[WI] Rekenen met vierkantswortels

[Woopa]

Hey iedereen.
Als voorbereiding op een toets over rekenen met vierkantswortels maak ik een aantal oefeningen. Nu kwam ik op een oefening uit waarbij we in een balk 4 'lijnen' moeten berekenen. De eerste 3 (|BG|, |BD|, en |DF|) maar de vierde |DM| wil maar niet lukken. Ik voeg ook 2 foto's toe zodat je kan zien hoe die lijn DM verloopt. Ik weet wel dat BG = 8*vkw2, BD = 4*vkw13 en dat DF gelijk is aan 4*vkw17. Nu moet ik dus DM zien te bereken maar het probleem is dat ik niet weet in welke driehoek ik moet werken. Ik kan werken in HDM en DFM. Beiden geven me een ander resultaat. Achteraan ons boek staat er dat de oplossing 2* vkw29 is, wat ik ten zeerste betwijfel, het kan natuurlijk zijn dat de oplossing vanachter wel klopt, en dat ik gewoon wat verkeerd doe (dat laatste lijkt me het meest logisch).

Als ik werk in driehoek HDM dan weet ik al niet wat mijn schuine zijde is, is dat HD of DM? Als ik werk in driehoek DMF dan krijg ik het volgende: |DM| = vkw van |DF|² - de helft van |DB|² (want HF = DB en MF = de helft van DB). Dan kom ik dus uit vkw van 272 - 52. Dan krijg je dus vkw 220. Klopt dit? En dan reken ik dat uit en zie ik natuurlijk dat het niet overeenkomt met de oplossing achteraan ons boek.

Ik hoop dat het duidelijk genoeg is en dat jullie me kunnen helpen?

Mvg Woopa

[mathfreak]

HD en HM staan loodrecht op elkaar, dus dat geeft DM als schuine zijde. Nu geldt; HM = ½FH, waarbij FH met behulp van FG en GH berekend kan worden. Omdat FH dan bekend is weet je ook wat HM is en kun je dus DM berekenen.
Opmerking: zoek nog eens zorgvuldig op hoe de stelling van Pythagoras precies geformuleerd wordt, want daar lijkt bij jou het probleem te zitten.

[Woopa]

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Dus dat betekent dat |DM|² = |HM|² + |HD|² . De lengte van HF is toch gelijk aan de lengte van DB hé? Dus dan krijg je dat de lengte gelijk is aan 1/2 * 4 vwk 13 en dat is dan toch gelijk aan 2 vkw 13? Dan krijg |DM|² = 4 * 13 + 64. En dat is dan gelijk aan ... 116!! Dan klopt het, niet?

[mathfreak]

Je berekening van HF klopt niet. Pas de stelling van Pythagoras toe op HF, FG en GH. Wat is dan HF, dus wat wordt dan de lengte van DM? Kijk eens hoe je de stelling van Pythagoras hebt toegepast om een uitdrukking voor de lengte van DM te vinden. Wat geldt er dus voor HF, FG en GH, dus wat wordt dan de lengte van DM?

[Woopa]

|HF| = vkw 12² + 8² = vwk 208 toch? En dat vereenvoudigen is toch 4 * vkw 13?

[mathfreak]

Woopa schreef:

|HF| = vkw 12² + 8² = vwk 208 toch? En dat vereenvoudigen is toch 4 * vkw 13?

Nee, dat is fout. Kijk eens naar de lengte van AB. Jij stelt dat de lengte van AB √12 is, maar dat is niet zo. Vul nu eens de juiste lengten in en voer dan de gevraagde berekening uit.

[Woopa]

Ooh maar je begrijpt het verkeerd, die vwk voor die twaalf moet overkoepelend zijn over 12² en 8². Dan rekenen we onze machten uit en tellen we op en krijgen we toch vkw 208?

[mathfreak]

Woopa schreef:

Ooh maar je begrijpt het verkeerd, die vwk voor die twaalf moet overkoepelend zijn over 12² en 8². Dan rekenen we onze machten uit en tellen we op en krijgen we toch vkw 208?

Wat je dus bedoelt is dat . Dat is in ieder geval correct. Door jouw manier van noteren leek het alsof je iets als √12² + 8² bedoelde. Je vindt hier op het forum een topic over het werken met LaTex. Neem dat eens door.
Voor |DM| vind je overigens inderdaad dat |DM|² = 116, dus wat is dan |DM|?

