[WB2] Vreemde opgave
 

Gegeven is de functie f(x)= (6-x) * wortel(x)
Op de grafiek van f ligt het punt A met 0 < xa < 6.
(xa is de x-coordinaat van het punt A)
Het punt B is de loodrechte projectie van A op de x-as.
Stel xa = p.
Bereken algebraisch voor welke waarde van p de oppervlakte O van de driehoek OAB minimaal is.

Deze oefenopgave kreeg ik van mijn docent. Nu had ik eerst niet goed gelezen :o en de maximale oppervlakte berekend. Nu blijkt het dus om de minimale oppervlakte te gaan. Ik vind dit 'n beetje 'n vreemde vraag. Hoe pak ik dat aan? En is dat niet gewoon als p net iets groter is dan 0, of net iets kleiner dan 6?

Bij het berekenen van de maximale oppervlakte heb je een formule opgesteld en daar het maximum van berekend (een top dus), toch? Dan kan je ook het minimum uitrekenen, lijkt mij.

Volgens formule is de oppervlakte van de driehoek dan: 0,5p(6-p)wortel(p). (0,5*basis*hoogte).

Dit heb ik gedifferentieerd;
4,5*wortel(p)-1,25p*wortel(p)
De afgeleide gelijk gesteld aan 0. Hiermee kreeg ik p = 0 of p = 3,6.

Aangezien p groter moet zijn dan 0, is alleen de oplossing p=3,6 goed.

Maar goed, bij p=3,6 is de oppervlakte van de driehoek dus maximaal. En er wordt naar een minimale oppervlakte gevraagd :s

Berekening correct!
Teken de grafiek van zowel f als van de opp met de GR.
Opp is min 0 als p=0 of p=6 en max als p=18/5=3,6.
p=6 geeft O'(p)=-3√6 (?), maar ja de opp kan nooit <0 zijn!

Opm: waarom kan p=0 niet?

Omdat:

De oppervlakte kan dus niet 0 zijn. Ik vraag me dus af of ze willen weten hoe groot p is, bij een oppervlakte van 0,000000000000000000000000000000001 (bij wijze van spreken), of dat 't woord 'minimaal' gewoon een drukfout is geweest en 'maximaal' moet zijn...

Je weet dat A op de grafiek van f ligt, dus A=(x,(6-x)*sqrt(x)). Als de x-coördinaat van A gelijk is aan p, is de y-coördinaat gelijk aan (6-p)*sqrt(p). Omdat B de loodrechte projectie van A op de x-as is, is B het punt (p,0). We hebben nu een rechthoekige driehoek OAB met basis OA=p en hoogte AB=(6-p)*sqrt(p), dus de oppervlakte O(p) van driehoek OAB is dan 1/2*p(6-p)*sqrt(p)=(3*p-1/2*p²)*sqrt(p). Differentiëren naar p geeft: O'(p)=(3-p)*sqrt(p)+(1 1/2*p-1/4*p²)/sqrt(p)=(4 1/2*p-1 1/4*p²)/sqrt(p). Voor het maximum of minimum van O moet dan gelden: O'(p)=0,
dus 4 1/2*p-1 1/4*p²=0, dus 1/4*p(18-5*p)=0, dus p=0 of p=18/5=3 3/5. Voor p=0 is O(p) gelijk aan 0, dus moet gelden: p=3 3/5. Dit geeft als gevraagde oppervlakte O(p)=(10 1/5-6 12/25)*sqrt(3 3/5)
=(3 18/25)*sqrt(3 3/5)=(3 18/25)*3*sqrt(2)/sqrt(5)
=1/5*(3 18/25)*3*sqrt(10)=3/5*93/25*sqrt(10)=279/125*sqrt(10)
=2 29/125*sqrt(10).

Als de grenzen niet meedoen is er geen min opp!!!

@Mathfreak: ook jij berekent hier de MAXIMALE oppervlakte. De vraag is echter de MINIMALE oppervlakte te berekenen...

Zoals Safe al aangaf is die er niet, aangenomen dat p=0 en p=6 buiten beschouwing worden gelaten. Ga er maar van uit dat er in plaats van een minimale om een maximale oppervlakte gevraagd werd, en dat er mogelijk inderdaad sprake was van een fout in de opgave.

De minimale oppervlakte is nul. Dat komt omdat je de driehoek willekeurig klein kunt maken.

Om het even wat inzichtelijker te maken:

Stel dat de driehoek OAB x-coördinaat xa heeft.
Dan is de oppervlakte gelijk aan (1/2)sqrt(xa)*(6-xa)*xa
Neem nu de limiet xa -> 0, dan wordt de oppervlakte 0.

Gaat analoog voor xa->6 overigens.

PPS: de waarde 0 is hier dus wél de minimale waarde, maar geen extreme waarde.

@Mephostophilis
De limietwaarde voor het opp bij x=0 en bij x=6 is wel 0, maar daarmee is het nog geen min waarde voor de opp!
Overigens was er wiskundig geen reden om x=0 en x=6 uit te sluiten.
Grappig dat je O(6) wel een min maar geen extreem noemt, ik neem aan omdat de afgeleide O'(6) geen 0 is.
Dit wordt wel gekarakteriseerd door het begrip randmin!

Leg uit? Oppervlakte kan niet lager zijn dan 0, en als je aantoont dat je een oppervlak kunt maken kleiner dan iedere willekeurige waarde, dan heb je toch het minimum? (nl. 0)

Citaat:

Overigens was er wiskundig geen reden om x=0 en x=6 uit te sluiten.

Jawel, want xa=0 en xa=6 zitten niet in het domein.

Citaat:

Grappig dat je O(6) wel een min maar geen extreem noemt, ik neem aan omdat de afgeleide O'(6) geen 0 is. Dit wordt wel gekarakteriseerd door het begrip randmin!

Oké.

Min en max behoren functiewaarden te zijn.

Wat betreft de tweede opmerking: het is wiskundig niet nodig x=0 en x=6 in het domein uit te sluiten.

Volgens mij niet hoor... Maar ja, conventiekwestie en dus niet zo interessant.

Kun je de formule niet invoeren in je rekenmachine en dan met x=min uitrekenen wat de waarde is :o?

Iig, zo heb ik dat gedaan bij het optimaliseren van verpakkingen.

In dat geval ga je voorbij aan de stelling van Weierstrass. Deze stelling luidt dat een functie f, die op [a,b] continu is, een maximum M en een minimum m in [a,b] bezit. Dat betekent dat er een c en een d in [a,b] te vinden zijn met de eigenschap m=f(d) en M=f(c) en m=f(d)<=f(x)<=M=f(c) met a<=x<=b.

Oké, maar het gaat hier om een functie met een domein (a,b) en niet [a,b].

In dat geval heb je hier geen minimum, aangezien het minimum 0 wordt aangenomen in x=0 en x=6, die allebei buiten het domein vallen.