inf van een uitdrukking

[mastertime]

oi hoi..
ik zit hier met een leuk vraagje
als x,y,z>0 en x+y+z=1
wat is inf( x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy))

ik had iets gevonden van 3/2
maar volgens mij is dit niet voldoende...
any help? ((geen differentieren aub..))

[TD]

Geen differentiëren? Helaas dan...

[mastertime]

TD schreef op 28-05-2005 @ 18:51 :
Geen differentiëren? Helaas dan...

mm... of weet ej wat, het antwoord moet zonder differentieren, maar om te checken laat zien ho eda tmoet met differentieren..
hopelijk is die uitdrukking>=3/2

[Integer]

Wellicht het infimum. Het infimum is de grootste ondergrens van een verzameling.

[Integer]

Voor de volledigheid:

Een ondergrens van een deelverzameling V van de verzameling van de reele getallen is een x uit V precies zo dat x <= v voor alle v uit V.

Een infimum van V is een x uit de verzameling reele getallen waarvoor:
- x een ondergrens van V is;
- als y uit V een ondergrens van V is, dan geldt y <= x.

[mastertime]

Integer schreef op 28-05-2005 @ 19:43 :
Voor de volledigheid:

Een ondergrens van een deelverzameling V van de verzameling van de reele getallen is een x uit V precies zo dat x <= v voor alle v uit V.

Een infimum van V is een x uit V waarvoor:
- x een ondergrens van V is;
- als y uit V een ondergrens van V is, dan geldt y <= x.

ja dit!

Even uit mijn hoofd: ik kom op 3/4 als inf.

Als je zo naar de opgave kijkt, lijkt het volledig symmetrisch, dus moeten alle variabelen dezelfde waarde hebben. Dit zou ze allemaal 1/3 maken.

Dan (1/9) / (3/9 + 1/9) = 1/4

3 * 1/4 = 3/4

[GinnyPig]

Integer schreef op 28-05-2005 @ 19:43 :
Voor de volledigheid:

Een ondergrens van een deelverzameling V van de verzameling van de reele getallen is een x uit V precies zo dat x <= v voor alle v uit V.

Een infimum van V is een x uit V waarvoor:
- x een ondergrens van V is;
- als y uit V een ondergrens van V is, dan geldt y <= x.

Het infimum hoeft niet in V zelf te zitten.

[TD]

Voorbeeld, de verzameling (interval): (0,1) heeft als infimum 0 (en supremum 1 trouwens) terwijl die elementen niet in V zelf zitten.

[mastertime]

mastertime schreef op 28-05-2005 @ 18:48 :
oi hoi..
ik zit hier met een leuk vraagje
als x,y,z>0 en x+y+z=1
wat is inf( x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy))

ik had iets gevonden van 3/2
maar volgens mij is dit niet voldoende...
any help? ((geen differentieren aub..))

ik dacht x+y=1-z>=0 dus 1>=z enzo x en y
x²<=1
zy<=1 dus x+zy<=2
1/2<=1/(x+zy) dus -1/(x+zy)<=-1/2
dus -x²/(x+zy)<=-1/2
dus 1/2<=x²/(x+zy)
en op symmetrische wijze krijgen dezelfde resultaten.
en uiteindelijk 3/2<= x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy)
maar of dit wel het inf is...

[mastertime]

mastertime schreef op 29-05-2005 @ 01:33 :
ik dacht x+y=1-z>=0 dus 1>=z enzo x en y
x²<=1
zy<=1 dus x+zy<=2
1/2<=1/(x+zy) dus -1/(x+zy)<=-1/2
dus -x²/(x+zy)<=-1/2
dus 1/2<=x²/(x+zy)
en op symmetrische wijze krijgen dezelfde resultaten.
en uiteindelijk 3/2<= x²/(x+zy)+y²/(y+xz)+z²/(z+xy)
maar of dit wel het inf is...

wat was de algemene procedure om aan tonen dat een element het infimum is van een verzameling?

[mathfreak]

mastertime schreef op 29-05-2005 @ 11:54 :
wat was de algemene procedure om aan tonen dat een element het infimum is van een verzameling?

Laat V een gegeven verzameling zijn, dan is o een ondergrens van V als voor alle x uit V geldt: o <= x. Laat O een deelverzameling van V zijn die alle ondergrenzen van V bevat, dan is inf(V) het grootste element van O.

mastertime schreef op 29-05-2005 @ 01:33 :
[B...
1/2<=1/(x+zy) dus -1/(x+zy)<=-1/2
dus -x²/(x+zy)<=-1/2
...

[/B]

deze stap in je bewijs klopt niet, neem maar x=y=z=1/3, dan

-1 / (4/9) <= -1/2

maar niet -(1/9) / (4/9) <= -1/2

[mastertime]

BezoerASas schreef op 29-05-2005 @ 23:36 :
deze stap in je bewijs klopt niet, neem maar x=y=z=1/3, dan

-1 / (4/9) <= -1/2

maar niet -(1/9) / (4/9) <= -1/2

oh zeker die fout weer, ik snap wat fout ging, bij positief*negatief moet je het tekentje <= keren.

maar even over differentieren:
je kunt schrijven z=1-x-y en vervangen in de formule, je krijgt dan iets met twee variabelen denk ik.
dan kun je wel differentien zonder veel moeite,
een andere halfoplossing die nog een bewijs nodig heeft:
als x nul nadert dan nadert de som naar y+z de waarde 1. De hele boel nadert hierdoor naar 1, dus inf(...) =1