Kansberekeningen

[Examen-boy]

Hallo,

Ik kom er maar niet uit met de kansberekeningen. Wou net is goed aan de gang gaan met de opgaven, maar zodra ik de antwoorden vergelijk komt het dus allemaal niet uit

Wie zou mij kunnen helpen bij 1 opgave? zodat ik er misschien bij de rest uit zou kunnen komen... want kan het maar nie begrijpen.


Een medewerkster in een apotheek heeft per ongeluk 3 placebo's laten vallen in een doosje met 17 normale pillen die niet van de placebo's te zijn onderscheiden. Het doosje met in totaal 20 pillen wordt gewoon verkocht aan een patient.
a. De patient haalt 6 pillen uit het doosje. Hoe groto is de kans dat hierbij geen placebo's zijn? Hoe groot is de kans op 1, de kans op 2 en de kans op 3 placebo's?
b. De patient neemt op 20 achtereenvolgende dagen 1 pil per dag in. Hoe groot is de kans dat de 3 placebo's op 3 actereenvolgende dagen ingenomen worden?
__________________
Ik kom er dus niet uit en volgens mij hoef je bij dit soort opgave de binomiale verdeling niet te gebruiken...
De antwoorden zijn overigens op deze vraag:
a: 0,319 - 0,479 - 0,184 - 0,018
b: 0,0158

Maar ik kom er dus maar niet uit Ik hoop dat iemand mij een duidelijke uitleg kan geven zodat ik het begin te snappen deze kansberekeningen.

Alvast heel erg bedankt!
Mvg,

[Young Grow Old]

Bij a is het de bedoeling dat je gaat kijken op hoeveel manieren je 6 pillen uit 20 kan pakken en dit vergelijkt met het aantal manieren waarop hier 0,1,2, of 3 placebo's bij zitten. Ik zal er eentje voordoen, de rest moet je dan zelf nog eens proberen:

Kans dat je 1 placebo pakt:
Je hebt 2 groepen van pillen, 17 gewone en 3 placebo's. Als je van de 6 pillen 1 placebo pakt, pak je dus 1 pil uit het groepje van 3 en 5 uit de groep van 17. Het aantal manieren om dit te doen is (3 boven 1), respectievelijk (17 boven 5). Het totale aantal manieren om 6 pillen uit 20 te pakken, is (20 boven 6).
Je hebt dus (20 boven 6) manieren, waarvan er (17 boven 5)*(3 boven 1) goed zijn (vermenigvuldigen, want voor elke manier dat je het ene groepje goed pakt, heb je weer alle mogelijkheden voor de andere).
Het aantal goede manieren is dus ((17 boven 5)*(3 boven 1))/(20 boven 6)=0,478947...

Ik hoop dat je de andere antwoorden (op dezelfde manier) nu zelf kunt vinden

[Examen-boy]

bedankt voor je uitleg! ik ga er gelijk vandaag mee aan de slag en hoop dat ik het nu ga snappen... anders post ik wel weer hier mn noodkreet

iig hartstikke bedankt dat je de moeite doet om mij te helpen!

[Examen-boy]

Ik begin je verhaal te snappen, alleen ik krijg het antwoord niet als ik die laatste regel van jou in mn rekenmachine zet:

Het aantal goede manieren is dus ((17 boven 5)*(3 boven 1))/(20 boven 6)=0,478947...


hoe voer je dit in?
ik zie het als (17 delen door 5)maal(3 delen door 1) en dit totaal weer delen door (20 delen door 6)

maar ik kom dan op 3.06 uit

zou je mij misschien kunnen uitleggen hoe je dit berekent via je rekenmachine?

alvast heel erg bedankt!

[sdekivit]

doe voor bijvoorbeeld 17 boven 5:

17 - Math - < (optie PRB) - nCr (optie 3) - 5 - enter

voor de TI83 Plus

let er wel op dat 17 boven 5 betekent:

17! / [5!*(17-5)!] = 17! / (5! * 12!)

[Examen-boy]

Wij hadden het met deze cursus dus geleerd om die hele nCr functie niet te gebruiken, maar dan de binomiale verdeling. Ik ben vast lastig nu voor jullie maar zou je er misschien ook neer kunnen zetten hoe het is uit te rekenen zonder het gebruik van de nCr functie??

alvast heel erg bedankt!

[WelVrolijk]

Binomiale verdeling gebruik je bij "trekken met teruglegging".

Bij deze opgave is sprake van "trekken zonder teruglegging".
Bij trekken zonder teruglegging geldt de hypergeometrische verdeling.
En daarbij zul je toch echt zaken als "17 boven 5" moeten uitrekenen.

