[Wi] Actieve formule

[Vogelvrij]

Stel, ik het deze getallenrij:

12, 17, 22, 27, 32...

Hoe maak ik daar een directe formule bij?

[TD]

Ik ben niet zeker wat een 'actieve formule' is, maar als je directe of expliciete bedoelt lijkt me t(n) = 5n+7 wel te kloppen voor n vanaf 1.

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 14:58 :
Ik ben niet zeker wat een 'actieve formule' is, maar als je directe of expliciete bedoelt lijkt me t = 5n+7 wel te kloppen voor n vanaf 1.

Direct, dat bedoelde ik ook

Maar hoe weet je dat? Want dat is inderdaad het antwoord, maar ik snap niet hoe je aan die zeven komt.

[TD]

Het is een rekenkundige rij, de elementen stijgen telkens met 5. Er zal dus sowieso al een lineair verband zijn met 5, in functie van het rangnummer n.

Je stelt voor: t(n) = 5n en ziet wat er nog aan schort, dat is een constant verschil van 7 :-)

[SCS]

Volgens mij is dat het startgetal.

[Keith]

Maar hij vraagt wel hoe, niet zomaar om het antwoord!

Wat ik meestal doe is de verschilrij opschrijven dus:

u(n) = 12, 17, 22, 27, 32, ...
v(n) = 5, 5, 5, 5, ... = 5

nu kan je zeggen dat u(n) de somrij is van v(n), met de formules die je daarvoor vast kent, maar ik inmiddels ben vergeten:

u(n) = 5*n + 12 voor n=0,1,2,3,...

Als u(n) nou ingewikkelder is, dan dan je nog een keer de verschilrij nemen van v(n) (w(n)) en dan zeggen dat v(n) de somrij is van w(n) en u(n) daar weer de somrij van.

[edit] stomme smilies

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:12 :
Het is een rekenkundige rij, de elementen stijgen telkens met 5. Er zal dus sowieso al een lineair verband zijn met 5, in functie van het rangnummer n.

Je stelt voor: t = 5n en ziet wat er nog aan schort, dat is een constant verschil van 7 :-)

Ik snap het niet

En hoezo eigenlijk 5n. Het is toch steeds plus vijf, niet keer?

[TD]

SCS schreef op 03-05-2005 @ 15:13 :
Volgens mij is dat het startgetal.

Dat zou kloppen als je bij n = 0 begint, de formule wordt dan echter 5n+12. Over het algemeen start men (dacht ik toch) logischerwijs bij 1, wanneer het rangnummers betreft.

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:13 :
Maar hij vraagt wel hoe, niet zomaar om het antwoord!

Wat ik meestal doe is de verschilrij opschrijven dus:

u = 12, 17, 22, 27, 32, ...
v = 5, 5, 5, 5, ... = 5

nu kan je zeggen dat u de somrij is van v, met de formules die je daarvoor vast kent, maar ik inmiddels ben vergeten:

u = 5*n + 7 voor n=0,1,2,3,...

Als u nou ingewikkelder is, dan dan je nog een keer de verschilrij nemen van v (w) en dan zeggen dat v de somrij is van w en u daar weer de somrij van.

[edit] stomme smilies

Haha, gaaf die

Ik snap het niet. Wel dat je vijf moet hebben, maar de rest niet.

[SCS]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:14 :
Dat zou kloppen als je bij n = 0 begint, de formule wordt dan echter 5n+12. Over het algemeen start men (dacht ik toch) logischerwijs bij 1, wanneer het rangnummers betreft.

Ja, klopt. Maar omdat de formule voor de rij een liniaire functie is leek me dat 7 het startgetal is ( t(0) = 7).

[Vogelvrij]

SCS schreef op 03-05-2005 @ 15:17 :
Ja, klopt. Maar omdat de formule voor de rij een liniaire functie is leek me dat 7 het startgetal is ( t(0) = 7).

Waarom zeven?

[Keith]

Het ligt er maar aan hoe de vraag is gesteld, jij hebt bij 12,17,22,.. neit gezegd of de erste term is voor n=0 of voor n=1, veel wiskundeboeken op de middelbare zijn daar nogal laks in, ik vind zelf het rekenen vanaf n=0 het makkelijkste.

[TD]

Trek van elke t(n) eens 5n af en je krijgt allemaal 7's.

