[WI] P.O. de snelste route

[Sjeik]

Hallo mensen,
Hoe moet ik beginnen met de praktische opdracht de snelste route die al een paar keer eerder besproken is?? Ik snap er niets van. Ik weet niet hoe je de formule moet opstellen, dus kan ik nergens mee beginnen. Ik kan de opdracht nog even nasturen als dat nodig is.
BVD

[Supersuri]

De opdracht erbij zou handig zijn.

[mathfreak]

Supersuri schreef op 12-04-2006 @ 14:12 :
De opdracht erbij zou handig zijn.

Zie in dat verband http://forum.scholieren.com/showthre...readid=1138000
en http://forum.scholieren.com/showthre...&threadid=8993

[Sjeik]

Een trimmer loopt over het strand.
Hij loopt over het harde zand langs de vloedlijn. In de verte ziet hij de duinovergang waar hij over moet. Als hij schuin het mulle zand oversteekt, legt hij
een minder grote afstand af dan wanneer hij helemaal doorloopt over het harde zand tot ter hoogte van de duinovergang en dan dwars oversteekt.
Maar op het mulle zand is zijn snelheid kleiner dan op het harde zand. Er is een route die hem het snelst naar de duinovergang zal voeren. De vraag is hoeveel meter voor de duinovergang hij dan het mulle zand op moet gaan.

Opdracht:
-Neem aan dat de trimmer op het harde zand
15 km/uur kan lopen en door het mulle zand
10 km/uur. Neem verder aan dat de breedte van het mulle zand 80 meter is.
Bereken voor deze situatie hoeveel meter voor de duinovergang hij het mulle zand op moet gaan om zo snel mogelijk bij de duinovergang te komen. Maak hierbij gebruik van de differentiaalrekening.

-Neem ook andere snelheden en breedtes van het strand en bereken voor deze situaties de snelste route.

-Neem aan dat er twee verschillende stroken mul zand zijn, elk met
een eigen breedte en waarop verschillende loopsnelheden haalbaar zijn.
Onderzoek voor enkele situaties hoe in zo'n geval de snelste route loopt.

-Dit probleem komt in een andere context voor in het achttiende eeuwse boek Recreations in Mathematics and Natural Philosophy van Jaques Ozanam.
Zoek eens uit welke context hier wordt bedoeld.

-Bedenk zelf enkele contexten waarin dit probleem zich zou kunnen voordoen.

-Dit probleem heeft te maken met de wet van Snellius. Licht dit toe en geef een oplossing van het probleem van de trimmer met behulp van de wet van Snellius. Gebruik hierbij meetkundige constructies.
Los ook de andere problemen die je bedacht hebt op met behulp van meetkundige constructies.


Ik weet niet met wat voor formule ik precies moet beginnen, bij andere topics staat de wet van Snellius maar ik weet niet hoe je die verder in moet vullen.

[pino123]

mathfreak schreef op 26-03-2005 @ 19:49 :
Die kun je afleiden uit de wet van Snellius. Er geldt namelijk: sin(i)/sin(r)=v₁/v₂=n, waarbij v₁ de snelheid in het harde zand en v₂ de snelheid in het mulle zand en n de brekingsindex voorstelt. Hieruit volgt dus: v₂=v₁/n. Omdat i in dit geval 90° is geldt ook: sin(r)=1/n. De enige ontbrekende gegevens zijn dan nog de lengte van AB en BC.

zo sprak mathfreak in dat andere topic

[Sjeik]

tsjah toch jammer dat niemand de hele opdracht heeft Toch bedankt. Ze zeggen dat je hier gebruik moet maken van een differentiaalrekening, daar heb ik dus nooit van gehoord. Kan iemand van jullie die opstellen?

[Barry K]

Er zijn genoeg mensen die een differentiaalrekening kunnen maken, maar daarvoor heb je de vraag nodig he..

[Supersuri]

Barry K schreef op 18-04-2006 @ 21:37 :
Er zijn genoeg mensen die een differentiaalrekening kunnen maken, maar daarvoor heb je de vraag nodig he..

Barry is in princiepe niet nodig. Je krijgt straks namelijk 1 formule. Iets met afstand en tijd. Die differentieer je en stel je gelijk aan 0 om het minimum te berekenen. Het moeilijkste is de juiste formule te berekenen.

[mathfreak]

Sjeik schreef op 18-04-2006 @ 20:16 :
tsjah toch jammer dat niemand de hele opdracht heeft Toch bedankt. Ze zeggen dat je hier gebruik moet maken van een differentiaalrekening, daar heb ik dus nooit van gehoord. Kan iemand van jullie die opstellen?