[Woopa]

Ja dat bedoelde ik, ik weet dat het met Latex gemakkelijker gaat zijn en ik ga dat eens doornemen. |DM| = vkw 116 en dat vereenvoudigt is 2 * vkw 29.

[mathfreak]

Woopa schreef:

|DM| = vkw 116 en dat vereenvoudigd is 2 * vkw 29.

Dat is inderdaad correct.

[Woopa]

Ik heb een nieuw vraagstukje tegengekomen dat ik niet echt weet op te lossen. Het luidt als volgt: De diagonaal van een rechthoek met oppervlakte 27 * vkw3 cm² is dubbel zo lang als een zijde. Bereken de omtrek van deze rechthoek.

Nu dacht ik eventjes na en wist ik dat de diagonaal waarschijnlijk dubbel zo groot zal zijn als de hoogte/breedte. Dan wist ik ook dat de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan b*h. Natuurlijk om de omtrek te weten zal ik dus ook de lengte moeten weten. Nu weet ik ook dat ik als ik mijn rechthoek in 2 rechthoekige driehoeken verdeel de schuine zijde 2x is en de breedte van de rechthoek in die driehoek x is. En dan stopt het. Verder weet ik niet echt wat ik moet doen. Moet ik die 27 * vkw3 daar in betrekken of moet ik die lengte van die rechthoek daar gaan in betrekken? Ik hoop dat jullie me wat op weg kunnen zetten.

[mathfreak]

Stel een van de zijden x, dan heeft de diagonaal de lengte 2x. Wat is dan de lengte van de andere zijde? Hint: beschouw de diagonaal als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. Je moet inderdaad van de gegeven oppervlakte 27√3 uitgaan.

[Woopa]

Die andere zijde is dan 2x - x? Krijg je dan (2x)² = (2x - x)² + x² ?

[mathfreak]

Woopa schreef:

Die andere zijde is dan 2x - x? Krijg je dan (2x)² = (2x - x)² + x² ?

Nee, dat is fout. In een rechthoek staan de zijden altijd loodrecht op elkaar (zie de definitie van het begrip rechthoek), dus welk verband bestaat er tussen de zijden van een rechthoek en de diagonaal van de rechthoek? Bepaal nu x en bereken daarmee de omtrek van de rechthoek.

[Woopa]

Huh, ik heb nog nooit over een verband tussen de diagonalen en de zijden van een rechthoek gehoord?

[Tochjo]

Tuurlijk wel, want je werkt er het hele topic al mee: de stelling van Pythagoras is van toepassing, omdat de korte zijde, de lange zijde en de diagonaal als schuine zijde een rechthoekige driehoek vormen.

[Woopa]

Ah ja, zo dan. Maar hoe stel je dan de lengte voor? Want voor de diagonaal heb ik al 2x gebruikt en voor de hoogte/breedte van de rechthoek heb ik x.

[Tochjo]

De stelling van Pythagoras stelt dat (lengte ene zijde)² + (lengte andere zijde)² = (lengte diagonaal)². Omschrijven geeft



Hieruit volgt dat de lengte van de andere zijde gelijk is aan de wortel van 3x².

[Woopa]

Ooh, daar heb ik glad over gekeken. Sjonge... Dus de lengte van de rechthoek is dan gelijk aan x vkw 3? Als ik dan ga rekenen en de formule voor de omtrek gebruik 2 * (b + h) dan krijg je dus 2 * (x vkw 3 + x) = 2x vkw3 + 2x? Maar dat klopt niet denk ik.

[mathfreak]

Woopa schreef:

Ooh, daar heb ik glad over gekeken. Sjonge... Dus de lengte van de rechthoek is dan gelijk aan x vkw 3?

Dat is correct. Je hebt in dit geval met een bijzonder soort rechthoekige driehoek te maken. Dit is namelijk een driehoek met hoeken van 30º, 60º en 90º, waarbij de kleinste rechthoekszijde x zich tegenover de hoek van 30º bevindt en de grootste rechthoekszijde x√3 zich tegenover de hoek van 60º bevindt. Deze rechthoekige driehoek is precies de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde 2x. Ga dit bij wijze van oefening maar eens na.

Woopa schreef:

Als ik dan ga rekenen en de formule voor de omtrek gebruik 2 * (b + h) dan krijg je dus 2 * (x vkw 3 + x) = 2x vkw3 + 2x? Maar dat klopt niet denk ik.

Dit klopt wel. Je kunt de waarde van x vinden uit het gegeven dat de rechthoek de oppervlakte 27√3 heeft, dus daarmee kun je ook de gevraagde omtrek berekenen. Wat wordt dan x, dus wat is dan de omtrek?

