[WI] Priemfactorontbinding(2)

Ik snap de hele priemfactor ontbinding niet!?!?!

Hoe kan ik, bijvoorbeeld, zien wat de wortel is van 5760?. Bij mijn uitleg zeggen ze gewoon:

"Als e even is, bijvoorbeeld e=2m , dan haal je de hele factor p^e=(p^m)^2 buiten het wortelteken.

Als e oneven is, bijvoorbeeld e=2m+1 , dan haal je de factor p^2m=(p^m)^2 buiten het wortelteken. Er blijft dan een factor p in het wortelteken staan.

Dus dan is 5760 gelijk aan 2^7 * 3^2 * 5"

Hoe kun je dat weten!?!?!?!

[ILUsion]

Ik geloof dat je het volgende wilt doen:

je wilt een wortel van een getal x berekenen en om die wortel te vereenvoudigen, ga je dat getal ontbinden in een (priem)factorontbinding. De regeltjes die ze geven, zeggen wat je moet doen bij verschillende multipliciteit van een priemfactor. Maar er wordt niet gezegd hoe je die ontbinding zelf moet doen.

Ik zal je eerst uitleggen hoe je dergelijke ontbinding kan doen met een handig schema, daarna zullen we dat toepassen op de wortel van 5760.

Vinden van priemgetallen
Van priemgetallen weet je dat ze deelbaar zijn door exact 2 natuurlijke getallen, het is handig om te weten wat de kleinste priemgetallen zijn en hoe je die kan vinden als je ze niet vanbuiten kent. Hiervoor maak je best gebruik van de zeef van Eratosthenes die je waarschijnlijk wel gezien hebt. Ik ga de uitleg niet helemaal opnieuw doen, maar wel het resultaat gebruiken: de priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Priemfactoren
Om een getal x te ontbinden in priemfactoren, gaan we eerst en vooral slim te werk gaan. Van elk natuurlijk getal x kan aangetoond worden dat er een unieke ontbinding in priemfactoren bestaat en je voelt zo al aan dat elk van die priemfactoren kleiner zullen zijn dan x. Meer nog zelfs, er kan aangetoond worden dat alle priemfactoren niet groter zijn dan (lees: kleiner of gelijk aan) wortel(x) als je een niet-priem getal hebt, er een priemfactor kleiner dan of gelijk aan wortel(x) bestaat. Er zit wel degelijk logica achter die formule, maar neem op dit moment gewoon maar aan dat het klopt. Je kan dat getal gewoon met je rekenmachine berekenen, voor ons voorbeeld waar x = 5760 is, zullen je priemgetallen kleiner zijn dan 75,89. Als je dus x probeert te delen door alle priemgetallen tot kleiner dan of gelijk aan 75,89 zal je ofwel delers vinden ofwel er geen delers vinden (dan is je getal x een priemgetal en dus enkel deelbaar door 1 en x zelf).

Ontbinding in priemfactoren
Nu gaan we het getal x = 5760 ontbinden in priemfactoren. Dus we gaan gewoon beginnen met het kleinste priemgetal om te zien of het deelbaar is: 5760 is deelbaar door 2 (truc het laatste cijfer "0" is even, dus is het getal even). 5760/2 = 2500 + 350 + 30 = 2880. We zullen dit noteren in een schema om het overzicht te behouden:

5760  2
2880

Vervolgens passen we hetzelfde toe op het getal dat we bekomen hebben (2880) en we zien weer dat het deelbaar is door 2 en 2880 / 2 = 1440. Na enkele keren herhalen bekomen we volgend schema.

5760  2
2880  2
1440  2
 720  2
 360  2
 180  2
  90  2
  45

Maar nu merken we dat 45 niet deelbaar is door 2, we zullen dus verder proberen gaan met het volgende priemgetal: 3. 45 is deelbaar door 3 (truc: de som van de cijfers 4 + 5 = 9 en 9 is deelbaar door 3, dus is 45 deelbaar door 3). 45 / 3 = 15. 15 is ook weer deelbaar door 3, en 15 / 3 = 5. In het schema geeft dat het volgende:

5760  2
2880  2
1440  2
 720  2
 360  2
 180  2
  90  2
  45  3
  15  3
   5

5 is niet deelbaar door 3, dus we proberen weer het volgende priemgetal en dat is 5. 5 is deelbaar door 5 en geeft als resultaat 1. We vullen het schema aan en we merken dat het dus tijd wordt om te stoppen met rekenen.

5760  2
2880  2
1440  2
 720  2
 360  2
 180  2
  90  2
  45  3
  15  3
   5  5
   1

In de rechterkolom kan je nu de priemontbinding aflezen:
5760 = 2*2*2*2*2*2*2 * 3*3 * 5 = 2^7 * 3^2 * 5

Bovendien kan je ook van elk ander getal in het schema de priemontbinding zo aflezen door de rijen erboven weg te denken: bv. 180 = 2^2 * 3^2 * 5.

