[WI] ontbinden in factoren/kwadratische vergelijkingen oplossen,

[LADY-H]

Hallo,

Het pw wis in de pww gaat over kwadratische vergelijkingen oplossen enz.
Ik snap een paar dingen niet,

- Wanneer moet je het rechterlid 0 maken? Ik kom in de war met al die sommen enzo de bij de een moet je weer de productsommethode toepassen en bij de ander moet je ontbinden in factoren. Daardoor raak ik een beetje in de war Kan iemand het misschien een beetje duidelijk uitleggen?

Verder heb ik hier twee sommen waarvan ik niet weet hoe ze aan die uitkomst komen:

'Los op' :

-2x(6x+15)=0
-2x=0 of 6x+15=0
x=0 of 6x=-15
x=0 of x=-15/6


(3x-7)(-2x+8)=0
3x-7=0 of -2x+8=0
3x=7 of -2x=-8
x=7/3 of x=4

& Met name dat dikgedrukte snap ik hélemaaal niks van.

Sorry voor mijn gezeur maar ik hoop dat iemand mij zou kunnen helpen

[ILUsion]

Om een vierkantsvergelijking op te lossen moet het rechterlid steeds 0 nul zijn als je gebruik wilt maken van de abc-formule/discriminant. Een beetje de algemene werkwijze:

Stel je hebt:


Dan is de discriminant:


Dit is oplosbaar op de reële getallen als de discriminant positief is: groter dan of gelijk aan nul. Als hij negatief is, heb je enkel complexe oplossingen, is hij 0 dan heb je 1 oplossing. Maar de oplossingen kan je berekenen als volgt:



Hierbij krijg je dus twee oplossingen (eentje voor de plus, eentje voor de min; of slechts eentje als D = 0, zoals je wel zal merken). Als we nu zeggen dat we x₁ en x₂ vinden uit bovenstaande vergelijking, dan kan de veelterm bovendien ook nog herschreven worden als:


De discriminant is een manier die steeds werkt, maar soms kan je op het zicht (via som-product-formule bv.) zien dat het ook op een andere manier ontbonden kan worden.

Waar je bij de stap van het vetgedrukte op steunt, is dat als je a*b = 0 hebt ( en a en b kunnen om het even wat zijn, dus een term BINNEN haakjes, of gewoon x), dat dan ofwel a = 0 ofwel b = 0. Als een product nul is, dan is een van beide factoren nul (iets maal nul = nul, namelijk). Zo krijg je eigenlijk twee vergelijkingen. Wat je dan vaak uitkomt is: g*x = h, als je hierin beide leden deelt door g, dan krijg je: x = h/g als oplossing

En eigenlijk komen alle manieren uit op ontbinden in factoren, je wilt namelijk kunnen uitbuiten dat a * b = 0, en dat kunnen opsplitsen in 2 eenvoudigere vergelijkingen (en dus ook oplossingen). Discriminant, som-product, het zijn niet meer dan bepaalde trucjes voor het ontbinden van een tweedegraadsveelterm in factoren

[Fingon]

volgens mij heeft TS aan haar leeftijd te zien de ABC-formule niet gekregen en duurt dat ook nog even.
Ik kreeg hem pas een jaar nadat ik aan kwadratische vergelijknigen begon..

-2x(6x+15)=0
-2x=0 of 6x+15=0
x=0 of 6x=-15
x=0 of x=-15/6

-2x=0
x=0
-2 keer x kan alleen 0 worden als je voor x 0 neemt, voor elk ander getal wordt het niet 0

6x=-15
x=-15/6
hierbij delen ze 6x door 6, waardoor het 1x wordt.
Omdat je 6x door zes deelt moet je -15 ook door 6 delen, vandaar -15/6

[mathfreak]

De algemene gedaante van een tweedegraadsvergelijking is a*x²+b*x+c=0. Als een tweedegraadsvergelijking nog niet in deze vorm is gebracht, zoals bijvoorbeeld x²+2*x=3, dan kun je deze vergelijking alsnog in de algemene vorm krijgen door op nul te herleiden. In het voorbeeld x²+2*x=3 geeft dat dan x²+2*x-3=0. Stel dat x=p en x=q de gezochte oplossingen zijn, dan moet gelden: x²+2*x-3=(x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+p*q, dus p+q=-2 en p*q=-3. Stel p=1, dan geldt: q=-3 en p+q=1-3=-2, dus x=1 en x=-3 zijn volgens de product-sommethode de gezochte oplossingen.
We kunnen met de product-sommethode een interessante eigenschap voor de oplossingen van a*x²+b*x+c=0 afleiden. Stel namelijk dat x=p en x=q de gezochte oplossingen zijn, dan moet gelden: a*x²+b*x+c=a(x-p)(x-q)=a*x²-a(p+q)x+a*p*q, dus -a(p+q)=b en a*p*q=c, dus en .
Voor c=0 krijgen we de vergelijking a*x²+b*x=0, die te herschrijven is als , dus a*x=0 of , dus x=0 of .

