[WI] kansrekening

[xxx_Sean_xxx]

Ik moet voor wiskunde B1 hoofdstuk 13 en 18 van getal en ruimte leren over kansrekeningen. Op zich snap ik die sommetjes wel, maar ik vind het erg lastig om al die dingen uit elkaar te halen. Wanneer gebruik je nou precies combinaties, wanneer de somregel en wanneer het vaasmodel? Dan is er ook nog eens die normale en binominale verdeling. Ik vind het echt heel erg verwarrend. Zou iemand het misschien samenvattend willen uitleggen?

Gr,
Sean

[ILUsion]

Het vaasmodel ken ik niet, dus dat kan ik niet echt uitleggen.

Maar eigenlijk kan je zelf kiezen wanneer je combinaties (of permutaties/andere moeilijke woorden) gebruikt, of gewoon somregels. Soms gaat de ene methode sneller, soms de andere; en vaak hangt het nog van persoon tot persoon af wat je het makkelijkste vindt. Het enige dat je goed moet weten is waarmee je exact bezig bent. De somregel is voor het optellen van onafhankelijke (aantallen) gebeurtenissen, en bij gevolg ook van kansen (vermits een kans slechts een aantal gebeurtenissen gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden is).

Voor combinaties kan ik ook enkel meegeven wat een combinatie is, je moet zelf in je oefeningen zien wanneer je in dat geval zit. Een combinatie (N,K) geeft op hoe veel manieren je K afzonderlijke elementen kan trekken uit die N verschillende elementen, als je geen rekening houdt met de volgorde waarin je ze trekt. Dus stel je hebt een kom met 5 balletjes in verschillende kleuren, en je trekt er 3 balletjes uit, dan kan je berekenen hoe veel mogelijke uitkomsten je hebt (dat is (N=5, K=3), dus 10). Je kan dat natuurlijk ook gewoon manueel uitschrijven, maar afhankelijk van hoe je het aanpakt heb je tot 120 mogelijkheden die je moet afgaan (waarvan er uiteindelijk 10 unieke mogelijkheden gaan overblijven). Een ander voorbeeld: stel je speelt een spelletje poker (een hand bij poker bestaat uit 5 kaarten), en een kaartspel bestaat uit 52 kaarten, dus N=52, K=5 en dan de formules uitrekenen geeft je hoeveel verschillende handen er mogelijk zijn. En daar heb je dan rekening gehouden met het feit dat het niet uitmaakt of je eerst een hartenaas krijgt, of dat je die aas pas als laatste zou krijgen (je uiteindelijke hand is toch hetzelfde); en zo voor alle kaarten.

Voor de kansverdelingen: kort door de bocht kan je de normaalverdeling zien als de meest standaard-verdeling. Als je een normale grootheid gaat meten, is een eerste gok om er een normaalverdeling op te plakken, meestal niet slecht. Ook weeral kort door de bocht, vertelt een normaalverdeling eigenlijk dat als je gaat meten, de meeste waarden rond een bepaald gemiddelde M gaan liggen, en dat het even waarschijnlijk is om een waarde die x lager is dan M te meten als een waarde x hoger dan M. Als je zoiets 'voelt' bij een grootheid, dan is een normaalverdeling dus geen slechte gok (maar dat wilt niet zeggen dat het altijde de beste gok zal zijn!). Een voorbeeld: de lengte van alle volwassenen is normaalverdeeld (je gaat grote en kleine mensen hebben; en je gaat meer mensen vinden die een klein beetje groter/kleiner zijn dan het gemiddelde (en mensen die een klein beetje groter zijn gaan ongeveer even veel vertegenwoordigd zijn als iets kleinere mensen) dan dat je mensen gaat vinden die 2m30 groot zijn of 1m20). Maar eigenlijk de meeste dingen die je meet zijn normaalverdeeld: meting van een stroom/spanning in een schakeling, het gewicht van een brood, hoe vol een cola-fles gevuld is, ...

