[quantummechanica] Eigenstates

[Upior]

Ik ben een literair onderzoek aan het doen voor scheikunde, en wel over kwantummechanica. Ik probeer er met mijn 6 VWO wiskunde B1,2 kennis er toch nog wat te begrijpen. Ik lees veel over "eigenstates" van systemen. Kan iemand mij uitleggen wat hier precies mee bedoeld wordt want op de meeste internet sites die ik zie word het zodanig uitgelegd dat ik er nog steeds niet van snap... En eigenfuncties en eigenwaarden ed, wat zijn dat dan?

Ik hoop dat iemand me kan helpen!

[Fatality]

Hej Upior,
Ik kan je niet helpen.. maar jij misschien mij wel.
Welke bronnen gebruik jij voor je onderzoek naar Kwantummechanica (KM) .
Ik was namelijk van plan de kwantummechanica achter supergeleiding enigszins te doorgronden, mocht me dit lukken.

[mathfreak]

Upior schreef op 09-12-2004 @ 20:29 :
Ik ben een literair onderzoek aan het doen voor scheikunde, en wel over kwantummechanica. Ik probeer er met mijn 6 VWO wiskunde B1,2 kennis er toch nog wat te begrijpen. Ik lees veel over "eigenstates" van systemen. Kan iemand mij uitleggen wat hier precies mee bedoeld wordt want op de meeste internet sites die ik zie word het zodanig uitgelegd dat ik er nog steeds niet van snap... En eigenfuncties en eigenwaarden ed, wat zijn dat dan?

Ik hoop dat iemand me kan helpen!

Kijk maar eens op http://mathworld.wolfram.com/Eigenfunction.html

[TD]

De toepassingen in de quantummechanica ken ik niet maar ik kan wel proberen de basis van eigenwaarden uit te leggen.

Stel je hebt de (vierkante) matrix (bvb A) die de functie (bvb f) voorstelt t.o.v. een basis (bvb E) in een (eindigdimensionale) vectorruimte (bvb V).

Wat je dan wil is deze matrix zo 'simpel' mogelijk maken, m.a.w. je wil zoveel mogelijk nullen. In het ideale geval heb je een diagonaalmatrix (enkel niet-nulle elementen op de hoofddiagonaal)
De strategie om dit te doen is dan in feite die matrix te bepalen t.o.v. een andere basis.
In praktijk zal dit niet altijd mogelijk zijn, men kan dan bvb z'n eisen verzachten door tevreden te zijn met een bovendriehoeksmatrix.

Als je een basis kan vinden waaronder A diagonaal wordt is dit zeer handig om stelsels (bvb AX=B) mee op te lossen. Onder een basis E={e₁,...,e_n} worden de beelden immers erg makkelijk:
f(e_i) = a_iie_i (met a_ii het element op plaats (i,i) in A)
Het beeld van een basisvector wordt dan blijkbaar afgebeeld op een veelvoud van zichzelf. Deze vectoren zijn dan per definitie de eigenvectoren van f.
De constante die het veelvoud bepaalt van elke basisvector is dan de bijbehorende eigenwaarde (gewoonlijk griekse letter lambda, - ik gebruik gemakshalve verder de letter w)

Formele methode om de eigenwaarden te vinden:
Je neemt de determinant van de matrix A en trekt van elk element op de hoofddiagonaal w af. Deze determinant stel je gelijk aan nul en werkt dan uit. Wat je krijgt is een veelterm (gelijkgesteld aan 0) met als onbekende w. Dit is de karakteristieke veelterm van f. Opmerking: deze veelterm is onafhankelijk van de basis waaronder je de matrix A neemt!
De eigenwaarden vind je nu door de wortels te bepalen van deze veelterm.

Vervolgens los je voor elke gevonden eigenwaarde w het lineaire stelsel AX=wX op. De oplossingen hiervan zijn de eigenvectoren.
Enige overblijvende vereiste is dat deze eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn, anders kunnen ze geen basis vormen - en dat is net wat we zoeken.
Als je karakteristieke veelterm volledig te ontbinden is, en je dus evenveel eigenwaarden vindt als de graad van de veelterm, dan zijn de eigenvectoren altijd lineair onafhankelijk op voorwaarde dat de eigenwaarden verschillend zijn.