[Vinniebar]

Fingon schreef:

volgens mij heeft TS aan haar leeftijd te zien de ABC-formule niet gekregen en duurt dat ook nog even.

Vinniebar volgt Mathfreak ook even niet meer...

[ILUsion]

Fingon schreef:

volgens mij heeft TS aan haar leeftijd te zien de ABC-formule niet gekregen en duurt dat ook nog even.
Ik kreeg hem pas een jaar nadat ik aan kwadratische vergelijknigen begon..

-2x(6x+15)=0
-2x=0 of 6x+15=0
x=0 of 6x=-15
x=0 of x=-15/6

-2x=0
x=0
-2 keer x kan alleen 0 worden als je voor x 0 neemt, voor elk ander getal wordt het niet 0

6x=-15
x=-15/6
hierbij delen ze 6x door 6, waardoor het 1x wordt.
Omdat je 6x door zes deelt moet je -15 ook door 6 delen, vandaar -15/6

Ik kijk niet naar leeftijden voor uitleg, want ik weet niet wanneer ze juist wat geven in Nederland, laat staan dat ik het voor België nog vanbuiten weet. Ik geloof dat er in België trouwens de volgorde als volgt is: merkwaardige producten, ontbinden in factoren (dus merkwaardige producten omgekeerd toegepast), dan discriminant en dan pas som-product, dat ik nooit echt losstaand gezien heb, denk ik; maar enkel als een trucje. Andere methodes die ook nog handig kunnen zijn, zijn Horner (gewoon een oplossing gokken, uitproberen en via Horner het quotiënt bepalen) en trucjes voor deelbaarheid door (x+1) en (x-1).

Ik volg mathfreak ook niet helemaal, volgens mij een klein beetje te moeilijk uitgelegd.

Stel je hebt een veelterm:
, dan kan je deze door te delen door a schrijven als
. Hierin is dus: s = b/a en p = c/a. Om deze veelterm dan te ontbinden, probeer je twee getallen 'g' en 'h' te vinden die ervoor zorgen dat g + h = s (som) en g*h = p (product). Je kan de veelterm dan herschrijven als:

. Waarom dit mag, valt simpelweg te bewijzen doo deze laatste vergelijking uit te werken (niet echt hoe de puristen het graag zien: uitgaan van hetgene je moet bewijzen, maar het is makkelijker te volgen zo).

. Stel daarin g+h = s en g*h = p, dan kom je de tweede schrijfwijze van de veelterm uit; wat dus aantoont dat het gelijkwaardig is.

[the unknown 1]

Illusion, de volgorde die je zegt voor België klopt
on topic, nja het staat al paar x goed uitgelegd, snap je het?

[LADY-H]

Bedankt voor jullie hulp

De uitleg van ILUsion en mathfreak hebben we hier in 2havo nog niet gehad dus ik zat wel ff te kijken van ´Huh´ XD. maar toch bedankt misschien handig voor volgend jaar
Fingon bedankt, ik snap het nu =D
Ik moet goed voorbereid zijn op het pw maandag, dus weet iemand misschien een goede site waarop je kunt oefenen ofzo?

Ik maak ook een paar sommetjes in het boek om te oefenen en daarin kwam ik deze tegen

100x²=x

't is misschien een simpel sommetje maar ik snap hem niet (A)

[ILUsion]

100x² = x
100x² - x = 0
x(100x - 1) = 0
x(x - 1/100)*100 = 0
x(x-1/100) = 0
Dus x is 0 of x = 1/100

Altijd, maar dan ook altijd herleiden naar 0. En dan komt het erop neer om gelijke factoren af te zonderen, dus in dit geval simpelweg x, over het algemeen zal het eerder (x - a) zijn of iets dergelijks.

[mathfreak]

Op http://wiskunde.ebrodesign.com/index.php?gr=1&id=26 vind je een nadere uitleg over het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen.

[flyaway]

ILUsion schreef:

100x² = x
100x² - x = 0
x(100x - 1) = 0
x(x - 1/100)*100 = 0
x(x-1/100) = 0
Dus x is 0 of x = 1/100

Altijd, maar dan ook altijd herleiden naar 0. En dan komt het erop neer om gelijke factoren af te zonderen, dus in dit geval simpelweg x, over het algemeen zal het eerder (x - a) zijn of iets dergelijks.

Of je deelt gewoon gelijk beide kanten door x
Krijg je:

100x² = x {beide kanten door x delen}
100x = 1 {beide kanten door 100 delen om aan één kant 1x over te houden}
x = 1/00

Wat je probeert te doen is de som zoveel mogelijk herleiden naar een makkelijker vergelijking, vervolgens x afzonderen zodat je enkel hebt staan: x = antwoord.

