wat verstaat de wiskunde onder een 'algebra'?

[bulbanos]

ik moet iets maken over de Algebra van Boole maar moet eerst een algebra definieren en heb totaal gn id hoe.

[Just Johan]

In boolean algebra heb je alleen maar 1 en 0.

Er zijn een aantal regels voor optelling (ook wel "of" / "or" in de zin van dat het resultaat 1 is als een of beide dingen in de optelling 1 zijn):

X + 0 = X
X + 1 = 1
X + X = X
X + !X = 1

de ! gebruik ik hier om het complement aan te geven; dat moet eigenlijk met een streepje erboven.

X = !!X ( dus X = (not (not X)) )

Er zijn ook wat regels voor de vermenigvuldiging (ook wel "en" / "and" in de zin van dat het resultaat 1 is dan en slechts dan als beide elementen 1 zijn):

X * 1 = X
X * 0 = 0
X * X = X
X * !X = 0

En dan zijn er nog de rekenregels:
Commutativiteit: X+Y=Y+X en X*Y=Y*X
Associativiteit: X+(Y+Z)=(X+Y)+Z en X*(Y*Z)=(X*Y)*Z
Distributiviteit: X*(Y+Z)=X*Y + X*Z en X + Y*Z = (X+Y)*(X+Z)

en DeMorgan's rule(s):
!(X+Y) = !X * !Y en !(X*Y) = !X + !Y

Dat is alles.

Die rekenregels voor commutativiteit, associativiteit en distributiviteit lijken misschien onzinnig en triviaal, maar in de algebra zijn er ook dingen te verzinnen waarbij die regels niet meer opgaan, dus het is niet vanzelfsprekend omdat we het toevallig met onze getallen ook zo gewend zijn.

[[Pierewiet]]

Algebra:
Onderdeel v.d. wiskunde waarin men eigenschappen van verzamelingen wiskundige objecten bestudeert, waarbij één of meer binaire bewerkingen gegeven zijn.
In het algemeen vormend onderwijs richt men zich voornamelijk - maar niet uitsluitend - op de verzameling reële getallen en de daarin uit te voeren bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen. Het gebruik van variabelen (x,y,z) en parameters (p,a,b,c) verhoogt de uitdrukkingskracht en communicatiewaarde van deze taal, maar schrikt helaas ook velen af. Met bijvoorbeeld vectoren en matrices bedrijft men evenzeer algebra.

Lineaire algebra:
Studie van de lineaire ruimtes (structuren) en hun eigenschappen.
Lineaire algebra is een basisvak voor alle gebieden van de wiskunde en wordt tevens gebruikt bij o.a. klassieke mechanica, quantummechanica, statistiek en econometrie.

Algebra van Boole:
Abstracte algebra met twee binaire bewerkingen, meestal genoteerd met (doorsnede) en (vereniging), een unaire bewerking(c) en twee constanten, 0 en 1, die voldoen aan de axima''s commutativiteit, associativiteit, adjunctiviteit, complementariteit en distributiviteit.
De machtsverzameling v.e. willekeurige verzameling V is een algebra van Boole, met (doorsnede) en (vereniging) als de verzamelingstheoretische doorsnede en vereniging, als (^c) als complement t.o.v. V: a^c=V/a, en 1=V, 0=lege verzameling.

Hoofdstelling van de algebra:
Iedere complexe veelterm heeft minstens één complex nulpunt. Dit resultaat, ook bekend onder de naam fundamentaalstelling van de algebra, betekent dat iedere vergelijking met complexe (dus ook met reële) coëfficiënten
ai van de gedaante: Az^n+A(n-1)+z^(n-1)+…..+A(1)z+a(0)=0 een complexe oplossing bezit. Deze behoeft echter niet reëel te zijn getuige de vergelijking x²+1=0 met complexe oplossingen –i en i.

Aldus Prisma van de Wiskunde.

[mathfreak]

Onder algebra verstond men oorspronkelijk de leer der vergelijkingen. Het woord algebra is afkomstig van de titel van het boek Hisab al-jabr wal-mouqabala (Wetenschap van hergroeperen en tegenoverstellen) van Mohamed ibn Moesa Al-Cwarizmi dat rond 825 verscheen. De term al-jabr ging via het Latijn over in algebra en Al-Cwarizmi's naam keert terug in een Latijnse vertaling van een ander boek van hem over elementaire rekenkunde. Deze vertaling heeft de titel Algorismi de numero Indorum, waarin we in het woord Algorismi de tegenwoordige term algoritme kunnen herkennen.
Sinds het begin van de 20e eeuw verstaan we onder algebra de leer van de algebraïsche structuren. Voorbeelden zijn groepen, ringen, lichamen (in Vlaanderen velden genoemd), modulen en vectorruimten. Zie voor meer informatie http://www.math.niu.edu/~rusin/known...dex/08-XX.html