[WI] Partieel integreren
 

Stel, we gaan de volgende integraal partieel integreren:

((integraal) stelt het integraalteken voor)

(integraal) (1/x)dx

Dan nemen we:

U = 1/x
dU/dx = -1/(x^2)
dU = (-1/(x^2))dx

dV = dx
dV/dx = 1
V = x

Volgt:

(integraal) (1/x)dx = UV - (integraal) VdU

(integraal) (1/x)dx = 1 - (integraal) (-x/(x^2))dx

(integraal) (1/x)dx = 1 + (integraal) (1/x)dx

Waaruit blijkt: 0 = 1.

Wat doe ik fout?

Aparte manier van partieel integreren heb je.

Maar goed, het antwoord:

Spoiler? 't Is geen film-forum hier.. :d

Stel x=e^t, dan geldt: dx=e^t*dt, dus 1/x*dx=e^-t**e^t*dt=1*dt=dt=d(ln(x))=1/x*dx, dus int(1/x*dx)=int[d(ln(x))]=ln(x)+c. Je ziet dus dat je in dit geval via de substitutiemethode de gevraagde primitieve van 1/x kunt vinden. Partieel integreren werkt hier niet omdat xⁿ voor n=-1 niet de primitieve
1/(n+1)*xⁿ⁺¹ heeft, terwijl dat voor alle andere waarden van n wel het geval is.

Bedankt voor jullie antwoorden. Overigens is het natuurlijk duidelijk dat je zo'n integraal d.m.v. substitutie oplost, maar het was slecht voor de 'l'art pour l'art' ;)

Waarom zou partieel integreren niet werken?

(Integraal) 1/x dx =
(Integraal) [x]'*1/x dx =
x * 1/x - (Integraal) x*[1/x]' dx =
1 - (Integraal) x*(-1/x²) dx =
1 + (Integraal) 1/x dx

Dat het niet de primitieve geeft, ok. Maar het kan wel ;).

Maar zoals ik al zei, dit levert alleen een extra constante op die bij primitiveren toch wegvalt.


:/

de intergraal van 1/x is gewoon ln(x)

lol

fout: de primitieve van 1/x is ln |x| en niet ln x. bij de eerste geldt het domein <0,-->>, bij de tweede is ie <<--,0> en <0,-->>.