Nu zijn we er, als dit allemaal gelukt is, dan is de matrix 'diagonalizeerbaar'. De matrix zelf is dan zeer simpel: de eigenwaarden staan (in willekeurige volgorde) in op de hoofddiagonaal.

Je kan nu je matrix A herschrijven:
A = P*D*P^-1 waarbij:
- P de matrix is met de eigenvectoren die bij de eigenwaarden horen (deze is altijd inverteerbaar vermits ze een basis vormt)
- D de diagonaalmatrix (eigenwaarden)

Hopelijk is dit een beetje duidelijk maar het zou natuurlijk ook goed kunnen dat je dit al allemaal wist. Ik heb alleszins m'n algebra toch nog eens opgefrist (in januari examen daarvan )

[GinnyPig]

Alhoewel de tekst hierboven zeker klopt, is het niet zo bruikbaar voor de quantummechanica... Matrices worden daar zeker wel gebruikt, maar pas als je weet waar quantummechanica over gaat weet je wat die matrices voorstellen. Daarom een iets andere aanpak van mij... te beginnen met een korte introductie in de quantummechanica.

In de niet-relativistische quantummechanica (ook wel de Schroedinger-interpretatie genoemd) heb je één heilige formule waar het om draait: de Schroedingervergelijking. Algemeen luidt deze:



Waarschijnlijk zegt deze formule je helemaal niets. Dus een korte toelichting:
-De "|psi[t]>" term heet de golffunctie. De golffunctie is debeschrijving van een systeem (bijvoorbeeld een elektron, of een proton). Het bevat zo goed als alle informatie over dat systeem: energie, plaats, impuls etc; maar meestal beperk je je maar tot de beschrijving van 1 eigenschap (plaats of spin).
-De "H[t]" term heet de Hamiltoniaan. De Hamiltoniaan beschrijft eigenlijk wat de invloed is van de omgeving op het systeem. Bevindt het deeltje zich in een potentiaal. Bijvoorbeeld een elektron, dat om een positief geladen atoomkern zwerft: het elektron "voelt" het veld van de atoomkern. In de Schroedingervergelijking komt dit tot uiting in de Hamiltoniaan.
-In het rechterlid staan 3 dingen:
1. Een imaginair getal. Waarom dit er staat hoef je niet te weten. Het maakt de vergelijking als het ware af (hij moet er dus staan)
2. h is een constante; de constante van plank gedeeld door 2pi (ook wel h-streep genoemd)
3. De "d/dt" term is niets meer dan de afgeleide naar de tijd. In het rechterlid staat dus gewoon de afgeleide van de golffunctie naar de tijd.

OK, nu dat iedere term is uitgelegd, wat betekent dan de formule precies? Kort maar krachtig komt het er op neer dat de tijdsevolutie van de golffunctie wordt bepaald door de Hamiltoniaan van het systeem. Interpreteer het als: "hoe verandert het systeem in de tijd?" wat overeenkomt met het rechterlid. Het antwoord is het linkerlid: het wordt bepaald door de vorm van H[t].

OK, dat was ongeveer de eerste stap: het toelichten van de Schroedingervergelijking. Vragen? Ask away. Meer volgt!

[TD]

Ik wist niet in hoeverre de algemene theorie van diagonalizatie (en eigenwaarden e.d.) toepasbaar is in de quantummechanica maar afgaande op "En eigenfuncties en eigenwaarden ed, wat zijn dat dan?" van de TS zal de inleiding toch geen kwaad hebben gekund.

Leuk dat het zo aangevuld wordt, weet ik daar ook weer iets over

[Upior]

Fatality schreef op 09-12-2004 @ 20:43 :
Hej Upior,
Ik kan je niet helpen.. maar jij misschien mij wel.
Welke bronnen gebruik jij voor je onderzoek naar Kwantummechanica (KM) .
Ik was namelijk van plan de kwantummechanica achter supergeleiding enigszins te doorgronden, mocht me dit lukken.

Hmmm, ik denk niet dat ik je kan helpen met mijn bronnen. Ik bekijk vooral de quantummechanica "an sich", en de filosofische problemen die het met zich mee neemt. De toepassingen nemen geen groot deel in beslag (ik heb er ook nog geen bronnen voor gevonden). Sorry!

