Periodieke breuken

[Smin]

Voor wiskunde b1 moet ik (leerlinge V5) een PO maken, maar de onderzoeksvragen vind ik nogal moeilijk. Telkens als ik denk dat ik het antwoord heb gevonden blijken er heel veel uitzonderingen te zijn.

Wie kan mij helpen met:

Welk verband bestaat er tussen de noemer van de breuk en de periode van zijn decimale ontwikkeling?

Welke breuken hebben een periodieke decimale ontwikkeling met periode 2?

Hoe kun je van een periodieke decimale breuk snel een gewone breuk maken?

Kun je aantonen dat elke breuk eindig of periodiek is?

Wat is er te zeggen over de cijfers van de decimalee ontwikkeling van breuken met dezelfde noemer?

Breuken met noemer 7 hebben een peroide 6. Kun je alle breuken opsporen die ook periode 6 hebben?

Ookal weet je maar een halve vraag, help me asjeblieft, als je nog vragen hebt over de vragen kun je die natuurlijk ook hier stellen. De eerste twee vragen zijn het belangrijkst.

Alvast heel erg bedankt,

[GinnyPig]

Ik zal wel ff een vraag behandelen.

Hoe je van een periodieke decimale ontwikkeling een breuk maakt:

Stel je hebt een getal, dat eruit ziet als volgt:

0,123412341234... etc

Dit getal kan je ook schrijven als een som van breuken, namelijk:

1234/10000 + 1234/(10000²) + 1234/(10000³) + ....

Je ziet dat je steeds het periodieke geheel neemt en deelt door 10000^x

Nu kan je dit ook korter opschrijven met behulp van het sommatie-teken (die ene griekse letter, die op een E lijkt )

Ik ga maar ff vanuit dat je weet hoe dat ding werkt . Stel S is dat teken, dan geldt voor de bovenstaande som:

S_n=1 ^oneindig (1234)/(10000ⁿ)

Je sommeert dus vanaf 1 tot oneindig.

Deze sommage is eigenlijk niets meer dan de som van een rekenkundige rij (of was het meetkundig? :/). Dit is dus een rij in de vorm van: a*rⁿ.

Voor zo'n rij geldt, dat als -1 < r < 1 de sommage van alle termen gelijk is aan a*r/(1-r). In dit voorbeeld krijg je dus:
1234*(1/10000)/(1-1/10000) = 1234/9999

Nu kan je vast zelf wel een algemene methode opzetten. Succes verder

[mathfreak]

Eerst even wat terminologie betreft: men spreekt van een repeterende decimale breuk als een bepaald aantal decimalen periodiek wordt herhaald. Indien de noemer als factoren alleen machten van 2 en/of 5 bevat heeft de bijbehorende decimale breuk een eindige decimale ontwikkeling. Als de noemer van de breuk geen gemeenschappelijke delers met 10 heeft is de periode gelijk aan een deler van het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer en geen gemeenschappelijke delers met de noemer heeft. Noem dit aantal fi(n) (de functie van Euler) als n de noemer voorstelt, dan is de periode maximaal fi(n) cijfers lang. Laat m/n een rationaal getal zijn en m en n geen gemeenschappelijke delers hebben en laat s het aantal decimalen zijn waarna de periode begint en t de lengte van de periode zijn, dan moeten s en t zo klein mogelijk zijn en voldoen aan 10²=10^s+t mod n.
Om van een repeterende decimale breuk een gewone breuk te maken kun je het beste als volgt te werk gaan: beschouw een repeterende decimale breuk als de som van de termen van een meetkundige rij met eerste term a en reden r met r<1. Voor de som s geldt dan: s=a/(1-r). Voor de repeterende breuk 0,333... krijg je: a=3/10 en r=1/10, dus als gewone breuk geeft dit: s=3/10/(1-1/10)=3/10:9/10=3/9=1/3.
Iedere breuk is te schrijven als een eindige decimale of een repeterende decimale breuk op grond van de factoren waaruit de noemer is opgebouwd zoals hierboven is aangegeven, waarmee het eindig aantal of het repeterend aantal decimalen kan worden opgespoord. Op grond van de relatie tussen s en t kun je voor een breuk m/n nagaan welk verband er tussen m en n moet bestaan om een periode met lengte t te hebben.

