[Mechanica] Dubbel massa-veer systeem (Least Action Principle)

[Retinite]

He ik heb een vraag waar ik vast in zit. Een beetje kennis over het Least Action Principle is wel vereist.

Ik heb een dubbel massa veer styeem (verticaal) met een

[Mb]     Massa B
>
<Kb     Veer B
<
[Ma]    Massa A
>
<Ka     Veer A
>
Input

Nu moet ik via de Hamilton manier, minste actie principe, de

differentiaalvergelijking opstellen voor het systeem (x is verticale as):

Kinetische energie:
Ek=½MaX'a² + ½MbX'b²

Potentiele energie:
Ep=½KaXa² + ½KbXb²


Lagrangian:
L=Ek-Ep

dL/dX'a = MaX'a
dL/dX'b = MaX'b
dL/dXa = - KaXa+KbXb-KbXa
dL/dXb = Kb(Xa-Xb)

Dan oplossen door

dL/dXa-d/dt(dL/dX'a) = 0
dL/dXb-d/dt(dL/dX'b) = 0

te doen

Zo kom ik op twee differentiaalvergelijkingen:

Ma*d²Xa/dt² + (Ka+Kb)Xa-KbXb = 0

en

Mb*d²Xb/dt² + -Kb(Xa+Xb) = 0

maar deze zijn van elkaar afhankelijk.
Ik krijg ze niet ontkoppeld...

Weet iemand hoe dit moet ( het is een klassiek Dubbel massa veer systeem, maar ik kan geen (ook niet in mijn boeken of internet) de oplossing vinden)?.

Ik kan natuurlijk ook iets fout gedaan hebben natuurlijk.

Als iemand kan helpen (het idee op zn kop mag ook natuurlijk (hangend)) en als het kan ook gelijk met demping, maar dat moet niet zo moeilijk toe te voegen zijn als ik m uiteindelijk heb.

Alvast bedankt.

[GinnyPig]

Dit is al weer een tijd geleden voor mij, maar...

Wat je volgens mij kan doen is het geheel als matrix-notatie opschrijven. Dus iets als:

d/dt (x_a ; x_b) = (matrix) (x_a ; x_b)

Even de juiste elementen vinden van je matrix.

Vervolgens kan je de boel gaan diagonaliseren (oftewel, bepaal de eigenwaardes en de bijbehorende eigenvectoren). Je krijgt dan een nieuw probleem in de vorm van:

d/dt (x_c ; x_d) = (matrix-2)(x_c ; x_d)

Waarbij x_c en x_d lineaire combinaties zijn van x_a en x_b. Je nieuwe matrix is nu een diagonaalmatrix geworden met als elemenente de eigenwaardes, wat betekent dat dat de differentiaalvergelijking van x_c en x_d onafhankelijk van elkaar zijn.

Dit trucje kan uitgevoerd worden omdat al je operaties lineair zijn (je originele differentiaalvergelijking + het overgaan naar een nieuwe 'basis').