Als A*B= kwadraat en ggd(a,b)=1 dan zijn A en B beide kwadraten!? Waarom?

Hoi!

Als A*B= kwadraat en ggd(a,b)=1 dan zijn A en B beide kwadraten a en b zijn 'willekeurige' getallen

Waarom geldt dit?
(Ik heb het nodig bij het bewijs van N=4 van de de stelling van Fermat. Ze gebruiken dit in het bewijs, zie: http://members.home.nl/juansi/wiskun...en/bewijs.html )

alvast bedankt

m'n leraar gaat ook zoeken naar 't antwoord maar d'r is wat haast bij

[nienie]

Wat bedoel je met A*B=kwadraat? Wil je hiermee zeggen dat als je A en B met elkaar vermenigvuldigt, je een getal krijgt dat bij worteltrekken een geheel getal oplevert? (bv 1,4,9,16,25,36,49,64,enz.)

[Fade of Light]

nienie schreef op 16-02-2004 @ 14:38:
Wat bedoel je met A*B=kwadraat? Wil je hiermee zeggen dat als je A en B met elkaar vermenigvuldigt, je een getal krijgt dat bij worteltrekken een geheel getal oplevert? (bv 1,4,9,16,25,36,49,64,enz.)

juist

nienie schreef op 16-02-2004 @ 14:38:
Wat bedoel je met A*B=kwadraat? Wil je hiermee zeggen dat als je A en B met elkaar vermenigvuldigt, je een getal krijgt dat bij worteltrekken een geheel getal oplevert? (bv 1,4,9,16,25,36,49,64,enz.)

Ja (A en B zijn dus ook gehele, positieve getallen idd, dat was ik ook vergeten te vermelden )

[liner]

marianne22 schreef op 16-02-2004 @ 14:25:
Hoi!

Als A*B= kwadraat en ggd(a,b)=1 dan zijn A en B beide kwadraten a en b zijn 'willekeurige' getallen

Waarom geldt dit?
(Ik heb het nodig bij het bewijs van N=4 van de de stelling van Fermat. Ze gebruiken dit in het bewijs, zie: http://members.home.nl/juansi/wiskun...en/bewijs.html )

alvast bedankt

m'n leraar gaat ook zoeken naar 't antwoord maar d'r is wat haast bij

hoi,
ik weet niet precies wat het bewijs is, maar ik ben deze vraag tegengekomen, maar wel in een betere context:
stel a,b en c getallen in Z (dus geheel + of -) zodat ab=c^2
en b=kb' en c=kc' met ggd(b,c)=k
1. toon aan dat er een positief geheel getal m bestaat zodat a=m*c'^2 en b=m*b'^2 .
2. wat kun je hieruit concluderen als ggd(a,b)=1?

(de rest van de vraag heeft betrekking op de oplossing van x^2+y^2=z^2

[liner]

mm.. ik post de andere vraag ook, die is blijkbaar ook belangrijk..
stel in Z*Z*Z de vergelijking x^2+y^2+=z^2

toon aan dat x en y kunnenniet tegelijkertijd even of tegelijkertijd oneven zijn.

stel dat x is even en y is oneven, ton an dat z is oneven en dat als we stellen dat x+y=2a en z-y=2b en x=2c dat de getallen a,b en c voldoen aan ab=c^2

, met behulp van de eeerste vraag (de vraag die ik al heb gepost) toon aan dat er twee getallen bestaan n en m zodat a=m^2 en b=n*^2 en ggd(n,m)=1 .
de getallen m en n, eentje is even en het andere is oneven.

laat zien dat (x,y,z) die we zoeken zijn de getallen die voldoen aan: x=2qp en y=q^2-p^2 en z=p^2+q^2
zodat p en q elkaar niet delen en één van de twee (p of q) is even en het andere getal is oneven.
wat is het verband tussen p en q? als x,y en z in deze volgorde drie termen zijn van een meetkundige reeks.

[Young Grow Old]

je weet A*B is een kwadraat. Dat wil zeggen dat elk priemgetal een even aantal voorkomt in de priemfactorontbinding van A*B: stelling 1: C=kwadraat <=> 2 is deler van vp(C) voor alle p. (vp(C) is een notatie die aangeeft hoe vaak (in de hoeveelste macht) het priemgetal p voorkomt in de priemfactorontbinding; dit kan overigens ook 0 zijn, want 2 is een deler van 0: 2*0=0. Zoals je (misschien) weet is elk natuurlijk getal te schrijven als produkt van priemgetallen bijv.: 24=2^3*3, 100=2^2*5^2 en heet 2^3*3 de priemfactorontbinding van 24.
Bewijs: C:=A*B is een kwadraat<=>sqrt(C) is een geheel getal<=>vp(sqrt(C)) is een geheel getal voor alle p (een wortel uit een priemgetal is nooit geheel: er zijn geen gehele delers, behalve het getal zelf en 1).
Als je de wortel neemt uit een getal, deel je alle machten in de priemfactorontbinding door 2, bijv: sqrt(100)=sqrt(2^2*5^2)=sqrt(2^2)*sqrt(5^2)=2*5=10. Stel nu dat voor een zeker priemgetal q geldt dat vq(C) is een oneven getal k. Dan geldt dat vq(sqrt(C))=k/2: is geen geheel getal. Omdat geldt dat vq(C) is niet geheel, geldt sqrt(C) is niet geheel en dus C is geen kwadraat. Tegenspraak. Dus geldt dat vp(C) is even voor alle p als C is kwadraat.
Stelling 2: Omdat ggd(A,B)=1, geldt voor alle getallen in de priemfactor ontbinding van A en B dat deze een even aantal keren voorkomen
Bewijs uit het ongerijmde: stel dat voor een zeker priemgetal q geldt dat deze een oneven aantal keren voorkomt in de priemfactorontbinding van A, dan moet deze ook een oneven aantal keren voorkomen in de priemfactorontbinding van B (anders is A*B geen kwadraat volgens stelling 1). Maar dan is q een deler van A en q een deler van B. In tegenspraak met ggd(A,B)=1. De aanname dat een priemgetal een oneven aantal keren voor kan komen in de priemfactorontbinding is dus onjuist en dus zegt stelling 2: 2 is deler van vp(A) voor alle p en 2 is deler van vp(B) voor alle p. Uit de desda-relatie van stelling 1 volgt dat A en B kwadraten zijn.

Heel erg bedankt, vooral young grow old Ik snap het nu helemaal