[WI] Partieel integreren

Stel, we gaan de volgende integraal partieel integreren:

((integraal) stelt het integraalteken voor)

(integraal) (1/x)dx

Dan nemen we:

U = 1/x
dU/dx = -1/(x^2)
dU = (-1/(x^2))dx

dV = dx
dV/dx = 1
V = x

Volgt:

(integraal) (1/x)dx = UV - (integraal) VdU

(integraal) (1/x)dx = 1 - (integraal) (-x/(x^2))dx

(integraal) (1/x)dx = 1 + (integraal) (1/x)dx

Waaruit blijkt: 0 = 1.

Wat doe ik fout?

[GinnyPig]

Aparte manier van partieel integreren heb je.

Maar goed, het antwoord:

Spoiler

Je mag die integralen niet tegen elkaar wegstrepen. Wat er in feite staat is namelijk: "de primieve is gelijk aan, de primitieve + een constante". Aangezien je bij integreren altijd een erbij constante krijgt is er dus niks aan de hand.

Je kan ook de integraal grenzen geven. Dan zie je ook dat de extra term gewoon wegvalt.

[snookdogg85]

GinnyPig schreef op 28-12-2004 @ 01:27 :
Aparte manier van partieel integreren heb je.

Maar goed, het antwoord:

Spoiler

Je mag die integralen niet tegen elkaar wegstrepen. Wat er in feite staat is namelijk: "de primieve is gelijk aan, de primitieve + een constante". Aangezien je bij integreren altijd een erbij constante krijgt is er dus niks aan de hand.

Je kan ook de integraal grenzen geven. Dan zie je ook dat de extra term gewoon wegvalt.

Spoiler? 't Is geen film-forum hier..

[mathfreak]

Gastje1 schreef op 27-12-2004 @ 23:34 :
Stel, we gaan de volgende integraal partieel integreren:

((integraal) stelt het integraalteken voor)

(integraal) (1/x)dx

Dan nemen we:

U = 1/x
dU/dx = -1/(x^2)
dU = (-1/(x^2))dx

dV = dx
dV/dx = 1
V = x

Volgt:

(integraal) (1/x)dx = UV - (integraal) VdU

(integraal) (1/x)dx = 1 - (integraal) (-x/(x^2))dx

(integraal) (1/x)dx = 1 + (integraal) (1/x)dx

Waaruit blijkt: 0 = 1.

Wat doe ik fout?

Stel x=e^t, dan geldt: dx=e^t*dt, dus 1/x*dx=e^-t**e^t*dt=1*dt=dt=d(ln(x))=1/x*dx, dus int(1/x*dx)=int[d(ln(x))]=ln(x)+c. Je ziet dus dat je in dit geval via de substitutiemethode de gevraagde primitieve van 1/x kunt vinden. Partieel integreren werkt hier niet omdat xⁿ voor n=-1 niet de primitieve
1/(n+1)*xⁿ⁺¹ heeft, terwijl dat voor alle andere waarden van n wel het geval is.

Bedankt voor jullie antwoorden. Overigens is het natuurlijk duidelijk dat je zo'n integraal d.m.v. substitutie oplost, maar het was slecht voor de 'l'art pour l'art'

[GinnyPig]

Waarom zou partieel integreren niet werken?

(Integraal) 1/x dx =
(Integraal) [x]'*1/x dx =
x * 1/x - (Integraal) x*[1/x]' dx =
1 - (Integraal) x*(-1/x²) dx =
1 + (Integraal) 1/x dx

Dat het niet de primitieve geeft, ok. Maar het kan wel .

Maar zoals ik al zei, dit levert alleen een extra constante op die bij primitiveren toch wegvalt.

snookdogg85 schreef op 28-12-2004 @ 10:45 :
Spoiler? 't Is geen film-forum hier..

:/

de intergraal van 1/x is gewoon ln(x)

[GinnyPig]

lol

[sdekivit]

fout: de primitieve van 1/x is ln |x| en niet ln x. bij de eerste geldt het domein <0,-->>, bij de tweede is ie <<--,0> en <0,-->>.