Of, zoals ik eerder postte, het verschil dat je nog hebt tussen alle elementen van de rij wanneer je al tot het verband t(n) = 5n bent gekomen is overal 7.

[SCS]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:18 :
Waarom zeven?

Als t(1) = 12 en de regelmaat is 5 dan geldt:
t(0) = 12 - 5 = 7

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:20 :
Het ligt er maar aan hoe de vraag is gesteld, jij hebt bij 12,17,22,.. neit gezegd of de erste term is voor n=0 of voor n=1, veel wiskundeboeken op de middelbare zijn daar nogal laks in, ik vind zelf het rekenen vanaf n=0 het makkelijkste.

Ow... Ik begin ook met nul, maar het boek met 1.

Dus als ik 5n+12 zou doen zou het ook kloppen?

[TD]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:20 :
Het ligt er maar aan hoe de vraag is gesteld, jij hebt bij 12,17,22,.. neit gezegd of de erste term is voor n=0 of voor n=1, veel wiskundeboeken op de middelbare zijn daar nogal laks in, ik vind zelf het rekenen vanaf n=0 het makkelijkste.

In het algemeen zal met beginnen vanaf n = 1, net zoals bij reeksen. Onder meer omdat dit natuurlijker is als tellend rangnummer en anderzijds omdat je bij sommige voorschriften wel eens in de knoei geraakt met delen door 0, wanneer het rangnummer in de noemer voorkomt zoals bij de harmonische rij t(n)=1/n.

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:22 :
Ow... Ik begin ook met nul, maar het boek met 1.

Dus als ik 5n+12 zou doen zou het ook kloppen?

Als je daarbij zelf weet dat je voor n = 0 verwacht en als dat toegelaten is (docent kan de manier van het boek verkiezen), is dat prima zo

[Vogelvrij]

Oké, nieuwe reeks want die andere snap ik nu zo ongeveer...

1, -1/4, 1/9, -1/16, 1/25

1 is het startgetal, dus het is iets met +1?

Maar van de rest?

[Keith]

Had ik niet aan gedacht dat, maar in principe moet je het wel altijd definieren, het is dus ook wel handig dit te doen als je ee nvraag stelt, want dan komen alle antwoorden tenminste overeen.

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:26 :
Had ik niet aan gedacht dat, maar in principe moet je het wel altijd definieren, het is dus ook wel handig dit te doen als je ee nvraag stelt, want dan komen alle antwoorden tenminste overeen.

Ja, maar ik wist toch niet dat het boek waar ik nu uit werk anders is dan het boek waar ik normaal uit werk.

Met andere woorden: ik had het ook niet door.

[TD]

De kwadraten in de noemers zouden je toch moeten opvallen?

Je kan dan denken aan t(n) = 1/n² maar dan krijg je:
1, 1/4, 1/9, 1/16, ...

Bij de even elementen ontbreekt een min-teken, dit doet men gewoonlijk door een factor (-1)ⁿ⁺¹ toe te voegen, of enkel een macht n wanneer het min-teken bij de oneven elementen hoort.

Dus: t(n) = (-1)ⁿ⁺¹/n²

(n begint hier bij 1, voor alle duidelijkheid...)

[Keith]

Noemer en teller apart doen, de teller is gewoon altijd 1, de noemer is 1,-4,9,-16,... dat is (-1)^(n-1) * n^2

dus: u(n) = (-1)^(n-1)/n^2

1/1, -1/4, 1/9, -1/16, 1/25

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:28 :
De kwadraten in de noemers zouden je toch moeten opvallen?

Je kan dan denken aan t = 1/n² maar dan krijg je:
1, 1/4, 1/9, 1/16, ...

Bij de even elementen ontbreekt een min-teken, dit doet men gewoonlijk door een factor (-1)ⁿ⁺¹ toe te voegen, of enkel een macht n wanneer het min-teken bij de oneven elementen hoort.

Dus: t = (-1)ⁿ⁺¹/n²

(n begint hier bij 1, voor alle duidelijkheid...)

Ik snap dat met die min niet

En als het bij de nul begint?

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:29 :
Noemer en teller apart doen, de teller is gewoon altijd 1, de noemer is 1,-4,9,-16,... dat is (-1)^(n-1) * n^2

dus: u = (-1)^(n-1)/n^2

1/1, -1/4, 1/9, -1/16, 1/25

Hé, jij zegt iets anders dan TD, nu maken jullie me nog meer in de war

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:29 :
Ik snap dat met die min niet

En als het bij de nul begint?