Een binomiaalverdeling is in feite iets totaal anders dan de normaalverdeling. Dit is ten eerste al een discrete verdeling, wat wilt zeggen dat je slechts een beperkt aantal waarden kan bepalen. Een continue verdeling zal voor elke reële waarde een bepaalde kansdichtheid (lees: een bepaalde kans, maar dat is wiskundig niet helemaal correct) definiëren. Een discrete verdeling doet dat enkel voor bepaalde waarden (meestal gewoon de natuurlijke getallen o.i.d.). De lengte van de mensen is continu (je kan mensen vinden die 1.651318434m groot zijn, die 1.65843437m groot zijn (al bekommeren we ons niet om al die laatste decimalen; maar in principe zou je elke mogelijke waarde kunnen meten tussen bepaalde grenzen (een persoon met lengte 15m zal je normaal niet meten)). Een discreet voorbeeld is een dobbelsteen: de uitkomst van de worp is verdeeld volgens een discrete verdeling (de uniforme discrete verdeling). Je kan namelijk de waarden 1, 2, 3, 4, 5, 6 gooien; een waarde 3.6 is onmogelijk. Met andere discrete verdelingen is het eigenlijk net zo.

Om nu de binomiaalverdeling uit te leggen, moet je eerst nog een andere verdeling kennen, of simpeler gezegd een type experiment; het bernouilli-experiment (en de bijhorende bernouilli-verdeling). Dit is veruit het simpelste experiment dat je kan bedenken: je hebt een kans p op een succes, en bijgevolg een kans 1-p=q op een faling. En wat je met het experiment aan het doen bent, dat kan veel zijn (bv. een dobbelsteen opgooien en je noemt het succes als je een even aantal ogen gooit, of je gooit een dobbelsteen en alles boven 3 is een succes, of een kaart trekken en een harte is een succes, of je loopt rond in een drukke winkelstraat en meet van een willekeurige persoon zijn lengte op en je noemt het succes als die persoon groter is dan 1m70). Zoals je ziet is dit ook een discrete verdeling: je mogelijke uitkomsten zijn 0 (faling) of 1 (succes).

Een binomiaalverdeling is niets meer dan een herhaling van n onafhankelijke bernouilli-experimenten met kans p op succes. Die experimenten kunnen gelijktijdig gebeuren of na elkaar; zolang ze onafhankelijk zijn, maakt dat niet uit. Een voorbeeld is het opwerpen van twee dobbelstenen: de uitslag van de ene steen wordt niet beïnvloed door de andere steen. Je kan onmogelijk zeggen dat als je op de ene steen een 3 gooit, je op de andere steen bv. meer kans hebt om een 4 te gooien of iets dergelijks. Als je dan de uitslagen van die experimenten gaat optellen, bekom je een grootheid die verdeeld is volgens een binomiaalverdeling; en krijg je uit die verdeling hoe veel successen je verwacht als je n keer onafhankelijk probeert. Een ander voorbeeld dan de dobbelstenen: stel je loopt weer rond in die winkelstraat en je weet dat je een kans p (bv. 0.1) hebt om iemand eruit te kiezen die groter is dan 1m80 (dat is te doen: daarmee zeg je enkel dat 10% van de mensen groter is dan 1m80)). Als je 1 persoon uitkiest, weet je dat je 0.1 kans hebt op een succes. Als je nu n personen gaat meten, kan je via de binomiaalverdeling bepalen hoe veel kans je gaan hebben om 1, 2, 3, ..., n mensen te vinden die groter zijn dan 1m80). Zie ook hier weer het discrete karakter: als je maar n trekkingen doet, kan je onmogelijk n+1 successen opmeten, en je kan natuurlijk ook niet een negatief aantal of niet-geheel aantal succes uitkomen). Let echter op: als je de gemiddelde waarde uitrekent (voor de binomiaalverdeling is dat n*p (zie de somregel!), kan het bv. wel zijn dat je een niet-geheel getal uitkomt. Dit is niet in strijd met het discrete karakter. Een voorbeeld: stel je hebt een meetlat die streepjes om de centimeter heeft (je kan dus enkel 0, 1cm, ..., 15cm meten met die lat). Stel dat twee mensen een bepaalde afstand meten die tussen 4 en 5 cm ligt, de ene persoon meet 4cm, de andere 5cm. De verwachtingswaarde (=het gemiddelde) van die meting is 4.5cm, ook al kunnen we dat met die lat niet meten. Hetzelfde gebeurt eigenlijk met andere discrete systemen: je gaat die waarde niet erchtstreeks kunnen waarnemen, maar wel kunnen berekenen.

