[WI] kansberekening

help help help wie kan mij helpen met m'n zeer dringende Wiskunde PO

laat op een theoretische en een empirische manier zien dat t volgende spel net niet eerlijk is:

aantal deelnemer: 2, namelijk A en B
gooi met vier dobbelstenen
als er geen enkele drie gegooid is krijgt a 1 punt
anders krijgt b 1 punt
winaar is degene die de meeste punten heeft

wie o wie is zo lief om mij uit de brand te helpen?

en deze:

Er zijn drie deelnemers, A, B en C
gooi met twee munten
bij twee keer kop krijgt a 1 punt
bij twee keer munt krijgt b 1 punt
bij een keer kop en een keer munt krijgt c 1 punt
de winnaar is degene die als eerst 10 punten heeft

???

alvast enorm bedankt!!!!

[Young Grow Old]

1e spel: Kijk naar de kans dat A het spel wint: Je moet kijken naar de kans dat je geen 3 gooit.
De kans dat je met 4 dobbelstenen geen 3 gooit, is (5/6)^4=0,482... en dus minder dan de helft. Als het spel eerlijk zou zijn, zouden beide kanten precies kans 0,5 moeten hebben om te winnen. (natuurlijk is de kans dat B wint nu 1-(5/6)^4, dit is iets meer rekenwerk: tel de kansen op precies 1 drie, precies 2 drieën, 3 drieën en 4 drieën bij elkaar op en dit zal rond de 0,52 liggen).
Empirisch onderzoeken wil gewoon zeggen dat je 4 dobbelstenen pakt en het spel een aantal keren speelt (houd de score bij en kijk of A en B ongeveer evenveel punten krijgen).

2e spel:
Alle drie de partijen zouden precies evenveel kans moeten hebben, wil het spel eerlijk zijn.
Kans voor A om te winnen:
hij wint alleen als er 2 keer kop gegooid wordt. Deze kans is 1/2*1/2=1/4.
Kans voor B om te winnen:
hij wint alleen als er 2 keer munt gegooid wordt. Deze kans is ook 1/2*1/2=1/4.
Kans voor C om te winnen:
hij wint als allebei de worpen verschillend zijn, maar de volgorde maakt niet uit. Oftewel: de eerste worp is willekeurig, bij de tweede worp heeft hij kans 1/2 om te winnen, in totaal dus kans 1/2.
Dit spel is dus oneerlijk, omdat C's kans om te winnen 2 keer zo groot is als die van A en B.
(andere manier om dit in te zien is een tabel maken:
worp 1 - worp 2 - winnaar
K K A
K M C
M K C
M M B

Alle 4 de mogelijkheden hebben een even grote kans, in 2 van de 4 gevallen wint C, in 1 A en in 1 B.)

[Young Grow Old]

Het tweede spel is trouwens wel eerlijk te maken (misschien wel leuk om te weten). Het enige wat moet gebeuren, is dat speler C een keuze moet maken tussen eerst kop en dan munt of andersom. Als de overgebleven combinatie gegooid wordt, krijgt niemand een punt. Zo hebben alle 3 de deelnemers steeds 1/3(!) kans op een punt:
speler A heeft 1/4 kans om direct een punt te krijgen en als niemand een punt krijgt (kans 1/4), heeft hij in de tweede ronde ook 1/4 kans op een punt en weer 1/4 in de derde ronde als de 4e combinatie gegooid wordt enz.
zijn kans om te winnen is dus 1/4+1/4*1/4+1/4*1/4*1/4+....
=1/4+(1/4)²+(1/4)³....
zoals je misschien weet, is de som van een rij
1+x+x²+x³+...=1/(1-x) als |x|<1
In dit geval is x=1/4 en heb je de term 1 niet, dus:
1/4+(1/4)²+(1/4)³....=1/(1-(1/4))-1=1/3.
Voor B en C kun je dezelfde berekening gebruiken