------

Als dat dan per se zonder rekenmachine moet, dan kun je het altijd nog uitschrijven als faculteiten.
Dan moet je uiteraard wel de breuk even vereenvoudigen.

Bijvoorbeeld:
17 boven 5
=
(17 * 16 * 15 * 14 * 13) / (1 * 2 * 3 * 4 * 5)
=
(17 * 16 * 3 * 14 * 13) / (2 * 3 * 4)
=
(17 * 16 * 14 * 13) / (2 * 4)
=
(17 * 4 * 7 * 13)

En dat kan je zonder rekenmachine uitrekenen.

Maar dat lijkt me vrij onzinnig werk.
Toen ik op de middelbare school zat waren rekenmachines verboden. (Die waren veel te duur, en konden alleen maar optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen - exemplaren met procenttoets en geheugen waren meer dan 100 gulden).
Maar zaken als "17 boven 5" zochten wij (doorgaans) gewoon op in het tabellenboekje.
(En een antwoord als "ongeveer 6180" of "ongeveer 6190" werd waarschijnlijk wel goedgekeurd - veel nauwkeuriger ging dat niet met een rekenlineaal).

P.S.
Natuurlijk vallen die 17 en die 4 in de praktijk wel weg tegen de 17 en 8 uit de noemer ...
Ik kom uiteindelijk uit op (7 * 13) / (19 * 2 * 5), oftewel 91/190, en dat kun je makkelijk uitrekenen met een staartdeling.

[WelVrolijk]

Nog even terugkomen op die 17 boven 5:


Je zou dat kunnen afleiden uit de formule die sdekivit geeft:
17 ! = 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

17! / (5! * 12!) = (17! / 12!) / 5!

En in 17! / 12! kun je dan "12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1" wegstrepen uit teller en noemer.

-------------------------

Maar het volgt natuurlijk ook rechtstreeks uit de definitie:

"Je pakt zonder teruglegging 5 dingen uit een groep van 17"
Voor de eerste heb je 17 mogelijkheden.
Voor de eerste twee heb je 17*16 mogelijkheden.
Voor de eerste drie heb je 17*16*15 mogelijkheden.
Voor de eerste vier heb je 17*16*15*14 mogelijkheden.
Voor de eerste vijf heb je 17*16*15*14*13 mogelijkheden.

"Maar de volgorde van die 5 is niet belangrijk."
Hoeveel mogelijke volgordes zijn er?
Voor de eerste heb je 5 mogelijkheden.
Voor de eerste twee heb je 5*4 mogelijkheden.
Voor de eerste drie heb je 5*4*3 mogelijkheden.
Voor de eerste vier heb je 5*4*3*2 mogelijkheden.
Voor de eerste vijf heb je 5*4*3*2*1 mogelijkheden.

Dus
17 boven 5 = (17*16*15*14*13) / (5*4*3*2*1)

Maar omdat er vroeger geen mooie notatie bestond voor 17*16*15*14*13, schreven we dat (enigzins kryptisch) op als 17! / 12!
Vandaar de formule die sdekivit hier geeft.

Een prachtige formule, maar je moet wel weten hoe je hem moet gebruiken.
(Ik neem aan dat er in de begintijd van de rekenmachines best wel wiskundeleraren zijn geweest die tijdens proefwerken zaken als 70 boven 3 lieten uitrekenen)

[mathfreak]

WelVrolijk schreef op 09-12-2006 @ 13:34 :
Binomiale verdeling gebruik je bij "trekken met teruglegging".

Hierbij dient dan nog te worden opgemerkt dat er dan sprake moet zijn van een trekking met teruglegging met slechts 2 mogelijke uitkomsten, aangezien er anders geen sprake is van een binomiaal kansexperiment.

WelVrolijk schreef op 09-12-2006 @ 13:34 :
Bij deze opgave is sprake van "trekken zonder teruglegging".
Bij trekken zonder teruglegging geldt de hypergeometrische verdeling.

Er moet dan wel bij worden vermeld dat het om een trekking zonder terugleggen uit een kleine populatie gaat, en dat er dan geen sprake is van een binomiaal kansexperiment. Wanneer er een trekking zonder terugleggen uit een grote populatie plaatsvindt en er sprake is van 2 mogelijke uitkomsten mag men dit wel als een binomiaal kansexperiment opvatten.

[Examen-boy]

bedankt! ik ga er druk mee aan de slag en hoop dat het gaat lukken allemaal!

mvg,