coördinatentransformaties

[saxy girl]

Hey, kan iemand me helpen met deze 2 oefeningen.

Bij een affiene coördinatentransformatie neemt men O' (2,1,1),
(vector)e1 (8,3,1) en (vector) e2 (0,1,1)

a) stel de matrix van de coördinatentransformatie op
b) bepaal een stel coördinaten t.o.v. O' (X', Y') als gegeven zijn t.o.v. O (X, Y) : (1,1,0) ; (-2,3,1)
c) bepaal een stel coördinaten t.o.v. O(X,Y) als gegeven zijn t.o.v. O' (X',Y') : (6,2,1) ; (-1,-4,0)



De tweede oefening:

We beschouwen de kromme K met vergelijking 2x² - 5xy +2y² = 0.
Zoek de vergelijking van K t.o.v. de basis (e'1; e'2) als

e'1 = e1 + 2* e2
e'2 = e1 + 0.5* e2


(opmerking: e1, e2, e'1, e'2 zijn vectoren)

[pol]

De transformatie matrix T wordt :

[8 0 -2]
[3 1 -1]
[0 0 1]

Dus :

[x'] [8 0 -2] [x]
[y'] = [3 1 -1] * [y]
[z'] [0 0 1] [z]

Invullen geeft :

(1,1,0) -> (8,4,0)
(-2,3,1) -> (-18,-4,1)

Voor c bereken je gewoon de inverse transformatiematrix, en bereken je (x',y',z')

[mathfreak]

Aangezien pol al de oplossingsmethode voor de eerste oefening heeft gegeven zal ik die voor de tweede geven. Laat (x,y) een punt in het oorspronkelijke coördinatenstelsel OXY zijn en
e'₁=e₁+2*e₂=(1,0)+(0,2)=(1,2) en e'₂=e₁+0.5*e₂=(1,0)+(0,1/2)=(1,1/2) de bij het coördinatenstelsel O'X'Y' behorende eenheidsvectoren zijn, dan geldt: x'=x+2*y en y'=x+1/2*y vormen het beeldpunt van (x,y) bij deze transformatie. Er geldt: x'-y'=1 1/2*y, dus y=2/3(x'-y') en
x=x'-2*y=x'-1 1/3*x'+1 1/3*y'=-1/3*x'+1 1/3*y'. Invullen van deze waarden voor x en y in K levert de vergelijking van de beeldkromme K' in x' en y'.