Wortels vereenvoudigen
Vervolgens kunnen we de wortels gaan vereenvoudigen. We gaan ons niet baseren op de regeltjes die jij gegeven hebt, maar op eigenschappen van wortels:

1. wortel(a) = a^(1/2)
2. wortel(a*b) = wortel(a) * wortel(b)
3. wortel(a^m) = a^(m/2)
4. wortel(a^m+n) = wortel(a^m) * wortel(aⁿ)

De eerste eigenschap is slechts een andere schrijfwijze, maar geeft wel aan dat je alle eigenschappen van machten kan hergebruiken in die vorm. Eigenschap 2 zegt dat de wortel van een product, gelijk is aan het product van de wortels. Eigenschappen 3 en 4 combineren die eigenschappen vooral (de laatste ken je van bij de machten waarschijnlijk ook al).

Dan wordt het vereenvoudigen van de wortels een kinderspel. Je begint door de priemfactorontbinding te gebruiken, vervolgens kan je per factor de eigenschappen toepassen en zoals jouw regeltjes al aangeven splits je bij oneven machten m de macht op in 1 + (m-1). Op het einde breng je de overblijvende wortels weer samen door eigenschap 2 van rechts naar links te gebruiken.

wortel(5760) = wortel(2⁷ 3² 5)
= wortel(2⁶⁺¹) * wortel(3²) * wortel(5)
= wortel(2⁶) * wortel(2) * 3^2/2 * wortel(5)
= 2^6/2 * 3 * wortel(2) * wortel(5)
= 2³ * 3 * wortel(10)
= 24 * wortel(10)

Alternatieve vereenvoudigingsmethode
Wat je met het vereenvoudigen dus eigenlijk probeert te doen is zo veel mogelijk factoren buiten de wortel te krijgen. Een manier die iets intuïtiever is (maar dus ook trager), is van het getal in de wortel steeds kwadratische factoren afsplitsen (dus bv. eens delen door 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...). Voor elke kwadratische factor x² kan je een factor x voor de wortel brengen. De priemontbinding helpt daar achterliggend gewoon in.

Bij jouw getal kan je bv. een 9 zien zitten, vermits het getal deelbaar is door 9 (truc: som van de cijfers is deelbaar door 9, 5 + 6 + 7 + 0 = 18 = 2 * 9, dus is 5760 deelbaar door 9). Direct een grote factor afsplitsen maakt het rekenwerk nadien meestal simpeler.
Dat geeft bv.:

wortel(5760) = wortel(9 * 640)
= wortel(3²) * wortel(640)
= 3 * wortel(640)
= 3 * wortel(64 * 10)
= 3 * wortel(8²) * wortel(10)
= 3 * 8 * wortel(10)
= 24 * wortel(10)

Voor hogeremachtswortels bestaan gelijkaardige eigenschappen, maar pas dus niet blindelings alles toe op derdemachtswortels!

Halleluja! Dank je wel!!!! Als ze me dat zo hadden uitgelegd, had ik het wel gesnapt. En dat trucje met de som van de cijfers is deelbaar door het getal waardoor je wilt delen, geldt dat altijd?

[ILUsion]

Help,help,help schreef:

Halleluja! Dank je wel!!!! Als ze me dat zo hadden uitgelegd, had ik het wel gesnapt. En dat trucje met de som van de cijfers is deelbaar door het getal waardoor je wilt delen, geldt dat altijd?

Neen, dat geldt niet altijd. Misschien had ik dat al even moeten vermelden, maar ik ken de volgende trucjes zo vanbuiten voor deelbaarheid:

• 2: Laatste cijfer is even (0, 2, 4, 6, 8); bv. 22, 2048 wel en 203 niet
• 3: som van de cijfers is deelbaar door 3; bv. 102, 300 en 189 wel maar 203 niet.
• 4: laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 4; bv. 124, 140, 260 wel maar 243842 niet
• 5: laatste cijfer is een 5 of een 0; bv 450 en 195 wel maar 132 niet
• 8: laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8; bv. 1064 en 1736 wel maar 1964 niet
• 9: de som van de cijfers is deelbaar door 9; bv. 189, 405 wel maar 102 niet
• 10: laatste cijfer is een 0; bv. 100, 20 en 4050 wel maar 203 niet
• 11: in de hondertallen: als je getal A.(A+B).B is, is dat getal deelbaar door 11 (en als A+B > 9, komen de tientallen daarvan bij het eerste cijfer bijgeteld), dus bv. 264 (A=2, B = 4) en 506 (A = 4, B = 6) zijn deelbaar door 11 maar 111 niet. Deze truc is vooral omgekeerd ook handig: als je A.B * 11 moet uitrekenen: 46 * 11 = 506
• 25: laatste 2 cijfers zijn 25, 50, 75 of 00

Voor andere getallen zoals 7, 11, 13 bestaan er ook uitgebreide/moeilijke regels, maar die ken ik niet vanbuiten. Een vollediger overzicht staat op WikiPedia.

