[WI] Lineaire Algebra

Breng de volgende kromme in R² op hoofdassen en bepaal de aard van de kromme. Bepaal ook de vergelijkingen van de symmetrieassen in x₁,x₂-coördinaten.

4x₁²-12x₁x₂ + 9x₂² -7x₁ +4x₂ = 12

Ik krijg: (heb als coördinaten om naartoe te transformeren maar even y₁,y₂ genomen)

(y₂-sqrt(13))² - sqrt(13)y₁ = 25

Het juiste antwoord is:

13(y₁ - 1/sqrt(13))² - sqrt(13)(y₂ + sqrt(13)) = 0

y₁ en y₂ kunnen omgewisseld worden. Wat doe ik fout?

[TD]

Het kan ongetwijfeld korter en eenvoudiger, zeker voor R², maar ik heb het zelf even gedaan via een 'algemene methode' om kwadrieken naar de Euclidische standaardvorm te herleiden.

In het algemeen is een kwadratische functie te schrijven als:
X^tAX + 2BX + C waarbij:
X de matrix van de onbekenden
A de matrix met op de hoofddiagonaal de coëff. van de kwadraten, en (symmetrisch) op de nevendiagonaal de helft vd coëff. van de gemengde term.
B de matrix met de helft vd coëff. van de lineaire termen
C de constante

A is reëel en symmetrisch, dus diagonalizeerbaar. De matrix (M) van de eigenvectoren van A vormen dan de nieuwe basis (weliswaar genormaliseerd).

De nieuwe vergelijking wordt dan gegeven door:
X'^tM^tAMX' + 2BMX' + C
waarbij dus M^tAM de diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de hoofddiagonaal (hier 13 en 0) is en X' de matrix van de 'nieuwe' onbekenden.

Als je deze berekening uitvoert krijg je:
13x² + 2√13x - √13y - 12 = 0
(√13x+1)² - √13(y + √13) = 0

Blijkbaar verschilt dit een teken in de eerste term met jouw uitkomst, mss heb ik ergens een tekenfoutje gemaakt

Je volgt dezelfde methode als mijn boek (makkelijker zal het dus wel niet kunnen). Ik zal het morgen nog eens nakijken.