[WI] Lineaire Algebra
 

Breng de volgende kromme in R² op hoofdassen en bepaal de aard van de kromme. Bepaal ook de vergelijkingen van de symmetrieassen in x₁,x₂-coördinaten.

4x₁²-12x₁x₂ + 9x₂² -7x₁ +4x₂ = 12

Ik krijg: (heb als coördinaten om naartoe te transformeren maar even y₁,y₂ genomen)

(y₂-sqrt(13))² - sqrt(13)y₁ = 25

Het juiste antwoord is:

13(y₁ - 1/sqrt(13))² - sqrt(13)(y₂ + sqrt(13)) = 0

y₁ en y₂ kunnen omgewisseld worden. Wat doe ik fout?

Het kan ongetwijfeld korter en eenvoudiger, zeker voor R², maar ik heb het zelf even gedaan via een 'algemene methode' om kwadrieken naar de Euclidische standaardvorm te herleiden.

In het algemeen is een kwadratische functie te schrijven als:
X^tAX + 2BX + C waarbij:
X de matrix van de onbekenden
A de matrix met op de hoofddiagonaal de coëff. van de kwadraten, en (symmetrisch) op de nevendiagonaal de helft vd coëff. van de gemengde term.
B de matrix met de helft vd coëff. van de lineaire termen
C de constante

A is reëel en symmetrisch, dus diagonalizeerbaar. De matrix (M) van de eigenvectoren van A vormen dan de nieuwe basis (weliswaar genormaliseerd).

De nieuwe vergelijking wordt dan gegeven door:
X'^tM^tAMX' + 2BMX' + C
waarbij dus M^tAM de diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de hoofddiagonaal (hier 13 en 0) is en X' de matrix van de 'nieuwe' onbekenden.

Als je deze berekening uitvoert krijg je:
13x² + 2√13x - √13y - 12 = 0
(√13x+1)² - √13(y + √13) = 0

Blijkbaar verschilt dit een teken in de eerste term met jouw uitkomst, mss heb ik ergens een tekenfoutje gemaakt :confused:

Je volgt dezelfde methode als mijn boek (makkelijker zal het dus wel niet kunnen). Ik zal het morgen nog eens nakijken.