[WI] Translaties (transformaties)

[lisette--]

Ik wil even weten of dit goed is:
- verticale vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as
- als je t.o.v de x-as met factor 0.5 vermenigvuldigt klopt het dan dat
een grafiek 2x zo laag wordt.
- als je bijvoorbeeld y=sin(x) t.o.v de x-as met factor 0.5 vermenigvuldigt dan krijg je
- y = sin(x)
2y = sin(x)
y = 0.5*sin(x)
- als je t.o.v de x-as met factor 2 vermenigvuldigt klopt het dan dat de grafiek
2x zo hoog wordt
- als je bijvoorbeeld y = sin(x) t.o.v de x-as met factor 2 vermenigvuldigt dan krijg je
- y = sin(x)
0.5y=sin(x)
y = 2sin(x)



- horizontale vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as
- als je t.o.v de y-as met factor 0.5 vermenigvuldigt klopt het dan dat de grafiek
2x zo smal wordt.
- als je bijvoorbeeld y = sin(x) t.o.v de y-as met factor 0.5 vermenigvuldigt dan krijg je
- y = sin(x)
y = sin(2x)
- als je t.o.v de y-as met factor 2 vermenigvuldigt klopt het dan dat de grafiek 2x zo
breedt wordt
- als je bijvoorbeeld y= sin(x) t.o.v de y-as met factor 2 vermenigvuldigt, dan krijg je
- y = sin(x)
y = sin(0.5x)

ook heb ik nog een vraag over de volgorde van transformaties, ik heb hier even een voorbeeldsom bij.

Ga uit van functie f(x) = wortel(x) en stel voor de volgende gevallen voorbeelden op, waaruit je kunt opmaken of de volgorde van de 2 transformaties invloed heeft op het resultaat.
a. twee translaties na elkaar
b. een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as en een translatie omhoog
c. een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as en een translatie naar links of rechts
d. een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as en een translatie naar links of rechts
e. een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as en een translatie omhoog of omlaag

waarom heeft het bij b wel invloed op het resultaat, en bij c niet en waarom bij d wel en bij e niet, kan iemand dat even goed uitleggen.

ook heb ik nog een vraag over deze translatie
De grafiek van f(x) = 2x - 5 / x - 3 is ontstaan uit de grafiek van y = 1 / x
welke transformaties zijn daarbij gebruikt?

ik snap dat de grafiek 3 naar rechts moet, maar waarom moet de grafiek ook nog 2 omhoog?? en waarom staat er dan een 5 in de functie, normaal geeft dat toch ook wat aan??

[ILUsion]

God, wat krijgen jullie moeilijke uitleg over hoe grafieken kunnen schalen... Wel, je eerste afleidingen kloppen, hoor, dus daar geen problemen. Ik zou voor dergelijke problemen gewoon zeggen: teken die grafiek eens uit:
a) ofwel manueel (aantal punten berekenen en op papier tekenen), daar leer je het meeste uit
b) met de computer of met een grafisch rekenmachientje

Maar om je op weg te helpen met het schalen van de x-as (in jouw uitleg is dat vermenigvuldigen t.o.v. de y-as), kan je dat als volgt zien. Je weet hoe een sinus(x) eruit ziet, en je wilt weten hoe een sinus(2x) eruit zie. Je begint met het tekenen van de grafiek van sinus(x), dat kan je. Dus je begint x = 0, y(0) = sin(0) = 0. Maar als x = 0, dan is 2x = 0, en sin(2*0) = 0. Een volgend punt dat je op sin(x) kent, is waar x = 90° (pi/2 radialen, als je daar beter mee vertrouwd bent), daar is sin(90°) = 1. En je weet dat daar een maximum ligt, dus dat je gestegen bent tot aan dat punt. Maar als we even kijken naar sin(2x) = sin(2*90°) = sin(180°) = 0. Daar merk je dat je weer op 0 zit, dus dat je al voorbij het maximum zit. Daartussen heb je dus al gestegen en gedaald, als je de tussenliggende punten zou uitrekenen. En dan zie je ook dat sin(2x) dubbel zo snel op en neer gaat als sin(x), dus inderdaad 2x smaller geworden is. Je krijgt dus het omgekeerde van wat jij zegt: als je vermenigvuldigt met 2, ga je een smallere grafiek krijgen, want de sinusfunctie (of om het even welke andere functie) krijgt als sneller een bepaalde waarde als invoer.

