het goed is moet dit één oplossing geven en zal de lijn H slechts in één punt snijden.