[ILUsion]

@flyaway:

dat gaat ook, maar zoals je daarmee zelf al aantoont, verlies je een oplossing: x = 0, want die heb je daarmee weggedeeld. Jouw methode mag, maar je moet dan wel de veronderstelling maken dat x verschillend is van 0; en die mogelijkheid dan ook nagaan en opschrijven. In het echte leven ga je jouw methode dan ook inderdaad gebruiken, omdat je x = 0 vanuit je dikke teen voelt aankomen, de methode die ik geef zal echter steeds werken en voorkomt dergelijke slordigheden (zeker bij het aanleren van vierkantsvergelijkingen is het belangrijk om alle oplossingen te zien, daarna heb je vaak toch het geval dat er eentje geen betekenis heeft (bv. een negatieve concentratie in een chemisch evenwicht)).

[LADY-H]

Allemaal bedankt voor jullie uitleg!
Ik heb er zeker wat aan gehad, vandaag hadden we het pw en 't ging voor mijn gevoel wel voldoende. Nu maar hopen op een goed punt!

[flyaway]

ILUsion schreef:

@flyaway:

dat gaat ook, maar zoals je daarmee zelf al aantoont, verlies je een oplossing: x = 0, want die heb je daarmee weggedeeld. Jouw methode mag, maar je moet dan wel de veronderstelling maken dat x verschillend is van 0; en die mogelijkheid dan ook nagaan en opschrijven. In het echte leven ga je jouw methode dan ook inderdaad gebruiken, omdat je x = 0 vanuit je dikke teen voelt aankomen, de methode die ik geef zal echter steeds werken en voorkomt dergelijke slordigheden (zeker bij het aanleren van vierkantsvergelijkingen is het belangrijk om alle oplossingen te zien, daarna heb je vaak toch het geval dat er eentje geen betekenis heeft (bv. een negatieve concentratie in een chemisch evenwicht)).

A das wel slim

[LADY-H]

Ik stond een 3.8, en mijn punt is een 6.6

[ILUsion]

Mooi

[Joris86]

Hey,

Hoe moet je deze ontbinden?

X^4 + 4

en

X^4+X²+25

Alvast bedankt!

[-Nils-]

Die eerste kun je niet ontbinden, tenzij er x⁴-4 had gestaan.

Die tweede bevat helaas ook niet de juiste getallen om te ontbinden.

[ILUsion]

Over de reële getallen zijn die veeltermen ontbonden in factoren. Een trucje dat je daarvoor kan gebruiken is het volgende: stel Y = X², dan krijg je:
X⁴ + 4 = Y² + 4 en die kan je niet reëel ontbinden (complex wel).

Hetzelfde trucje voor de tweede veelterm, geeft ook daar een negatieve discriminant, zodat er geen reële ontbinding bestaat, wel weer een complexe ontbinding.

Wat je na het ontbinden van je veelterm in Y i.p.v. X dan moet doen, is gewoon weer X² invullen waar Y staat.

Bv.
X⁴ - 4 = Y² - 4 = (Y-2)(Y+2) = (X² - 2)(X²+2) =

Deze laatste heeft dus 2 reële wortels, en die laatste tweedegraadsfactor daarin zal ook voor 2 complexe wortels zorgen (), zoals je dus voor een veelterm van vierde graad mag verwachten: 4 (al dan niet complexe) wortels.

[mathfreak]

Joris86 schreef:

Hey,

Hoe moet je deze ontbinden?

X^4 + 4

en

X^4+X²+25

Alvast bedankt!

Er geldt: x⁴+4=x⁴+4*x²+4-4*x²=(x²+2)²-4*x²
=(x²+2-2*x)(x²+2+2*x)=(x²-2*x+2)(x²+2*x+2).
x⁴+x²+25=x⁴+10*x²+25-9*x²=(x²+5)²-9*x²
=(x²+5-3*x)(x²+5+3*x)=(x²-3*x+5)(x²+3*x+5).

hoe moet je deze ontbinden?
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

de uitkomst moet (x+1).(x²+x-1).(x²-x+1) zijn

[mathfreak]

miekemuis1992 schreef:

hoe moet je deze ontbinden?
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

de uitkomst moet (x+1).(x²+x+1).(x²-x+1) zijn

Invullen van x=-1 in x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 levert de waarde 0 op, dus dat betekent dat x+1 een factor is van x⁵+x⁴+x³+x²+x+1.
Stel x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
=(x+1)(x²+a*x+1)(x²+b*x+1)
=(x+1)(x⁴+(a+b)x³+(a*b+2)x²+(a+b)x+1)
=x⁵+(a+b+1)x⁴+(a+b+a*b+2)x³+(a+b+a*b+2)x²+(a+b+1)x+1, dus a+b+1=0, dus a=-b, dus a+b+a*b+2=2-a²=1, dus a=1 en b=-1 of a=-1 en b=1. Je vindt zo dus (x+1)(x²+x+1)(x²-x+1) als de gezochte ontbinding.