[Upior]

TDH en GinnyPig, hardstikke bedankt Hier kan ik in wel wat mee. Maar die golffunctie zag ik overal. Maar hoe ziet die golffunctie er nou eigenlijk uit? En hoort de Schrödinger-vergelijking nou bij de quantummechanica die vandaag de dag aanvaardt wordt of.. (want er waren idd twee verschillende interprentaties ervan) ?

[Upior]

mathfreak schreef op 09-12-2004 @ 21:00 :
Kijk maar eens op http://mathworld.wolfram.com/Eigenfunction.html

Inderdaad had ik die site al bekeken. Helaas is mijn wiskunde kennis niet toereikend om er echt iets begrijpends voor mijzelf te maken

[GinnyPig]

Ok, volgende stap. De Schroedingervergelijking is inmiddels uitgelegd. Die vergelijking bepaalt hoe een golffunctie (psi[t]) van een systeem (H[t]) verandert in de tijd. Je wil natuurlijk wat fysica beschrijven, dus een volgende logische stap is het defineren van H[t].

Wat we nu willen is een zo simpel mogelijk systeem, om de vergelijking zo simpel mogelijk te houden. Daarom een aanname: stel dat de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt. Wat blijkt dan? Deze aanname zorgt ervoor dat je de Schroedingervergelijking kan herschrijven, tot de zogeheten tijdsonafhankelijke Schroedingervergelijking:



Weer een toelichting:
-H is gewoon de originele H, maar wel onder de voorwaarde dat deze niet van de tijd afhangt.
-Psi is over het algemeen niet de 'oude' Psi. Maar toch heeft het heel erg veel met de 'oude' Psi te maken. Het 'verschil' in notatie zit em voorlopig in hoofdletter Psi (= 'oude' Psi) en kleine letter psi. Wat hier precies aan de hand is, kom ik later op terug. Voor nu kan je er gemakshalve vanuit gaan dat ze wel hetzelfde zijn (wat soms ook echt het geval is).
-Zoals je ziet is er een constante E bijgekomen. Alhoewel dit "gewoon" een constante is, de letter E natuurlijk niet voor niets gekozen: het is namelijk ook gelijk aan de energie van van het systeem (of liever gezegd: "de energie die hoort bij psi".

Aha, maar nu komen we ergens! Want wat zegt deze vergelijking? Nou, dat als je de operator H laat werken op psi, dan komt daar precies "E maal psi" uit (Energie maal golffunctie). De operator H wordt daarom ook wel de energie-operator genoemd.

Om nu verder te gaan moet eerst bekeken worden wat H nou eigenlijk is. En wat H is, is eigenlijk een axioma/beginsel van de quantummechanica. Maar uiteraard wel een logisch beginsel. Want wat is eigenlijk de energie van een systeem? In zijn algemeenheid is dat de som van de kinetische energie (= T) plus de potentiele energie (= V), oftewel: E = T + V. De vergelijking verandert in:

(T+V)|psi> = E|psi>

In vergelijking die min of meer terugkomt in de klassieke mechanica (waar ook met Hamiltonianen wordt gewerkt).

Goed, dus T staat voor de kinetische energie, en V voor de potentiaal. Wat is de kinetische energie? Simpel: 1/2 m v². Maar men werkt "liever" met impuls: T = p²/(2m). En wat is de potentiaal? Die hangt weer van het systeem af. Bij een atoomkern is het bijvoorbeeld de Coulomb potentiaal.

Maar nu het belangrijke: wat is p (impuls)? Je zou zeggen: m*v. Maar dan ben je weer terug bij de klassieke mechanica. Nee, het antwoord is: p is een operator. En niet zo maar 1, maar een Hermitische operator. Wat Hermitisch precies is, is nu niet belangrijk. Het gaat er om dat alle operatoren in de quantummechanica die een fysische eigenschap voorstellen altijd Hermitisch zijn. Impuls, energie, plaats, spin: het zijn in de quantummechancia allemaal Hermitische operatoren. Andersom geldt het ook: alle fysische eigenschappen van een systeem, worden beschreven door een Hermitische operator. En wat p nu precies is:



Oftewel, een afgeleide naar de plaats, x, met nog een constante en een imaginaire eenheid (En die i dient er nu juist voor om de operator Hermitisch te maken).

