[WI] Maximale oppervalkte met omtrek?

[kwixbit]

Goedenavond!

Een weide wordt voorgesteld door een rechthoek en moet bedraad worden, behalve een zijde. Je draad is 240 meter.
Hoe bereken ik de afmetingen voor een zo groot mogelijke oppervlakte?

Help me!

[Vinniebar]

de oppervlakte is dus:

X * (0,5 * (240-X)

Je kan dit probleem omschrijven naar een functie van één variabele. Vind het maximum van die functie d.m.v. differentiëren en je bent klaar.

[kwixbit]

Sorry, maar ik versta het nog niet.
Hoe kan je nu weten wanneer het maximaal is en wat de afmetingen zijn met die functie?

Kan je een voorbeeld geven aub?

[Vinniebar]

Snap je iig hoe ik aan die formule gekomen ben?

(stap 1 )

[kwixbit]

Ja dat wel, ik kom 80 uit met je formule xD

[rensd]

Ik denk dat je iets fout doet!

Tip: maak eerst een tekeningetje!
De oppervlakte van de rechthoek is: b*h
Voor de draad geld: 2b+h = 240

Je kan dus b uitdrukken in h en dan de oppervlakte differentieren om het maximum te bepalen. Dat moet wel lukken toch?

[remy476]

dat uitdrukken in h lukt me wel en ik kom ook tot X * (0,5 * (240-X) maar ergens snap ik nog niet hoe ik tot concrete getallen kan komen.

[ILUsion]

Voor je totale omtrek heb je volgend verband:


Voor je oppervlakte, die je wilt maximaliseren:


Eerst en vooral wil je een stelsel van allebei uitwerken, zodat je een van de variabelen elimineert (de eerste vergelijking uitwerken naar h (of b) en dat invullen in de tweede). Zo krijg je de oppervlakte in functie van b (of h).

Je krijgt dus volgende betrekking (als je h weggewerkt hebt).


Om nu een extremum te berekenen, leid je dit af naar je variabele b en stelt deze afgeleide gelijk aan 0:

Deze vergelijking gaat uitkomen op een vergelijking in b, ik kom daarvoor bv. uit:


De oplossing hiervan geeft een b-waarde die bij je maximum hoort. Als je de h-waarde wilt hebben die daarbij hoort, kan je dat gaan invullen in de eerste vergelijking. Wil je de bijhorende oppervlakte, kan je gaan invullen in de derde vergelijking (of de tweede als je h al zou bepaald hebben).