Die verdelingen zijn in het begin echt moeilijk om mee te werken, dat is bij de meeste mensen zo. Het belangrijkste is dat je een beetje voeling hebt met wat die verschillende verdelingen eigenlijk betekenen; de bijhorende formules moet je pas nadat je begrijpt wat die verdelingen betekenen onthouden of kunnen afleiden. Een goede bron om wat extra informatie te halen is WikiPedia, daar staan ook voorbeelden (vaak ook een beetje uitgewerkt). Het is belangrijker de concepten te begrijpen dan je eerst suf te staren op de achterliggende wiskunde. Vaak staan er ook grafiekjes bij, of links naar andere verdelingen of zelfs wiskundige verbanden/benaderingen door andere verdelingen (wat je bv. misschien gezien hebt, is dat als je in een binomiaalverdeling n heel erg groot neemt, je eigenlijk een verdeling uitkomt die heel erg sterk op een normaalverdeling lijkt en je dus zou kunnen gaan rekenen met die normaalverdeling in plaats van die binomiaalverdeling). Hier zijn wel enkele opmerkingen bij te maken: wat je daarmee doet is van de discrete binomiaalverdeling een continue normaalverdeling maken (dat mag, vermits n groot genomen wordt; vermits je in die discrete verdeling n uitkomsten kan hebben (bv. 1000), zodat dat bij benadering continu kan verondersteld worden); en je ziet ook dat bij een grote n de binomiaalverdeling symmetrischer gaat worden (net zoals de normaalverdeling dus) rond haar gemiddelde/verwachtingswaarde). Wat je daaruit ook ziet, is dat onze eerste gok voor een normaalverdeling best goed kan uitkomen, ook al was de oorspronkelijke verdeling een binomiaalverdeling. En bij uitbreiding: stel je hebt een dobbelspel (bv. Yathzee) met scores, die dobbelstenen gaan zich gedragen volgens een discrete verdeling (je kan geen 1.5 gooien), door verschillende worpen samen te bekijken, krijg je een binomiaalverdeling en je totaalscores gaan meestal normaalverdeeld lijken (ook al kan je misschien geen 100,5 scoren; je zal wel merken dat als je veel speelt, en je je scores uitzet op een histogram, dat je ongeveer een normaalverdeling uitkomt). Dat overgaan van een willekeurige verdeling voor n groot naar de normaalverdeling wordt de CLS (centrale limietstelling) genoemd.

[xxx_Sean_xxx]

Dank je wel voor de uitleg. Het is wel een stuk simpeler geworden en eigenlijk is het dus gewoon een kwestie van kiezen wat er het handigst is. Is het kort samengevat zo dat je in plaats van combinaties en de somregels ook gewoon binomcdf / binompdf kunt doen?
En waar ik nogal wel een beetje moeite mee heb is als ze zeggen van: Blabla graait wat uit een vaas 5 rode knikkers en 6 blauwe. Berekenen bijvoorbeeld de kans dat hij de derde keer voor het eerst een blauwe knikker pakt. Dit is dan toch een afhankelijke gebeurtenis? Want als je een knikker eruit pakt verandert de samenstelling van de vaas. Moet je dan het volgende doen?
binompdf (11, 5/11, 1) x binompdf (10, 4/10, 1) x binompdf (9, 6/9, 1) =

[ILUsion]

xxx_Sean_xxx schreef:

