[wi] hoe kan ik extremen berekenen? pleaseee

[halilo]

hey hai, ik kan die maxima en minima bij funsties niet berekenen. stel je krijgt functies en je moet de max en min berekenen. hoe doe ik dat. moet ik eerst afgeleide berekenen en dan =0 doen of zo. kan iemand me uitleggen met een voorbeeld. dankuwel

ik mag nie plotten en dan kijken oo daar is de hoogste punt en daar de laagste, ik moet berekenen,

alvast bedankt,

groetjes, halil

Inderdaad de afgeleide aan nul gelijkstellen. Dan heb je de x-coördinaat en die vul je in in de standaardformule.

Bij paraboolfuncties kan je volgens mij ook gebruik maken van X_top= -b / 2a

[halilo]

jah maar ik kom nie uit met die afgeleide aan nul

[TD]

Neem bvb de functie:
y = x² - 2x + 4

Afleiden:
y' = 2x - 2

Gelijkstellen aan 0:
y' = 2x - 2 = 0 <=> x = 1

Y-coördinaat vinden door terug in het functievoorschrift in te vullen:
y = x² - 2x + 4 => (1 invullen) y = 1² - 2*1 + 4 = 3

Mogelijk extremum op (1,3), dmv tekenonderzoek of 2e afgeleide zie je dat het een minimum is.

[halilo]

TDH, kijk je hebt een hele makkelijke genomen: y' = 2x - 2 = 0 je kan zo zien dat je 2-2 moet krijgen, maar in de boek staan wel heel erg moeilijke finctines. neem dit bijv:

f(x)= 6x² + 6x3 die 3 moet boven x

[Young Grow Old]

halilo schreef op 27-01-2005 @ 16:21 :
TDH, kijk je hebt een hele makkelijke genomen: y' = 2x - 2 = 0 je kan zo zien dat je 2-2 moet krijgen, maar in de boek staan wel heel erg moeilijke finctines. neem dit bijv:

f(x)= 6x² + 6x3 die 3 moet boven x

f(x)=6x²+6x³
Dan: f'(x)=2*6x^2-1+3*6x^3-1=
12x+18x²=0
Nu heb je gewoon een tweedegraads vergelijking, waar je heel vaak nulpunten van moet zoeken (ontbinden in factoren, abc-formule).
In dit geval is de functie makkelijk te ontbinden:
6x(2+3x)=0
dus 6x=0 of 2+3x=0
x=0 of 3x=-2
x=0 of x=-2/3
Je extremen liggen dus bij x=0 en bij x=-2/3
De waarden die hierbij horen, vind je door 0 en -2/3 in te vullen in f(x).

[TD]

halilo schreef op 27-01-2005 @ 16:21 :
TDH, kijk je hebt een hele makkelijke genomen: y' = 2x - 2 = 0 je kan zo zien dat je 2-2 moet krijgen, maar in de boek staan wel heel erg moeilijke finctines. neem dit bijv:

f(x)= 6x² + 6x3 die 3 moet boven x

Dat kan ik niet weten natuurlijk
Dacht het te illustreren met een eenvoudig voorbeeld

Het principe blijft trouwens hetzelfde hoor, alleen zal je vgl er wat ingewikkelder uit kunnen zien.

[halilo]

ik begrijp niks van

6x(2+3x)=0
dus 6x=0 of 2+3x=0
x=0 of 3x=-2
x=0 of x=-2/3

[TD]

We vertrokken hiervan:
12x+18x²=0

Je kan 6x buiten haakjes brengen (ontbinden in factoren):

12x+18x²=0 <=> 6x(2+3x) = 0

Nu heb je een product gelijk aan 0, dit kan enkel als (minstens) één van de twee factoren 0 is, je kan dit dus opsplitsen.
6x(2+3x) = 0 <=> 6x = 0 of 2+3x = 0

Nu heb je 2 kleine vergelijkingen die je elk afzonderlijk oplost:

6x = 0 <=> x = 0

2+3x = 0 <=> 3x = -2 <=> x = -2/3

Dan voor beide gevonden x-waarden de bijbehorende y-waarden weer zoeken door in te vullen in het oorspronkelijke functievoorschrift.

[sdekivit]

als de afgeleide nul is wil dat nog niet zeggen of er sprake is van een extreme waarde !!!

--> maak eerst je hellingsschema, en kijk of het teken verandert. Gebeurt dit niet, dan is er geen sprake van een extreme waarde.

[TD]

Vandaar dat ik zei "Mogelijk extremum".