[Woopa]

Hoe moet ik mijn formule dan maken? Wat moet ik eerst delen door wat of wat optellen bij wat? Is dat dan 27 vkw 3 / 4 vkw 3?

[Woopa]

IK HEB HET! Wat zijn jullie toch helden hé! Allé, ik denk toch dat ik het heb .

x vkw 3 * x = 27 vkw 3
x² vkw3 = 27 vkw3
x² = 27
x = 3 vkw 3

Daaruit volgt dan dat x vkw 3 (de lengte van de rechthoek) gelijk is aan 9 ( 3 vkw3 * vkw3). Als ik dan de formule voor de omtrek van een rechthoek gebruik krijg ik. 2 * (9 + 3 vkw 3) * cm² en dat is dan gelijk aan (18 + 6 vkw3) cm². En dat komt overeen met de uitkomst in mijn boek achteraan. Klopt dit volgens jullie?

[ThomasJu]

Inderdaad, dat klopt.

(Je hebt alleen een typ fout gemaakt bij " 9 ( 3 vkw3 * vkw3)" de * moet + zijn.)

Zet voortaan elke stap op een nieuwe regel, dan is het voor andere makkelijker om snel je berekening te controleren. (anders staan er elke keer woorden tussen)

Ik heb nog een tip voor op je toets. Je docent heeft waarschijnlijk graag dat je die DM berekent zoals je nu gedaan hebt. Maar om het voor je zelf even snel te controleren kan je pythagoras ook in 3D gebruiken.
Je weet dat M het midden is van het boven vlak. Stel dat je dan die kubus in 4-en zou snijden krijg je een kubus van: (Dus steeds met je 'mes' vanuit M naar beneden)
6 x 4 x 8
breedte x diepte x hoogte
De diagonaal hiervan is DM

hier staan wat plaatjes en uitleg

[Woopa]

Inderdaad, ik zie dat ik een typ foutje heb gemaakt. Bedankt voor die laatste tip, daar had ik eigenlijk nog niet over nagedacht...
Ik wil ook nog even zeggen dat ik morgen waarschijnlijk nog een vraagstukje ga posten waar mijn oplossing overeen komt met de oplossing achteraan ons boek, maar ik vrees dat mijn werkwijze niet echt klopt. Ik hoop dat jullie dat nog zien zitten?

[ThomasJu]

Kom maar op

Regels zijn gratis hier op het forum, dus gebruik er lekker veel. Dat is overzichtelijk.

[Woopa]

Ok, het volgende vraagstuk ga ik in bijlage meegeven, maar ik ga eens zeggen hoe ik gewerkt heb.
Eerst heb ik de zijde van zo'n blauw vierkant gelijkgesteld aan x, dat wil dus zeggen dat de oppervlakte van zo'n blauw vierkant gelijk is aan x².
Er zijn twee zo'n vierkanten, dus dacht ik dat ik in mijn bewerking 2x² moest verwerken.
Maar dan stropt het een beetje. Ik weet niet goed waar te beginnen aangezien ik niet echt weet hoe ik mijn formule moet schrijven. Ik dacht aan het volgende.

x² + x² = 192 - (x² + x²)
2x² = 8 vwk 3 - x² - x²
4x² = 192
x² = 48
x = 4 vkw 3

Natuurlijk zit ik dan nog met het probleem dat ik eigenlijk maar de helft van een zijde van het grote vierkant heb berekend. Want de zijde van het grote vierkant is gelijk aan 8 vkw 3. Nu zit ik ook nog met het probleem dat daar zo'n klein vierkantje bijzit (zoals je op de afbeelding gaat zien) waarvan de zijde gelijk is aan vkw 3. Nu dacht ik, als ik die vkw 3 van die 4 vkw 3 aftrek, krijg ik 3 vkw 3. Als ik dat dan in het kwadraat zet krijg ik 27 (cm²) en dat is hetzelfde als de oplossing achteraan mijn boek. Klopt deze weg volgens jullie?

[ThomasJu]

Hoe kom je aan deze vergelijking? Wat bedoel je hiermee?
x² + x² = 192 - (x² + x²)

oppervlakte 2 blauwe vierkanten = totaal - 2 blauwe vierkanten

Dit kan je vereenvoudigen tot:
2 * (opp 2 blauwe vierkanten) = totale oppervlak

Dit slaat klopt natuurlijk niet, want als je naar het plaatje kijkt zie je gelijk dat het niet klopt. (Omdat je nog de rand met die kleine van A=3 bent vergeten.