Dank je wel voor de uitleg. Het is wel een stuk simpeler geworden en eigenlijk is het dus gewoon een kwestie van kiezen wat er het handigst is. Is het kort samengevat zo dat je in plaats van combinaties en de somregels ook gewoon binomcdf / binompdf kunt doen?
En waar ik nogal wel een beetje moeite mee heb is als ze zeggen van: Blabla graait wat uit een vaas 5 rode knikkers en 6 blauwe. Berekenen bijvoorbeeld de kans dat hij de derde keer voor het eerst een blauwe knikker pakt. Dit is dan toch een afhankelijke gebeurtenis? Want als je een knikker eruit pakt verandert de samenstelling van de vaas. Moet je dan het volgende doen?
binompdf (11, 5/11, 1) x binompdf (10, 4/10, 1) x binompdf (9, 6/9, 1) =

Dat zijn inderdaad afhankelijke gebeurtenissen, tenzij je een oneindig grote vaas zou hebben (dan maakt het niet uit of je er nu 1 rode uittrekt voor de samenstelling). Als je een vaas met heel veel knikkers hebt, kan je natuurlijk wel de binomiaalverdeling als benadering gaan nemen. De echte verdeling is de hypergeometrische verdeling (maar die zal je normaal niet gezien hebben). Dat kan je in feite zien als een uitbreiding op de discrete binomiaalverdeling, waarbij de kans p afhankelijk is van je voorgaande trekkingen. Een binomiaalverdeling kan je zien als n trekkingen uit vaas waarvan de samenstelling niet verandert; de hypergeometrische is eentje waar je vaas N knikkers bevat, waarvan er P bv. rood zijn en je er n uittrekt (en je wilt weten hoe veel rode knikkers je zou getrokken moeten hebben).

Jouw opgave kan je eigenlijk op twee manieren bekijken, een manier met jouw oplossing (dus gewoon een trekking, en berekenen wat de kans is dat je de eerste 2 rood trekt en dan paars). Maar volgens mij pak je het beter anders aan, door je opgave anders te interpreteren. Je hebt gegeven dat hij 11 knikkers trekt, waarvan er 5 rood zijn en 6 blauw. Alle andere trekkingen uit de vaas tellen dus niet meer mee (je ziet hopelijk de link ook een beetje met voorwaardelijke kansen, als je dat zou gezien hebben). Maar omdat je toch al weet dat hij die knikkers voor zich heeft liggen, wilt dat zeggen dat je dit kan bekijken als een probleem waar je de knikkers op volgorde moet gaan leggen.

Je kan dan ook redeneren dat de eerste knikker rood moet zijn, dus 5/11 kans daarop, de volgende knikker weer rood, dus 4/10 en de volgende knikker blauw, dus 6/9 kans. Het product daarvan geeft de kans dat de eerste blauwe knikker. Voor een oneindige vaas (=onafhankelijke kansen), zou je voor dit probleem de (shifted) geometrische verdeling (let op: niet de hypergeometrische!) kunnen gebruiken, voor jouw geval; ken ik de verdeling niet die daarmee overeenkomt.

Oh, laat je trouwens niet afschrikken door al die namen van verdelingen: die moet je meestal toch niet kennen (als je ze al zou zien in de les). Maar ze zijn wel handig omdat je op die manier zelf ook op WikiPedia kan kijken naar de bijhorende grafiekjes en eventueel meer uitleg zoeken mocht dat nodig zijn

Ik let meestal op voor dingen als XXXpdf en XXXcdf, omdat je iets meer achtergrond nodig hebt om daar echt mee te kunnen jongleren (het valt wel uit te leggen zonder, maar persoonlijk vind ik het makkelijker om dat via integralen uit te leggen; maar dat is een onderwerp dat niet op 1-2-3 te behandelen is als je dat nog niet gezien zou hebben). Op WikiPedia staan ook de formules voor die pdf (zij noemen het een pmf op de Engelstalige site) en cdf van heel wat verdelingen. Daarmee kan je nakijken of je hetzelfde zou uitkomen. Maar in ieder geval is er bij de binomPDF wel een sterk verband met je combinaties