Dus om het af te maken, nogmaals de Schroedingervergelijking:

En de tijdsonafhankelijke Schroedingervergelijking:


Let nogmaals op het verschil tussen hoofdletter en kleine letter psi. Er geldt: Psi is een oplossing van de normale S.V. vergelijking. psi is dat ook maar is ook een oplossing van de tijdsonafhankelijke S.V.

Nog even, en eigenfuncties komen aan bod! En dan behandel ik ook je andere vragen...

[blablalou]

hallo U...n,

hier een uitwerking ...
http://www.sosmath.com/diffeq/system...igenvalue.html
...voor de theoretische benadering van TDH

Het volgende eenvoudige voorbeeld komt je misschien bekend voor...

Neem als operator L heel eenvoudig de tweede afgeleide d^2/dx^2 en laat deze werken op een nog onbekende functie f(x)

Wanneer geldt L f(x) = w f(x) dan is w = 'labda' de/een eigenwaarde (eigenvalue, Eigenwert) voor dit gebeuren.

f(x) = A sin(sqrt(-w)x + B) voldoet... probeer!

Stel dat bovendien geldt f(0) = f(a) = 0 dan
vervalt B en wordt w( n ) = ( n*pi/a )^2 ..... n = 1,2,3...

[Upior]

Ik wou jullie allemaal alvast heel erg bedanken, zo duidelijk heb ik het nog niet gezien op internet. Top

[GinnyPig]

OK, en dan nu... wat zijn eigenfuncties? Het antwoord is vrij simpel. Eigenfuncties zijn oplossingen van de vergelijking:



Dit zijn dus niet zomaar functies. Het idee is dat als je de operator H laat werken op een eigenfunctie, dan krijg je daaruit precies diezelfde eigenfunctie maar vermenigvuldigt met een factor E. Het beste voorbeeld is hierboven al gegeven. Want stel dat je potentiaal (V[x]) 0 is. Je vergelijking verandert dan in het voorbeeld van blabla:

-h²/2m d²|psi>/dx² = E|psi>

Oftewel; vindt een functie die na 2 keer differentieren weer diezelfde functie is. Dat kan dus een sinus of cosinus zijn! En inderdaad, dat zijn dus ook de eigenfuncties van dit probleem.

In dit geval krijg je:
d²|psi>/dx² = -2mE/h²|psi>
Stel dat je ook de randcondities hebt dat |psi(0)> = 0 en |psi(a)> = 0. Deze randcondities kan je interpeteren als een soort put met breedte a, waar een deeltje in zit (de zogeheten oneindig diepe potentiaalput). Het blijkt dan dat de oplossing van dit probleem is:

|psi(x)> = Sin[n*pi/a x] (met n = 1 of 2 of 3, etc)

Maar je weet dat bij 2 keer differentieren van deze functie je dit krijgt:
-(n*pi/a)²Sin[n*pi/a x]
Terwijl dit weer gelijk moet zijn aan de bovengenoemde vergelijking, waardoor dus ook geldt:
-(n*pi/a)² Sin[n*pi/a x] = -2mE/h² Sin[n*pi/a x]
Oplossen naar E (want dat is een ingevoerde constante; de waarde was nog niet bekend)

E_n = n²pi²h²/2ma²

En wat betekent dit resultaat? Nou, dat je dus eigenlijk een set van eigenfuncties hebt, namelijk:
|psi(x)> = Sin[n*pi/a x] (met n = 1 of 2 of 3, etc)
Met bij iedere eigenfunctie een specifieke energiewaarde:
E_n = n²pi²h²/2ma²

En dit is nou zo'n resultaat waarom quantummechanica eigenlijk quantummechanica heet. Blijkbaar zijn namelijk niet alle energiewaardes toegestaan! Er zijn alleen hele specifieke, discrete energiewaardes mogelijk; andere waardes kunnen simpelweg niet voorkomen.

