[WI] Analytische meetkunde

[Woopa]

Hallo iedereen!

Ik ben een vraagstukje tegengekomen omtrent analytische meetkunde in de cirkel. Zouden jullie me kunnen helpen het op te lossen? Bij voorbaat dank!

Bepaal vergelijkingen van de cirkels die door A(0,1) en B(1,2) gaan en die raken aan de x-as.

Het enige waar ik tot nu toe aan gekomen ben, is het invullen van deze punten in de vergelijking van een cirkel: c <-> (0 - x1)² + (1 - y1)² = r²
c <-> (1 - x1)² + (2 - y1)² = r²

En daar stopt het dan wel zo een beetje. Ik heb geen gegevens over het middelpunt, noch over de straal. Ik had al beide linkerleden aan elkaar gelijkgesteld en toen kwam ik x+y = 2 uit, waarmee ik ook niet echt geholpen was... Ik vermoed dat ik nog iets moet doen met "raken aan de x-as" maar ik heb geen flauw benul van wat...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen!

Mvg
Woopa

[mathfreak]

Als de cirkel de x-as moet raken, dan is de x-as dus een raaklijn aan deze cirkel. Laat M(a,b) het middelpunt van de cirkel door A(0,1) en B(1,2) zijn, dan is AB dus een koorde waarbij M op de middelloodlijn van de koorde ligt. Uit het gegeven dat de cirkel de x-as raakt volgt dat r = b. Maak nu gebruik van het gegeven dat M op de middelloodlijn van AB ligt en dat AM = BM = r. Bepaal aan de hand hiervan a en b en de gevraagde vergelijking(en) van de cirkel(s).

[Woopa]

De coördinaatgetallen van M, a en b, zijn dat in dit het begin nog willekeurige getallen? Aangezien het onbekenden zijn geven we ze een willekeurige naam?
Hoe kom je aan r = b? Ow ja, dat zie ik nu in! Juist ...

[mathfreak]

Woopa schreef:

De coördinaatgetallen van M, a en b, zijn dat in dit het begin nog willekeurige getallen? Aangezien het onbekenden zijn geven we ze een willekeurige naam?

Dat klopt. Je stelt het middelpunt als het ware bekend en probeert zo aan de hand van de overige gegevens de waarde(n) van a en b te vinden.

[Woopa]

Ik vind na de coördinaatgetallen ingevuld te hebben in de vergelijking van een cirkel, dit uitgewerkt te hebben en deze twee vergelijkingen daarna aan elkaar gelijk te stellen a + b = 2
Dan stel ik a gelijk aan b - 2. Die substitueer ik dan in één van de vergelijkingen van een cirkel, waarna ik een vierkantsvergelijking uitkom die me voor b 5 en 1 als uitkomsten geeft.
Die vul ik dan ook weer in een van de cirkelvergelijkingen, maar daar moet ik dan rekening houden met 2 uitkomsten. Gelukkig kan er ik altijd 1tje schrappen aangezien a + b steeds = 2. Ik denk dat ik het gevonden heb!
Erg veel bedankt!

[mathfreak]

Woopa schreef:

Ik denk dat ik het gevonden heb!
Erg veel bedankt!

Graag gedaan.

[Woopa]

Oké, tweede probleem is opgedoken ...

Gegeven de punten A(5,-2) en B(-2,3) en de rechte c <-> 2x - y - 4 = 0
Bepaal de punten C op de rechte c zodat de driehoek ABC rechthoekig is in C

Wat heb ik dus al berekend: de vergelijking van de rechte AB <-> -5x + 7y -11 = 0
En dan stropt het dus. Ik weet niet of driehoek ABC al dan niet gelijkbenig is en hoe ik kan werken met de regel dat het product van de rico's van rechten die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan -1.

Iemand die me op weg zou kunnen helpen?

[mathfreak]

Merk op dat voor C geldt dat y = 2x-4, dus je kunt C weergeven als C(a,2a-4). Er is gegeven dat de driehoek ABC rechthoekig is in C, dus AB is de schuine zijde en AC en BC zijn de rechthoekszijden. Druk nu de rico van lijn AC en BC uit in a en maak dan gebruiik van de regel dat het product van de rico's van rechten die loodrecht op elkaar staan gelijk is aan -1. Dit geeft dan de gevraagde waarde(n) voor a.

[Woopa]

Ik doe kennelijk iets verkeerd... Ik behoud gewoon x, en vul dan alles in. Dan krijg ik

* = -1

Dan moet je toch gewoon de tellers en de noemers met elkaar vermenigvuldigen, om vervolgens de noemer naar rechts te brengen en te vermenigvuldigen met -1?

Ik krijg dan als vierkantsvergelijking 5x² + 11x - 4 =0 welke me gigantische kommagetallen geeft als uitkomst... Waar wringt het schoentje?

Foutje al gevonden =) Y-coördinaat is 2x - 4, waardoor de situatie natuurlijk verandert
Bedankt voor de snelle hulp!

[mathfreak]

Woopa schreef:

Ik doe kennelijk iets verkeerd...

Nee, ik deed iets verkeerd. Ik had per vergissing y = 2x+4 gesteld, maar dat moet inderdaad y = 2x-4 zijn. Ik heb dat inmiddels in mijn vorige reply aangepast.

Woopa schreef:

Bedankt voor de snelle hulp!

Graag gedaan.