Met differentiaalrekening wordt het differentiëren van een functie bedoeld. De naam differentiaalrekening houdt verband met het feit dat je de afgeleide f'(x) kunt schrijven als f'(x)=d(f(x))/dx. Stel f(x)=y, dan is dit te schrijven als f'(x)=dy/dx, waarbij dy/dx het zogenaamde differentiaalquotiënt voorstelt. Dit is geen echt quotiënt, maar de grenswaarde van (f(x+h)-f(x))/h als h naar 0 gaat.

[Sjeik]

Dankjewel

[Sjeik]

En weten jullie toevallig ook hoe je een wortelfunctie differentieert?

[mathfreak]

Sjeik schreef op 21-04-2006 @ 10:38 :
En weten jullie toevallig ook hoe je een wortelfunctie differentieert?

De afgeleide van sqrt(x)=x^1/2 is 1/2*x^1/2-1=1/2*x^-1/2=1/2*1/sqrt(x). Staat er onder het wortelteken een functie, dus zeg g(x)=sqrt(f(x)), dan geldt volgens de kettingregel: g'(x)=1/2*f'(x)/sqrt(f(x)).

[Sjeik]

sqrt(x^2+60^2)/10 + sqrt((200-x)^2+20^2)/15

Die functie moet ik differentieren, maar ik kom er niet uit. kwadrateren mag niet geloof ik? Sorry voor de overdosis vragen, maar alvast heel bedankt!

[Supersuri]

Sjeik schreef op 21-04-2006 @ 11:23 :
sqrt(x^2+60^2)/10 + sqrt((200-x)^2+20^2)/15

Die functie moet ik differentieren, maar ik kom er niet uit. kwadrateren mag niet geloof ik? Sorry voor de overdosis vragen, maar alvast heel bedankt!

Dacht dat je de kettingregel moest gebruiken. De differientiaal van sqrt is trouwens 1/2*sqrt (mocht je dat niet weten)

Ik denk dat je dan krijgt. ( /10 = *0.1)
(200-x)^2=200^2-x^2-400x

(0.1/(2*sqrt(x^2+60^2))*2x + (1/15)*1/(2*sqrt((200-x)^2 +20/2) * -2x -400

Ik denk dat het zo klopt en anders verbeterd mathfreak ofzo het wel

[mathfreak]

Supersuri schreef op 21-04-2006 @ 11:42 :
Dacht dat je de kettingregel moest gebruiken. De differientiaal van sqrt is trouwens 1/2*sqrt (mocht je dat niet weten)

Dat klopt niet. De afgeleide van xⁿ is n*x^n-1, dus voor n=1/2 vind je dan dat sqrt(x) de afgeleide 1/2*1/sqrt(x) heeft.

@Sjeik: Je hebt hier te maken met de som van 2 wortelfuncties, namelijk f(x)=sqrt(x²+60²)/10=1/10*sqrt(x²+60²)
=1/10*(x²+60²)^1/2 en g(x)=sqrt((200-x)²+20²)/15=1/15*sqrt((200-x)²+20²)
=1/15*((200-x)²+20²)^1/2. Toepassen van de kettingregel geeft: f'(x)=1/2*1/10*2*x*(x²+60²)^-1/2=1/10*x/sqrt(x²+60²) en g'(x)=1/2*1/15*-2*((200-x)²+20²)^-1/2
=-1/15*1/sqrt((200-x)²+20²). Er moet nu gelden: f'(x)+g'(x)=0, dus f'(x)=-g'(x), dus 1/10*x/sqrt(x²+60²)=1/15*1/sqrt((200-x)²+20²), dus 1/10*x*sqrt((200-x)²+20²)=1/15*sqrt(x²+60²). Links en rechts met 30 vermenigvuldigen geeft: 3*x*sqrt((200-x)²+20²)=2*sqrt(x²+60²). Links en rechts kwadrateren geeft: 9*x²((200-x)²+400)=4(x²+3600), dus 9*x²(40000-400*x+x²+400)=4(x²+3600), dus 9*x²(x²-400*x+40400)=4(x²+3600), dus 9*x⁴-3600*x³+363600*x²=4*x²+14400, dus 9*x⁴-3600*x³+362596*x²-14400=0. Deze vergelijking los je op met behulp van je grafische rekenmachine. Dit geeft dan je gevraagde x.

[Supersuri]

he de afgeleide van sqrt(x) is dacht ik toch echt 1/(2*sqrt(x)

Mathfreak (1/2) * 1/(sqrt(x) = 1/(2*sqrt(x) toch? Dus klopte wel wat ik zei. Teller * Teller en noemer * noemer bij breuken vermenigvuldigen.

(zo staat die geloof ik ook in wistforta als 1/(2*sqrt(x). )

Ow ik was haakjes vergeten bij mijn eerste post zie ik nu. Nu snap ik ook hoezo jij zei dat het fout was.

Sorry

[Sjeik]

Mathfreak (en supersuri ) super bedankt. dit is namelijk wiskunde die ik in de lessen op school nog nooit heb behandeld. zonder jullie had ik het niet op kunnen lossen.
good job

[Sjeik]

1/15*((200-x)²+20²)1/2---> bij deze functie moet je bij het differentieren 20 kwadraat toch weglaten?