[Smin]

Het spijt me zeer, maar ik snap niet van de uitleg van mathfreak. Heel erg bedankt dat je me wil helpen, Ginnypig ook, maar ik snap het gewoon niet.

Wat betekent: Als de noemer van de breuk geen gemeenschappelijke delers met 10 heeft is de periode gelijk aan een deler van het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer en geen gemeenschappelijke delers met de noemer heeft.

Dat is een hele lange zin.

1wat is een gemeenschappelijke deler? wie hebben iets gemeenschappelijk?
2 wat is het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer?

Het zou me plezier doen als ik in iedergeval de vraag:
Welk verband bestaat er tussen de noemer van de breuk en de periode van zijn decimale ontwikkeling?

zou begrijpen en een antwoord zou kunnen vinden.

alvast en nogsteeds: heel erg bedankt

[Smin]

van dit stukje:

Noem dit aantal fi (de functie van Euler) als n de noemer voorstelt, dan is de periode maximaal fi cijfers lang. Laat m/n een rationaal getal zijn en m en n geen gemeenschappelijke delers hebben en laat s het aantal decimalen zijn waarna de periode begint en t de lengte van de periode zijn, dan moeten s en t zo klein mogelijk zijn en voldoen aan 102=10s+t mod n.

snap ik ook niets,

Ik voel me nu toch wel niet al te slim...

[mathfreak]

Smin schreef:
Het spijt me zeer, maar ik snap niet van de uitleg van mathfreak. Heel erg bedankt dat je me wil helpen, Ginnypig ook, maar ik snap het gewoon niet.

Wat betekent: Als de noemer van de breuk geen gemeenschappelijke delers met 10 heeft is de periode gelijk aan een deler van het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer en geen gemeenschappelijke delers met de noemer heeft.

Dat is een hele lange zin.

1wat is een gemeenschappelijke deler? wie hebben iets gemeenschappelijk?
2 wat is het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer?

Het zou me plezier doen als ik in iedergeval de vraag:
Welk verband bestaat er tussen de noemer van de breuk en de periode van zijn decimale ontwikkeling?

zou begrijpen en een antwoord zou kunnen vinden.

alvast en nogsteeds: heel erg bedankt

Even een beetje getaltheorie: als a een geheel getal is noemen we het gehele getal b een deler van a als we een geheel getal c kunnen vinden met de eigenschap a=b*c. Indien c een deler is van 2 gehele getallen noemen we c de gemeenschappelijke deler van deze getallen. Ik zal die ene zin nog even geven, maar nu hopelijk iets duidelijker: Als de noemer van de breuk geen gemeenschappelijke delers met 10 heeft, is de periode gelijk aan een deler van het totaal aantal getallen dat kleiner is dan de noemer, en geen gemeenschappelijke delers met de noemer heeft.
Nog een stukje getaltheorie: Laat n een geheel getal zijn, dan is fi(n) gelijk aan het aantal getallen dat kleiner is dan n en geen gemeenschappelijke deler met n heeft. Zo geldt bijvoorbeeld: fi(2)=1 (1 is kleiner dan 2 en heeft geen gemeenschappelijke deler met 2) en fi(4)=2 (alleen de getallen 1 en 3 zijn kleiner dan 4 en hebben geen gemeenschappelijke deler met 4). Indien p een priemgetal is geldt: fi(p)=p-1. Zoals ik al aangaf is de periode bij de breuk m/n maximaal fi(n) cijfers lang.
Een laatste stukje getaltheorie: laat a, b en m gehele getallen zijn, dan bedoelen we met a=b mod m dat a bij deling door m de rest b heeft, ofwel a-b is een deler van m. Kijk maar eens of je met behulp van deze toelichting alsnog in staat bent om mijn vorige reply te begrijpen. Mocht je desondanks nog vragen hebben, dan kun je me bereiken via mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.