Hoe ik het zou doen:

Stel de zijde van 1 blauw vierkant inderdaad gelijk aan x.
Wat is de lengte van de zijde van de groene vierkantjes?
Wat is de lengte van de zijdes van het hele vierkant?

Als je nu naar het plaatje in mijn bijlage kijkt zie je dat de lengte van de hele zijde gelijk is aan die 4 kleine stukjes opgeteld. Daar heb je dus je vergelijking die je op moet lossen:

grote zijde = sqrt(3) + x + x + sqrt(3)

Let op, x is hier de lengte van een blauw vierkantje, dus als je x opgelost hebt ben je er nog niet.

[Woopa]

Nou ja, ik weet ook niet zo goed hoe ik daarbij kom. Zijde van zo'n klein groen vierkantje is gelijk aan vkw 3. Maar welke driehoek bedoel je? GOTCHA!
Je krijgt dan:
8 vkw 3 = 2 vkw 3 + 2x
6 vkw 3 = 2x
3 vkw 3 = x

En dan de oppervlakte van zo'n blauw vierkantje is gelijk aan aan x² = 27 cm²!

[ThomasJu]

driehoek moet natuurlijk vierkant zijn

Maar je hebt het verhaal inderdaad begrepen!

Je kan zo'n vergelijking wiskundig opschrijven, maar je kan ook in gewone woorden duidelijk maken. Met dit laatste zou je vaak wel moeten in zien of de vergelijking klopt.

Succes met je toets!

[Woopa]

Dank je wel voor jullie hulp! Ik post volgende dagen waarschijnlijk nog een vraagstukie, maar dat hoef ik normaal gezien niet te kennen voor de toets, maar is altijd handig om te oefenen voor het examen!

[Woopa]

Sjonge, ik was dit vraagstukje vergeten! Zouden jullie me nog eens kunnen helpen aub? Ik weet dat ik heel wat topics heb openstaan...


In de figuur zijn acht congruente ruiten, vier volledige en vier halve vierkanten getekend in een vierkant met zijde 2 + .

Bereken de oppervlakte van één ruit.

Misschien is het niet duidelijk op de figuur, maar de lengte van een vierkantje is gelijk aan 1 en de lengte van het grote vierkant is dus gelijk aan 2 + . Nu moet ik dus de oppervlakte van één ruit berekenen. Nu weet ik dus al dat 1 zijde van een ruit gelijk is aan 1. De oppervlakte van één ruit is gelijk aan (d1 * d2) / 2 . Maar het probleem is nu dat ik geen idee heb hoe ik de diagonalen van een ruit moet bereken. Hoe kan ik deze berekenen of is er een andere weg die ik moet volgen, door bv iets te doen met de totale oppervlakte van het vierkant?

[Tochjo]

Het lijkt me het makkelijkst de oppervlakte van het grote vierkant met zijden te berekenen en daar de oppervlaktes van de hele en halve kleine vierkantjes vanaf te halen, en vervolgens de overgebleven oppervlakte te delen door acht.

[Woopa]

Nou, door daarnet naar de tandarts te gaan en te moeten wachten denk ik dat ik achter de oplossing ben gekomen.
Opp. groot vierkant = 4 + 4 + 2 = 6 + 4
Kleine vierkantjes eraf: 2 + 4
Halve vierkantjes eraf: 4
--> Opp. 1 ruitje= 4 / 8
= / 2

[the economist]

een beetje laat, maar omdat dit even een andere invalshoek is mag t wel vind ik.

in die eerste topcivraaag, over de lengte van een diagonaal in een balk, is het toch wel veel gemakkelijker is mij gebleken om de leerlingen ook de 'aangepaste' pythagoras te leren:
a^2 + b^2 + c ^2 = d ^2, ofwel in lengte hoogte en breeedte:
l^2 + b^2 + h^2 = d ^2 (waarbij d staat voor diagonaal.)

in de wiskundeboekjes stat dit vaak 'getrapt', je moet eerst een liggende diagonaal berekenen
via a^2+b^2 = c^2, en daarna die c^2 weer optellen bij nóg een kwadraat.

Dat mag dus ook gewoon in één keer, en dat kan soms veel tijd besparen.
Zoals hier: (ik lees als lengten af 12; breedte = 8 hoog= 8 )
d^2 = 6^2 + 4^2 + 8^2 = 116