mathfreak schreef:

Invullen van x=-1 in x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 levert de waarde 0 op, dus dat betekent dat x+1 een factor is van x⁵+x⁴+x³+x²+x+1.
Stel x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
=(x+1)(x²+a*x+1)(x²+b*x+1)
=(x+1)(x⁴+(a+b)x³+(a*b+2)x²+(a+b)x+1)
=x⁵+(a+b+1)x⁴+(a+b+a*b+2)x³+(a+b+a*b+2)x²+(a+b+1)x+1, dus a+b+1=0, dus a=-b, dus a+b+a*b+2=2-a²=1, dus a=1 en b=-1 of a=-1 en b=1. Je vindt zo dus (x+1)(x²+x+1)(x²-x+1) als de gezochte ontbinding.

danku!
ik vreesde al dat er niemand zou antwoorden omdat het vakantie is

[mathfreak]

miekemuis1992 schreef:

danku!

Graag gedaan.

miekemuis1992 schreef:

ik vreesde al dat er niemand zou antwoorden omdat het vakantie is

Mijn vakantie zit er al weer een week op, maar tijdens vakanties en in het weekend blijf ik altijd actief hier op het forum.

ok, er is iets wat ik nog niet begrijp:
als je x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 deelt door (x+1) dan krijg je toch x^4 + x^2 + 1 !?
hoe kom je dan bij (x+1) (x²+a*x+1) (x²+b*x+1) ?

en er is nog een oefening die ik niet snap: het gaat over willekeurige driehoeken (cosinusregel, sinusregel )

twee krachten F1=24 N en F2=38N grijpen aan in eenzelfde punt en sluiten een hoek van 47graden24'30" in.
bereken de grootte van de resultante en de hoek die de resultante met de grootste kracht insluit.

om te beginnen; wat is een resultante? als ik dat weet kan ik het misschien wel oplossen maar leg het mischien anders toch nog maar eens uit ...

het antwoord moet zijn: 57N en 18graden'07'37"

[mathfreak]

miekemuis1992 schreef:

ok, er is iets wat ik nog niet begrijp:
als je x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 deelt door (x+1) dan krijg je toch x^4 + x^2 + 1 !?

Even controleren of dit klopt: (x+1)(x⁴+x²+1)=x⁵+x³+x+x⁴+x²+1
=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1. Dit klopt, dus de deling is correct uitgevoerd.

miekemuis1992 schreef:

hoe kom je dan bij (x+1) (x²+a*x+1) (x²+b*x+1) ?

Het idee is dat je x⁴+x²+1 als het product van 2 kwadratische veeltermen schrijft. Je gaf zelf al aan hoe het antwoord er uit moest zien, vandaar dat je x⁴+x²+1 als (x²+a*x+1)(x²+b*x+1) probeert te schrijven om zo a en b te vinden. Je kunt de kwadratische veeltermen ook als volgt vinden: er geldt namelijk: x⁴+x²+1=x⁴+x²+1+x²-x²=x⁴+2*x²+1-x²=(x²+1)²-x²=(x²+1-x)(x²+1+x)
=(x²-x+1)(x²+x+1).

miekemuis1992 schreef:

en er is nog een oefening die ik niet snap: het gaat over willekeurige driehoeken (cosinusregel, sinusregel )

twee krachten F1=24 N en F2=38N grijpen aan in eenzelfde punt en sluiten een hoek van 47graden24'30" in.
bereken de grootte van de resultante en de hoek die de resultante met de grootste kracht insluit.

om te beginnen; wat is een resultante? als ik dat weet kan ik het misschien wel oplossen maar leg het mischien anders toch nog maar eens uit ...

het antwoord moet zijn: 57N en 18graden'07'37"

Dit is weliswaar nogal offtopic, maar vooruit: als je een aantal krachten vectorieel optelt stelt de somvector van deze krachten de resultante voor. Je weet dat de 2 krachten in hetzelfde punt aangrijpen en je weet welke grootte ze hebben en welke hoek ze met elkaar maken. De 2 krachten vormen 2 aanliggende zijden van een (krachten)parallellogram, waarbij de resultante de diagonaal van dit parallellogram met hetzelfde aangrijpingspunt als de 2 krachten voorstelt. Laat F_r de grootte van de resultante zijn, dan geldt volgens de cosinusregel: F_r²=24²+38²+2*24*38*cos(47°24'30"). Laat de gevraagde hoek tussen de grootste kracht en de resultante zijn, dan geldt: .

[ILUsion]

Gelieve dat van die krachten niet verder hier te bespreken maar in http://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1711658