Als het bij 0 begint schuift je n gewoon één plaatsje op, dus alle n's in de formule worden dan n+1 (voor die macht van -1 volstaat dan een n)

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:30 :
Hé, jij zegt iets anders dan TD, nu maken jullie me nog meer in de war

We zeggen in feite hetzelfde, de macht n-1 of n+1 maakt niet uit, alleen zou ik n+1 verkiezen wanneer je n vanaf 0 laat lopen bvb. Voor n = 1 krijg je in zijn geval ^0, in principe niets fout mee maar ik vermijd het liever.

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:30 :
Als het bij 0 begint schuift je n gewoon één plaatsje op, dus alle n's in de formule worden dan n+1 (voor die macht van -1 volstaat dan een n)

Dat snap ik al helemaal niet.

En hoe kan je zien of iets exponentieel is? Gewoon als het niet lineair is?

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:31 :
We zeggen in feite hetzelfde, de macht n-1 of n+1 maakt niet uit, alleen zou ik n+1 verkiezen wanneer je n vanaf 0 laat lopen bvb.

Ow... Maar dan is je formule toch helemaal anders?

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:32 :
Ow... Maar dan is je formule toch helemaal anders?

Nee, want die macht bepaalt bepaalt enkel het teken.

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:32 :
Dat snap ik al helemaal niet.

En hoe kan je zien of iets exponentieel is? Gewoon als het niet lineair is?

Bij eenvoudige gevallen zie je het op het zicht.
In het eerste geval zag je dat de toename constant was, dus rekenkundige rij, dus lineair.
In het tweede geval vielen die kwadraten in de noemers toch echt op...

[Keith]

Het minteken is omdat dit een alternerende rij is, waarbij een willekeurige term gedeeld door de term ervoor een negatief resultaat geeft.

De manier waarop je zo'n alternernerende rij opschijft in ee ndirecte formule is met (-1)^n (als de term n=1 negatief is) of (-1)^(n+1) (als de term n=1 negatief is).

Als de eerste term 0 is kan je gewoon de rij laten beginnen bij n=0, of je kan in de formule n vervanden door (n-1)

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:33 :
Nee, want die macht bepaalt bepaalt enkel het teken.

Teken?

Nou ja, dat maakt dus niet uit

2, 4, 8, 16, 32...

Dat is dan: un= 2*n^2

Of niet?

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:34 :
Het minteken is omdat dit een alternerende rij is, waarbij een willekeurige term gedeeld door de term ervoor een negatief resultaat geeft.

De manier waarop je zo'n alternernerende rij opschijft in ee ndirecte formule is met (-1)^n (als de term n=1 negatief is) of (-1)^(n+1) (als de term n=1 negatief is).

Als de eerste term 0 is kan je gewoon de rij laten beginnen bij n=0, of je kan in de formule n vervanden door (n-1)

Maar wordt dat niet alles min, alleen maar de helft?
Oké...

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:35 :
Teken?

Nou ja, dat maakt dus niet uit

2, 4, 8, 16, 32...

Dat is dan: un= 2*n^2

Of niet?

Nee, dat wordt 2^n, vanaf n = 1.

2, 4, 8, 16, 32 ... = 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ..., 2^n.

Controleer je eigen voorschrift voor een drietal waarden en je zult zien dat er wat schort...

[Keith]

Teken is plus of min.

Bij een expnentiele rij heb je dat u(n)/u(n-1) = constant.

De formule voor zo'n rij is vrij eenvoudis:

u(n) = u(0) * gⁿ met n = 0,1,2,...

waarbij g = u(n)/u(n-1)

[Keith]

Voor het voorbeeld:

2, 4, 8, 16, 32...

zie je:

g=32/16=16/8=8/4=4/2=2

dus:

u(n)=2*2ⁿ met n=0,1,2,....

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:38 :
Nee, dat wordt 2^n, vanaf n = 1.

2, 4, 8, 16, 32 ... = 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ..., 2^n.

Ow

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:39 :
Voor het voorbeeld:

2, 4, 8, 16, 32...

zie je:

g=32/16=16/8=8/4=4/2=2

dus:

u=2*2ⁿ met n=0,1,2,....