[Not for Sale]

Sjeik schreef op 27-04-2006 @ 21:07 :
1/15*((200-x)²+20²)1/2---> bij deze functie moet je bij het differentieren 20 kwadraat toch weglaten?

Beter eerst de haakjes wegwerken. Maar inderdaad, constante factoren, dus cijfers zonder een x erin, hebben nul als afgeleide, dus die vallen weg.

[TD]

Not for Sale schreef op 27-04-2006 @ 22:25 :
Beter eerst de haakjes wegwerken. Maar inderdaad, constante factoren, dus cijfers zonder een x erin, hebben nul als afgeleide, dus die vallen weg.

Constante termen hebben 0 als afgeleide, een factor die voor een functie van x staat komt door de lineariteit gewoon voorop, dat wordt niet 0. Dus als c niet van x afhangt, dan is D(c) = 0 maar D(c.f(x)) = c.f'(x).

[Not for Sale]

TD schreef op 27-04-2006 @ 22:59 :
Constante termen hebben 0 als afgeleide, een factor die voor een functie van x staat komt door de lineariteit gewoon voorop, dat wordt niet 0. Dus als c niet van x afhangt, dan is D(c) = 0 maar D(c.f(x)) = c.f'(x).

Ja, term, dat bedoelde ik.

[geko]

mathfreak schreef op 21-04-2006 @ 13:10 :
dus 9*x⁴-3600*x³+362596*x²-14400=0. Deze vergelijking los je op met behulp van je grafische rekenmachine. Dit geeft dan je gevraagde x.

@mathfreak, ik doe samen met Sjeik deze opdracht, dankzij jullie zijn we heel ver, maar wat je hier zegt: met hulp van GR, hoe? mijn GR geeft eigenlijk iets onmogelijks! Kun je met getallen komen?

bedankt!

geko schreef op 09-05-2006 @ 20:08 :
@mathfreak, ik doe samen met Sjeik deze opdracht, dankzij jullie zijn we heel ver, maar wat je hier zegt: met hulp van GR, hoe? mijn GR geeft eigenlijk iets onmogelijks! Kun je met getallen komen?

bedankt!

Waarschijnlijk zijn er een paar oplossingen. Je kan het beste eerst schatten wat het antwoord ongeveer moet zijn en in dat domein zoeken.

[geko]

Snees schreef op 09-05-2006 @ 20:49 :
Waarschijnlijk zijn er een paar oplossingen. Je kan het beste eerst schatten wat het antwoord ongeveer moet zijn en in dat domein zoeken.

Ik heb ze uitgerekend, x=0,2.. dit nu invullen in de oorspronkelijke functie?

geko schreef op 09-05-2006 @ 20:54 :
Ik heb ze uitgerekend, x=0,2.. dit nu invullen in de oorspronkelijke functie?

Ik weet niet wat de 'betekenis' van de oorspronkelijke functie is, maar in principe is dat het resultaat.

[geko]

Snees schreef op 09-05-2006 @ 20:59 :
Ik weet niet wat de 'betekenis' van de oorspronkelijke functie is, maar in principe is dat het resultaat.

zal wel kloppen tnQ

[langeauke]

Zouden jullie me alsjeblieft het eerste deel van de opdracht kunnen mailen of hierop kunnen zetten ben ik beetje op weg en trwns wat betekent sqrt
alvast bedankt

[langeauke]

trwns me mail is langeauke@hotmail.com

[mathfreak]

langeauke schreef op 15-05-2006 @ 11:46 :
Zouden jullie me alsjeblieft het eerste deel van de opdracht kunnen mailen of hierop kunnen zetten ben ik beetje op weg en trwns wat betekent sqrt
alvast bedankt

Met sqrt(x) wordt de (vierkants)wortel (square root) uit x bedoeld. In de tweede reply van Sjeik staat de opdracht in zijn geheel vermeld.

ik zit ook weer met hetzelfde probleem ivm de snelste route. Ik wil het graag zelf doen, maar kom maar niet uit de formule. ik ga het proberen zelf te differentieren, maar hoe gaat de normale formule?
Ik zie nergens in de berichten de normale formule staan namelijk.
Alvast heel erg bedankt!!

[Barry K]

pieter1234 schreef op 27-02-2007 @ 22:50 :
ik zit ook weer met hetzelfde probleem ivm de snelste route. Ik wil het graag zelf doen, maar kom maar niet uit de formule. ik ga het proberen zelf te differentieren, maar hoe gaat de normale formule?
Ik zie nergens in de berichten de normale formule staan namelijk.
Alvast heel erg bedankt!!

Je kan beter een nieuw topic openen, dit topic is al bijna een jaar oud.