Als je wat nadenkt, kan je de regeltjes ook combineren: bv. voor deelbaarheid door 6, moet je getal én deelbaar zijn door 2 én door 3. Voor deelbaarheid door 33, moet het getal deelbaar zijn door 3 en 11, etc.

Voor deelbaarheid door 8 moet het 3 maal deelbaar zijn door 2 (8 = 2^3), als het getal dus niet deelbaar is door 2 of 4 is het zeker niet deelbaar door 8. Let wel: door na te gaan dat een getal én deelbaar is door 2 én deelbaar door 4, heb je NIET aangetoond dat het deelbaar is door 8. Bv. 20 is deelbaar door 2 en deelbaar door 4, maar niet door 8 dat is omdat 8 een veelvoud is van 2 (en 4 is bovendien ook nog eens een veelvoud van 2).

Ter info: Voor de regels van 2, 4, 8 en 10 kan ik je ook intuïtief proberen uitleggen waarom die gelden: we werken met een decimale voorstelling, waarbij je dus je getal bv. A.B.C.D (bv. 1234) noteert, dat wilt dan zeggen A*10^3 + B*10^2 + C*10^1 + D*10^0 (dus bv. 1000 + 200 + 30 + 4). Voor het deeltal 2 is 10 de kleinste macht van 10 dat een veelvoud is van 2. Als je dus een getal A.B.C.D hebt, heb je in feite A.B.C * 10 + D. 10 is deelbaar door 2, dus 10 * A.B.C is dat ook dus dat bepaalt de deelbaarheid niet meer. De deelbaarheid hangt enkel nog af van D. Bij 4 is het gelijkaardig: 100 is de kleinste macht van 10 dat een veelvoud is van 4. Een getal A.B.C.D is eigenlijk A.B * 100 + C.D en op dezelfde manier zal enkel C.D nog uitmaken voor de deelbaarheid (vermits 100 * iets deelbaar is): als dat deelbaar is, zal het gehele getal dat ook zijn. Voor 8 exact dezelfde uitleg, maar met 1000 als kleinste macht van 10 en veelvoud van 8. Voor 10 is de kleinste macht van 10, 10 zelf en ook direct een veelvoud van 10.

Meer nog zelfs, er kan aangetoond worden dat alle priemfactoren [van x] niet groter zijn dan (lees: kleiner of gelijk aan) wortel(x).

wortel (101*2) = wortel (202) =~ 14,21
14,21 is toch zeker kleiner dan priemfactor 101?

[ILUsion]

Alg schreef:

Meer nog zelfs, er kan aangetoond worden dat alle priemfactoren [van x] niet groter zijn dan (lees: kleiner of gelijk aan) wortel(x).

wortel (101*2) = wortel (202) =~ 14,21
14,21 is toch zeker kleiner dan priemfactor 101?

Je hebt gelijk, ik heb daar iets verkeerd gezegd: ik heb twee dingen door elkaar gehaald. Wat wel juist is, is dat elke priemfactor van een getal kleiner of gelijk is aan de helft van dat getal (dat heb je zelf al mooi aangetoond, vermits de kleinst mogelijke priemfactor 2 is).

Aan de andere kant om te testen of een getal priem is of niet, kan je testen of het egtal deelbaar is door de priemgetallen tot wortel en als alle delingen niet uitkomen, heb je een priemgetal.

Mijn excuses voor de mogelijke verwarring.

Aha, dus als ik het goed heb, is tenminste één priemfactor van x kleiner of gelijk aan wortel x?

[ILUsion]

Alg schreef:

Aha, dus als ik het goed heb, is tenminste één priemfactor van x kleiner of gelijk aan wortel x?

Inderdaad. Intuitief kan ik het wel een beetje proberen uitleggen: stel je een getal x met 2 factoren (dus niet noodzakelijk priemfactoren!) voor; dus heb je x = p*q. Als je het geluk zou hebben dat , zie je die wortel al komen. In elk ander geval ga je hebben dat er 1 factor groter is dan die wortel en eentje kleiner.

Dat valt makkelijk aan te tonen: stel dat de factoren van x zijn p en q allebei toch groter zouden zijn dan de wortel van x, kan je ze noteren als de wortel van x + een positief getal. Ik voer dus de positieve getallen a en b in zodat:
en vermits p en q > m
Dan kunnen we x weer proberen uitrekenen, dat noteer ik als X:


Je ziet dus dat X niet gelijk is aan x (wat wel zo zou moeten zijn!), dus is het onmogelijk dat beide factoren groter zijn dan die wortel.

En je kan elk niet-priem getal opsplitsen in het product van 2 getallen (die hoeven niet priem te zijn), moet een van beide getallen kleiner zijn dan die wortel.

[Hanneke]

Alg schreef:

Aha, dus als ik het goed heb, is tenminste één priemfactor van x kleiner of gelijk aan wortel x?

Sterker, dat er maximaal één priemfactor van x groter is dan .