Ja! Ik dacht al dat het dat was

[Vogelvrij]

Nog de laatste, nu we toch ze gezellig bezig zijn:

2, 5, 10, 17, 26

Ik doe met nul, hè

un= 2*iets tot de n

[Keith]

dit is geen exponentiele fucntie, want:

2, 5, 10, 17, 26

26/17 != 17/10

Dus we gaa nweer leuk een verscilrij maken:

u = 2, 5, 10, 17, 26, ...
v = 3, 5, 7, 9, ...
allebei met n = 0,1,2,...

Nou kan je wel zien dat v = 3+2n
met de formules voor somrijen die ik al weer ben vergetn kan je nu u opstellen.

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:47 :
Nog de laatste, nu we toch ze gezellig bezig zijn:

2, 5, 10, 17, 26

Ik doe met nul, hè;)

un= 2*iets tot de n

Trek er overal 1 van af en je vindt:
1, 4, 9, 16, 25, ... = 1², 2², 3², 4², 5², ... = n²

Terug eentje bijtellen geeft:
t(n) = n² + 1 (voor n vanaf 1)

[Vogelvrij]

Keith schreef op 03-05-2005 @ 15:56 :
dit is geen exponentiele fucntie, want:

2, 5, 10, 17, 26

26/17 != 17/10

Dus we gaa nweer leuk een verscilrij maken:

u = 2, 5, 10, 17, 26, ...
v = 3, 5, 7, 9, ...
allebei met n = 0,1,2,...

Nou kan je wel zien dat v = 3+2n
met de formules voor somrijen die ik al weer ben vergetn kan je nu u opstellen.

Ow ja... Dus je moet dan gewoon doorgaan met verschilrijen maken?

un=3n+2 Ik snap het

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 15:59 :
Ow ja... Dus je moet dan gewoon doorgaan met verschilrijen maken?

un=3n+2 Ik snap het

In Keith's redenering is het verschil is 3+2n (en trouwens niet 3n+2), maar niet de formule...

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 16:00 :
In Keith's redenering is het verschil is 3+2n (en trouwens niet 3n+2), maar niet de formule...

Wat is dan de formule? *zucht* Ik dacht dat dat 3n+2 was. Omdat drie het begingetal is en twee het verschil.

[TD]

Probeer de formule dan een paar keer en je zult zien dat het niet klopt.
De formule staat in mijn post een beetje hoger.

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 16:03 :
Probeer de formule dan een paar keer en je zult zien dat het niet klopt.
De formule staat in mijn post een beetje hoger.

Ik heb geen rekenmachine bij de hand, dus ik geloof je wel als het niet klopt

Ik snap wel dat het niet klopt, trouwens. Maar ik weet niet wat het dan wel moet zijn.

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 15:58 :
Trek er overal 1 van af en je vindt:
1, 4, 9, 16, 25, ... = 1², 2², 3², 4², 5², ... = n²

Terug eentje bijtellen geeft:
t = n² + 1 (voor n vanaf 1)

Deze post had ik dus niet gezien...

Ow.. Daar was ik dus zelf nooit opgekomen.

[TD]

Vogelvrij schreef op 03-05-2005 @ 16:06 :
Deze post had ik dus niet gezien...

Ow.. Daar was ik dus zelf nooit opgekomen.

Oefenen helpt

Je moet dit soort zaken proberen te zien, patronen moeten je opvallen. Eenvoudig is het niet altijd, maar zolang ze uit zo'n boekje komen zijn ze meestal niet al te ingewikkeld, de uiteindelijke formules dan...

[Vogelvrij]

TD schreef op 03-05-2005 @ 16:08 :
Oefenen helpt

Je moet dit soort zaken proberen te zien, patronen moeten je opvallen. Eenvoudig is het niet altijd, maar zolang ze uit zo'n boekje komen zijn ze meestal niet al te ingewikkeld, de uiteindelijke formules dan...

Ja, daar ging ik vandaag dus kei enthousiast mee begonnen, maar toen strandde ik bij opdracht drie

Ik zie de patronen wel, maar ik weet niet goed hoe ik daar dan een formule van moet maken En het is gewoon het boek uit de vierde klas, maar ja

[TD]

Succes in elk geval, als je ergens vastzit horen we het wel