Dat kan je ook zien op de figuur in bijlage.

Voor je derde opgave, kan het misschien helpen om intuïtief te zien wat er gebeurt met je grafiek.

Als je nu a neemt, probeer je twee verschuivingen uit. Je zal merken dat het niet uitmaakt welke verschuiving je eerst doet. Als je bv. eerst een stap naar links zet en dan eentje vooruit, is dat hetzelfde als eentje vooruit en dan naar links.

b) Hier maakt het wel uit. Laat ons eerst even beginnen met eerst de grafiek te vermenigvuldigen rond de x-as en dan te verschuiven in de y-richting. Na de vermenigvuldiging met a, komen al je punten a keer verder van de x-as te liggen, daarna verschuif je nog eens met b. Dus je komt uit op y1 = a f(x) + b. Langs de andere kant, als je eerst verschuift, komt je grafiek dus eerst b hoger te liggen en met het vermenigvuldigen, rek je de grafiek op, zodat alle punten a keer verder liggen van de x-as, dit geeft dus y2 = a( f(x) + b) = a f(x) + ab. Je ziet dat y1 en y2 niet gelijk zijn, dus het maakt wel degelijk uit welke je eerst doet.

Voor de andere gevallen, kan je het op een gelijkaardige manier bepalen.

Met die laatste kan ik je op het eerste geizhct ook niet helpen, tenzij je de opgave verkeerd hebt opgeschreven. (2x -5)/(x-3) moet het volgens mij zijn dan. De transformaties die je nodig hebt, zijn twee translaties. Om je op weg te helpen, kan je die twee translaties invoeren in je functievoorschrift. Uit a van de vorige opgave, hebben we gemerkt dat het niet uit maakt of we eerst over y of x verschuiven. Je begint van y = 1/x. Die kan je verschuiven over a en b:
y - a = 1/(x-b). Door dat verder uit te werken en gelijk te stellen aan je functie, kan je a en b bepalen en weet je dus ook hoe veel je opgeschrven hebt. In de bijlage ook weer de bijhorende grafieken. Je kan ook grafisch zien hoe veel alles opgeschoven is: daarvoor kijk je best naar waar het punt (0,0) verschoven is. Op deze grafieken zie je dat omdat je daar asymptoten hebt (als je niet weet wat dat is: je ziet op de blauwe grafiek dat die bovenaan en onderaan bijna de y-as gaat raken en omgekeer dat links en rechts de x-as bijna geraakt gaan worden. Als je die twee rechten trekt, kom je uit in het punt (0,0), de oorsprong. Als je hetzelfde zou doen met twee rechten bij de rode grafiek (een evenwijdig met de y-as, de ander met de x-as), kom je uit in het punt (b,a)

[lisette--]

oke bedankt, toch heb ik nog een vraagje.
bij f(x)= (2x-5)/(x-3) snap ik wel dat je 3 naar rechts gaat en 2 omhoog maar waarom is het functievoorschrift dan niet gewoon g(x)= (1/(x-3)) + 2

moet je dan een punt op de grafiek van f pakken bijvoorbeeld (2,1) en dan invullen maar dan krijg je nog

(a / (x-3))+ 2) als je dan (2,1) invult krijg je
(a / (2-3)) + 2) = 1
(a / -1) + 2 = 1
(a / -1) = -1
a = -1*-1 = 1

maar dan krijg je nog 1/(x-3) + 2

[ILUsion]

Beide uitdrukkingen zijn gelijkwaardig: probeer die g(x) van jou maar eens op dezelfde noemer te plaatsen en dan zal je de andere formule uitkomen (dat bewijst dus dat ze hetzelfde betekenen).