inf van een uitdrukking
 

oi hoi..
ik zit hier met een leuk vraagje
als x,y,z>0 en x+y+z=1
wat is inf( x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy))

ik had iets gevonden van 3/2
maar volgens mij is dit niet voldoende...
any help? ((geen differentieren aub..))

Geen differentiëren? Helaas dan...

mm... of weet ej wat, het antwoord moet zonder differentieren, maar om te checken laat zien ho eda tmoet met differentieren..
hopelijk is die uitdrukking>=3/2

Wellicht het infimum. Het infimum is de grootste ondergrens van een verzameling.

Voor de volledigheid:

Een ondergrens van een deelverzameling V van de verzameling van de reele getallen is een x uit V precies zo dat x <= v voor alle v uit V.

Een infimum van V is een x uit de verzameling reele getallen waarvoor:
- x een ondergrens van V is;
- als y uit V een ondergrens van V is, dan geldt y <= x.

ja dit!

Even uit mijn hoofd: ik kom op 3/4 als inf.

Als je zo naar de opgave kijkt, lijkt het volledig symmetrisch, dus moeten alle variabelen dezelfde waarde hebben. Dit zou ze allemaal 1/3 maken.

Dan (1/9) / (3/9 + 1/9) = 1/4

3 * 1/4 = 3/4

Het infimum hoeft niet in V zelf te zitten.

Voorbeeld, de verzameling (interval): (0,1) heeft als infimum 0 (en supremum 1 trouwens) terwijl die elementen niet in V zelf zitten.

ik dacht x+y=1-z>=0 dus 1>=z enzo x en y
x²<=1
zy<=1 dus x+zy<=2
1/2<=1/(x+zy) dus -1/(x+zy)<=-1/2
dus -x²/(x+zy)<=-1/2
dus 1/2<=x²/(x+zy)
en op symmetrische wijze krijgen dezelfde resultaten.
en uiteindelijk 3/2<= x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy)
maar of dit wel het inf is...

wat was de algemene procedure om aan tonen dat een element het infimum is van een verzameling?

Laat V een gegeven verzameling zijn, dan is o een ondergrens van V als voor alle x uit V geldt: o <= x. Laat O een deelverzameling van V zijn die alle ondergrenzen van V bevat, dan is inf(V) het grootste element van O.

deze stap in je bewijs klopt niet, neem maar x=y=z=1/3, dan

-1 / (4/9) <= -1/2

maar niet -(1/9) / (4/9) <= -1/2

oh zeker die fout weer, ik snap wat fout ging, bij positief*negatief moet je het tekentje <= keren.

maar even over differentieren:
je kunt schrijven z=1-x-y en vervangen in de formule, je krijgt dan iets met twee variabelen denk ik.
dan kun je wel differentien zonder veel moeite,
een andere halfoplossing die nog een bewijs nodig heeft:
als x nul nadert dan nadert de som naar y+z de waarde 1. De hele boel nadert hierdoor naar 1, dus inf(...) =1