Je vindt sowieso een stationair punt, maar het is inderdaad geen voldoende (doch wel nodige) voorwaarde om een extremum te zijn.

[koekiemonstertje]

Beste Halilo.

Kan het wezen dat jij een andere hoofdstuk van wiskunde gemist hebt, of niet goed hebt afgerond dat je dit nu niet snapt?

Weet je wel wat de afgeleide is?

Tip: plot wel de afgeleide zodat je kunt controleren of je uitkomst klopt.

halilo schreef op 27-01-2005 @ 17:19 :
ik begrijp niks van

6x(2+3x)=0
dus 6x=0 of 2+3x=0
x=0 of 3x=-2
x=0 of x=-2/3

Ga na dat:

219381293819283912 * 0 = 0
0 * 928129382983121231 = 0
123123 * 0 * 2301293012 = 0

ofwel

iets * 0 * nogveelmeermeuk => 0

Als je dus een produkt hebt, waarvan het resultaat 0 moet zijn kun je stellen dat een van de factoren 0 is. Even terug naar je voorbeeld dus:

6x(2+3x) = 0

Eigenlijk staat er dan:

a * b = 0

waarbij a = 6x en b = 2+3x

Uitgaande van wat we hierboven hebben besproken, kunnen we stellen dat:

0 * b = 0
of
a * 0 = 0

Ofwel: a = 0 OF b = 0 (dit betekent dat ook zowel a als b beiden kunnen 0 kunnen zijn, immers geldt dan 0*0 = 0). Als we deze uitspraak gaan toepassen bij ons voorbeeld opgave kunnen we dus zeggen dat 6x = 0 (=a) of 2+3x=0 (=b) moet gelden. Je moet dus nu beide vergelijkingen 6x=0 en 2+3x=0 respectievelijk a en b oplossen om uitspraken te kunnen doen over wanneer het produkt van a en b respectievelijk 6x(2+3x) gelijk aan 0 is.

HTH

sdekivit schreef op 27-01-2005 @ 19:36 :
als de afgeleide nul is wil dat nog niet zeggen of er sprake is van een extreme waarde !!!

Even nadere toelichting:
Als de 1e orde afgeleide van een functie f(x) bij gegeven x resulteert in 0 betekent dat het een van de volgende situaties:
- Er is sprake van een extreme waarde.
- Er is sprake van een buigpunt (<= extreme waarde).

Om een van de 2 uit te sluiten heb je de 2e orde afgeleide nodig die uitsluitsel geeft van 1 van de 2 situaties hierboven. Je kan dus zeggen of er sprake is van een extreme waarde of een buigpunt bij gegeven punt P(x,f(x)).

Bij een buigpunt geeft de 2e orde afgeleide bij gegeven x het resultaat 0. Als je kijkt naar wat een buigpunt van een grafiek nou eigenlijk is is dit ook aannemelijk. Een buigpunt is het punt van de grafiek waarin de grafiek overgaat van:

toenemend stijgend <-> afnemend stijgend
toenemend dalend <-> afnemend stijgend
(dalend <->stijgend, als dit het geval is kun je spreken van een extreme waarde)

Als de 2e orde afgeleide 0 geeft bij gegeven x, betekent dat dus dat de eerste orde afgeleide daar een extreme waarde heeft, ofwel de oorspronkelijke functie f(x) daar dus een buigpunt heeft die geen extreme waarde is. Indien de tweede orde afgeleide een antwoord geeft dat niet 0 is, kun je stellen dat je te maken hebt met een extreme waarde; de eerste orde afgeleide snijdt hierbij de x-as dus.

Bij een extreme waarde moet je weer onderscheid maken tussen:

-(Lokaal/Absoluut) Maximum (eerst stijgend, daarna dalend)
-(Lokaal/Absoluut) Minimum (eerst dalend, daarna stijgend)

Ik denk dat als je nog op middelbare school zit dat je dit met grafieken mag oplossen. Je plot de 1e orde afgeleide en bekijkt het verloop ervan rondom punt P. Als de grafiek van de 1e orde afgeleide van positief naar negatief door punt P gaat, kun je stellen dat je te maken hebt met een (lokaal/absoluut)maximum (de oorspronkelijke grafiek stijgt dus eerst, en daalt daarna, dus een top). Als de grafiek van de 1e orde afgeleide van negatief naar positief door punt P gaat, kun je stellen dat je te maken hebt met een (lokaal/absoluut) minimum (de oorspronkelijke grafiek daalt eerst en stijgt daarna, dus een dal).

HTH