En zo'n eigenfunctie wordt nou een eigentoestand van het systeem genoemd. Het is als het ware een bouwblokje van een systeem, met een hele specifieke energiewaarde. Andere waardes kunnen niet voorkomen. Het bijzondere is nu, dat voor de oorspronkelijke Schroedingervergelijking in principe heel veel oplossingen te vinden zijn (voor een specifiek probleem uiteraard). Maar al die oplossingen zijn uiteindelijk te schrijven als een som van eigenfuncties. Waarom dat zo is zal ik verder niet toelichten, maar het is wel een heel belangrijke eigenschap: iedere oplossing van de Schroedingervergelijking is te schrijven als een som van eigentoestanden. En omdat met die eigentoestanden vaak veel makkelijker is te werken, gaat quantummechanica ook veel vaker over hoe eigentoestanden zich gedragen (bijvoorbeeld als je er een tijdafhankelijkheids-term bij gooit). Als voorbeeld:

Je weet dat Sin[pi*x] en Sin[2*pi*x] eigentoestanden waren voor het de oneindig diepe potentiaalput. Dat betekent dat bijvoorbeeld: 2*Sin[pi*x] + 13*Sin[2*pi*x] ook een oplossing is. Dit wordt ook wel een lineaire combinatie van eigentoestanden genoemd.

En om nog even een bekend fysisch voorbeeld te geven:
In een atoomkern heb je te maken met een zogeheten Coulombpotententiaal. Stel nu dat je op zoek gaat naar de golffunctie van 1 elektron (dus een 'naakte' atoomkern, met 1 elektron eromheen). Als je deze potentiaal invoert, en vervolgens op zoek gaat naar de eigenfuncties dan komt daar uit: precies de elektronenschillen die je waarschijnlijk al kent. Je vindt weer dat het elektron slechts in specifieke banen of orbitalen om de kern heen kan zitten. Je vindt dit keer dat er bij 1 energiewaarde, meerdere eigenfuncties bestaan, wat verklaart waarom er meerdere elektronen in dezelfde energieschil kunnen zitten. Want misschien heb je wel eens van het Pauli-principe gehoord: elektronen mogen nooit in dezelfde toestand zitten (of liever gezegd: dezelfde golffunctie hebben). Hier wordt het probleem van een waterstofatoom systematisch aangepakt (warning: heavy analysis ahead). Dit probleem wordt standaard bij een introductievak over quantummechanica behandeld.

Nog een paar opmerkingen:
-Waarom er over eigentoestanden wordt gesproken: niet bij alle systemen kan je de toestanden in functies uitdrukken (zoals hierboven). Als het over de spin van deeltjes gaat worden de eigentoestanden uitgedrukt in spinoren, wat een soort vectoren zijn. Ook zijn er heel wat problemen waarbij je Hamiltoniaan overgaat in een matrix, en je eigentoestanden worden weergegeven door eigenvectoren. In dat geval komen de eigenwaarden van de matrix overeen met de energiewaarden. Zo zie je de link met het verhaal van TDH.
-De vorm van de golffunctie, en dus van de eigenfuncties, wordt uiteraard bepaald door het probleem/de potentiaal. Maar bij heel wat problemen heb je nog steeds te maken met simpelweg 2 keer de afgeleide van de functies. Je hebt daarom ook ontieglijk veel te maken met sinussen, cosinussen en e-machten die je golffunctie voorstellen. Ja, ook de orbitalen in het waterstofatoom worden weergeven door e-machten.

Nou.. dat was het wel zo'n beetje Alhoewel ik nog heel wat mis over verwachtingswaardes en de interpertatie van de golffunctie zelf moet je hier toch wel een heel eind mee komen.

[TD]

Ik vond het zelf erg interessant om te lezen Ginnypig, ik begin steeds meer te twijfelen of ik fysica als afstudeerrichting zou nemen, na het 2e jaar moet ik immers kiezen

[GinnyPig]

TDH schreef op 12-12-2004 @ 23:57 :
Ik vond het zelf erg interessant om te lezen Ginnypig, ik begin steeds meer te twijfelen of ik fysica als afstudeerrichting zou nemen, na het 2e jaar moet ik immers kiezen

Doen, doen!

Ik bedoel, dit is alleen nog maar een introductie in de quantummechanica... Er zit nog zo veel meer achter

[blablalou]

hallo F...t,

Ik was namelijk van plan de kwantummechanica achter supergeleiding enigszins te doorgronden, mocht me dit lukken.

is dit bruikbaar...
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...statcn.html#c1